Rotation einer Logarithmusfkt. < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 So 20.03.2005 | | Autor: | Laurie |
Hallo erstmal also ich hab da ein Problem und zwar soll ich von der funktion f(x)=1/4x²-lnx
a) die Fläche berechnen, die grenzen sind 1 und e² (das hab ich hinekriegt) -->A=25,1(FE) und jetzt gehts los
b) das Volumen berechnen, wenn diese Fläche um die x-Achse rotiert und da seh ich überhaupt nicht mehr durch...also wir haben das richtige ergebnis vorher gekriegt und zwar 217,2 aber ich komm da einfach nicht drauf
V= Pie [mm] \integral_{1}^{e²} \bruch{1}{4}x² [/mm] - lnx dx aber wie geht es
weiter? ich hab es mit integration probiert aber das ging alles nicht...
bitte helft mir, wenn ihr die aufgabe hinkriegt.
danke schonmal im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 So 20.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laurie,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Die Formel für Rotations-Volumina um die x-Achse lautet:
[mm] $V_x [/mm] \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b} {y^{\red{2}} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b} {\left[f(x)\right]^{\red{2}} \ dx}$
[/mm]
Für Deine Aufgabe heißt das:
[mm] $V_x [/mm] \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{1}^{e^2} {\left[f(x)\right]^2 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{1}^{e^2} {\left[\bruch{1}{4}x^2 - \ln(x)\right]^{\red{2}} \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Kommst Du nun auf das vorgegebene Ergebnis?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 So 20.03.2005 | | Autor: | Laurie |
oh ja du hast recht aber das war nur ein tipp-fehler von mir also habe schon mit der richtigen formel gerechnet, komm aber trotzdem nicht drauf. Habe fast eine Seite gebraucht aber es kommt irgendwas um die 168 bei mir raus.
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dann poste doch mal deine Ansätze, dann finden wir vielleicht deinen Fehler.
Gruß
OLIVER
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 So 20.03.2005 | | Autor: | Laurie |
V = Pie [mm] \integral_{1}^{e²} (\bruch{1}{4}x [/mm] - lnx)² dx
= Pie [mm] \integral_{1}^{e²} (\bruch{1}{16}x [/mm] ^{4}- [mm] \bruc{1}{2}x²lnx+(lnx)²) [/mm] dx
= Pie [mm] [\bruch{1}{16} \integral_{1}^{e²}x^{4} [/mm] dx - [mm] \bruch{1}{2} \integral_{1}^{e²} [/mm] x² dx + [mm] \integral_{1}^{e²} [/mm] (lnx)² dx
habe diese Funktion jetzt einzeln berechnet also
V1 = Pie [mm] [\bruch{1}{16} \integral_{1}^{e²}x^{4} [/mm] dx
V2 = [mm] \bruch{1}{2} \integral_{1}^{e²} [/mm] x² dx
V3 = [mm] \integral_{1}^{e²} [/mm] (lnx)² dx
dann hab ich das ausgerechnet also für jedes einzeln und dann hab ich V1 - V2 + V3 gerechnet aber komm halt nicht auf das richtige Ergebnis.
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wie kommst du auf V2, da hab ich was anderes....
Gruß
Oliver
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 So 20.03.2005 | | Autor: | Laurie |
na das ergibt sich bei mir daraus, wenn ich die binomische Formel anwende... was hast du denn raus???
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Loddar hat mir die Antwort abgenommen, ich komme auf dasselbe...
Gruß
OLIVER
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 So 20.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laurie!
Aus der Gesamtformel ...
