Rotation quasilinearer Abb. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:47 Do 09.09.2004 | | Autor: | Luetti |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt!
Die Aufgabe ist:
[mm] v\vec (x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{\left|x\right|^3[/mm]Ax
Davon soll ich die Rotation berechnen. Ich weiß, dass es sich um eine quasilineare Abbildung handelt und dass für die Jacobimatrix folgendes gilt:
Df(X)= [mm] f(x)A+(Ax)(gradf(x))^T [/mm]
Wie berechne ich dann die Rotation? Was muss ich beachten, wenn ich die Rotation von einer vektorwertigen Funktion berechne?Über einen kleinen Tipp würde ich mich sehr freuen! Danke!
Liebe Grüße Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:50 Sa 11.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Anna!
Ich würde einfach mal mit Hilfe der Definition rumrechnen. Dann schauen wir anschließen mal, was da so rausgekommen ist.
Zunächst einmal: Hat man im [mm] $\IR^3$ [/mm] ein stetig differenzierbares Vektorfeld
$v(x)= [mm] \begin{pmatrix} v_1(x) \\ v_2(x) \\ v_3(x) \end{pmatrix}$
[/mm]
gegeben, dann ist die Rotation dieses Vektorfeldes wie folgt definiert:
[mm] $(rot\, [/mm] v)(x) = [mm] \begin{pmatrix} \frac{\partial v_3}{\partial x_2}(x) - \frac{\partial v_2}{\partial x_3}(x) \\ \frac{\partial v_1}{\partial x_3}(x) - \frac{\partial v_3}{\partial x_1}(x) \\ \frac{\partial v_2}{\partial x_1}(x) - \frac{\partial v_1}{\partial x_2}(x) \end{pmatrix}$.
[/mm]
Wir haben das Vektorfeld (ausführlich ausgeschrieben):
[mm]v(x)= \begin{pmatrix} v_1(x) \\ v_2(x) \\ v_3(x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3}{(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)^{3/2}} \\ \frac{a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3}{(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)^{3/2}} \\ \frac{a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3}{(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)^{3/2}} \end{pmatrix}[/mm].
(Zum Vergrößern der Formeln bitte auf die Formeln klicken.)
So, und jetzt könnte man ja mal versuchen das auszurechnen.
Was musst du tun? Nicht viel mehr als Ableiten...
Melde dich mal mit einem Lösungsvorschlag... 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Sa 11.09.2004 | | Autor: | Luetti |
Hallo Stefan!
Ich kannte diese ausführliche Schreibweise des Vektorfeldes nicht.
Ich leite dann ja nach der Quotientenregel ab und erhalte dann für die erste Zeile der Rotation:
[mm] \bruch{( ( - a_1_3 x_1 + a_2_3 x_2 +a_3_3 x_3 )*2x_1 )+((a_1_2 x_1 +a_2_2 x_2+ a_2_3 x_3)2 x_3)}{(x_1^2 +x_2^2+x_3^2)^3}
[/mm]
Es handelt sich doch um eine symmetrische Matrix,oder? Die beiden anderen Zeilen habe ich entsprechend ausgerechnet. Kommt mir aber eigenartig vor. wäre nett, wenn du mir sagst wo mein fehler liegt! Danke!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 So 12.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Luetti!
Entschuldige erst einmal, dass dir so lange keiner geantwortet hat. Ich habe hier im Moment einfach sehr viel parallel zu tun.
Du musst hier sorgsam mit der Quotientenregel und bei der Ableitung im Nenner mit der Kettenregel ableiten.
Ich erhalte (ohne Gewähr) für die erste Zeile:
[mm] $\frac{a_{32} \cdot \vert x \vert^3 - (a_{31}x_1 + a_{32}x_2+ a_{33}x_3) \cdot \frac{3}{2} \cdot 2x_2 \cdot \vert x \vert - a_{23} \vert x \vert^3 + (a_{21}x_1+ a_{22}x_2+ a_{23}x_3) \cdot \frac{3}{2} \cdot 2x_3 \cdot \vert x \vert}{\vert