[mm] $V_x [/mm] \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{1}^{e^2} {\left[\bruch{1}{4}x^2 - \ln(x)\right]^2 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{1}^{e^2} {\left[\bruch{1}{16}x^4 - \bruch{1}{2}*x^2*\ln(x) + \ln^2(x)\right] \ dx}$
[/mm]
... wird aber [mm] ($\pi$ [/mm] "ausmultiplizieren"):
[mm] $V_x [/mm] \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{1}{16} [/mm] * [mm] \integral_{1}^{e^2} {x^4 \ dx} [/mm] - [mm] \red{\pi} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral_{1}^{e^2}{x^2*\ln(x) \ dx} [/mm] + [mm] \red{\pi} [/mm] * [mm] \integral_{1}^{e^2}{\ln^2(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] V_1 [/mm] - [mm] V_2 [/mm] + [mm] V_3$
[/mm]
Und damit:
[mm] $V_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{16} [/mm] * [mm] \integral_{1}^{e^2}{x^{4} \ dx}$
[/mm]
[mm] $V_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{\pi}}{2} [/mm] * [mm] \integral_{1}^{e^2}{x^2*\red{\ln(x)} \ dx}$
[/mm]
[mm] $V_3 [/mm] \ = \ [mm] \red{\pi} [/mm] * [mm] \integral_{1}^{e^2}{\ln^2(x) \ dx}$
[/mm]
Kommst Du nun auf Dein gewünschtes Ergebnis?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:49 So 20.03.2005 | | Autor: | Laurie |
irgendwie verwirrst du mich jetzt total, also komm nicht auf 217,2 Volumeneinheiten...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 So 20.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laurie!
Dann poste doch mal bitte Deine Ergebnisse der drei Einzel-Volumina ...
Hast Du auch jedes Einzel-Volumen mit [mm] $\pi$ [/mm] multipliziert?
Wie lauten denn Deine drei einzelnen Stammfunktionen?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 So 20.03.2005 | | Autor: | Laurie |
V1 = 864,9...
V2 = 21,8...
V3 = 25,38...
ich weiß, dass das total falsch ist aber ich kriegs einfach nicht hin
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also dein V1 stimmt, aber bei V2 und V3 hab ich was anderes, rechne nochmal nach, Loddar hat dir ja Hinweise gegeben...
Gruß
OLIVER
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 So 20.03.2005 | | Autor: | Laurie |
V2 = 9468,77...
V3 = 25,38...
ich komm nicht drauf, ich glaub ich lass es einfach mit der Aufgabe. Danke aber für eure Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 So 20.03.2005 | | Autor: | Loddar |
> ich komm nicht drauf, ich glaub ich lass es einfach mit der
> Aufgabe. Danke aber für eure Hilfe
Na, na, na ...
Soo leicht kommst Du uns hier nicht davon  ...
Bitte schreibe uns doch mal Deine drei Stammfunktionen, die Du ermittelt hast bzw. wie du auf Deine bisherigen Zahlen gekommen bist.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 So 20.03.2005 | | Autor: | Laurie |
das ist ja das problem, die blöden Stammfunktionen krieg ich nicht hin
V2 = Pie/2 [1/3x³lnx-1/9x³]
V3 = Pie [(lnx)² * e^lnx - 2*lnx *e² + 2*e²] <--- da hab ich die grenzen schon eingesetzt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 So 20.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
> das ist ja das problem, die blöden Stammfunktionen krieg
> ich nicht hin
Aber, aber ...
Das sieht doch schon ganz gut aus!
Außerdem: Wie hast Du denn ohne Stammfunktionen die Zahlenwerte erhalten? Egal ...
> V2 = Pie/2 [1/3x³lnx-1/9x³]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig!!!
Nun noch die Grenzen einsetzen:
[mm] $V_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] * [mm] \left[\bruch{1}{3}*x^3*\ln(x) - \bruch{1}{9}*x^3\right]_1^{e^2}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] * [mm] \left[\bruch{1}{3}*\left(e^2\right)^3*\ln\left(e^2\right) - \bruch{1}{9}*\left(e^2\right)^3 - \left( \bruch{1}{3}*1^3*\ln\left(1\right) - \bruch{1}{9}*1^3\right)\right]$
[/mm]
$ \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] * [mm] \left[\bruch{1}{3}*e^6*2*\ln\left(e\right) - \bruch{1}{9}*e^6 - \left( \bruch{1}{3}*1*0 - \bruch{1}{9}*1\right)\right]$
[/mm]
$ \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] * [mm] \left[\bruch{1}{3}*e^6*2*1 - \bruch{1}{9}*e^6 - 0 + \bruch{1}{9}*1\right]$
[/mm]
$ \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] * [mm] \left[\bruch{2}{3}*e^6 - \bruch{1}{9}*e^6 + \bruch{1}{9}\right]$
[/mm]
$ \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] * [mm] \left[\bruch{5}{9}*e^6 + \bruch{1}{9}\right] [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 352,2 \ [V.E.]$
> V3 = Pie [(lnx)² * e^lnx - 2*lnx *e² + 2*e²] <--- da hab
> ich die grenzen schon eingesetzt
Hier ist noch etwas Durcheinander! Wenn du die Grenzen bereits vollständig eingesetzt hättest, dürften keine $x$ mehr auftauchen ...
Bitte schreib nochmal diese Stammfunktion (ohne eingesetzte Grenzen) auf.
(Ich weiß, ich bin gerade nervig wie ein Zahnarzt. Aber wir kriegen das hin!)
Die Fragmente, die ich entziffern kann, sehen schon ziemlich vielversprechend aus ...
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 So 20.03.2005 | | Autor: | Laurie |
ok also ich versuch es nochmal...
V3 = Pie * [z² * [mm] e^z [/mm] - 2* z * e² + 2 * e²]
also hab Substituiert : z = lnx
x = [mm] e^z
[/mm]
neue Grenzen: zk = 0
z0 = 2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 So 20.03.2005 | | Autor: | Loddar |
> V3 = Pie * [z² * [mm]e^z[/mm] - 2* z * e² + 2 * e²]
>
> also hab Substituiert : z = lnx
> x = [mm]e^z[/mm]
> neue Grenzen: zk = 0
> z0 = 2
Ich unterstelle Dir mal, daß das nur Tippfehler sind, und Du meinst:
[mm] $V_3 [/mm] \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] \left[z^2*e^z - 2*z*e^{\red{z}} + 2*e^{\red{z}}\right]_0^2$
[/mm]
Und nun die Grenzen einsetzen!
Ich erhalte: [mm] $V_3 [/mm] \ = \ [mm] 2\pi*\left(e^2-1\right) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 40,1$
Kommst Du auch auf dieses Ergebnis?
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 So 20.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laurie!
Auf Dein vorgebenes Endergebnis von 217,2 als Gesamtvolumen komme ich allerdings nicht.
Ich erhalte am Ende: [mm] $\Sigma V_x [/mm] \ = \ [mm] V_1 [/mm] - [mm] V_2 [/mm] + [mm] V_3 [/mm] \ = \ 552,8 \ [V.E.]$
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 So 20.03.2005 | | Autor: | Laurie |
also ich komm jetzt auch auf dein ergebnis aber das mit dem endergebnis versteh ich nicht weil meine lehrerin gesagt hat, dass 217,2 rauskommen muss.... ich blick jetzt gar nich mehr durch aber trotzdem vielen vielen dank für deine super-Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 So 20.03.2005 | | Autor: | Laurie |
eigentlich müsste ich auch noch die bogenlänge berechnen aber dann komm ich morgen gar nich mehr ausn bett...aber vielleicht hast du ja morgen nochmal zeit?...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 So 20.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Wenn nicht ich, dann ganz bestimmt ein anderer hier ...
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Grüße
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:45 So 20.03.2005 | | Autor: | Laurie |
sorry habe anstatt x² nur x in den ersten beiden Zeilen gechrieben und bei V1 muss das Pie vor [mm] \bruch{1}{16} [/mm] weg
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:18 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Laurie |
hallo, also hab gestern den ganzen abend mit loddars hilfe versucht, die Aufgabe rauszubekommen, doch leider sind wir auch nicht auf das richtige ergebnis (V=217,2) gekommen. Weiß vielleicht jemand, wie man darauf kommt??? Ist wirklich sehr wichtig.
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Ich kann dir nur sagen, dass ich aus dasselbe Ergebis bekomme wie LODDAR. Irgendwie kann da deine Lösung nicht stimmen.
Gruß
OLIVER
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:45 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Laurie |
ja ich krieg das ja auch raus aber unsere Lehrerin hat uns ja die ergebnisse vorgegeben, also vom Flächeninhalt, Volumen und der bogenlänge und sie hat gesagt, dass 217,2 rauskommt und das steht auch in ihrm lösungsbuch. Naja ich frag sie morgen nochmal.
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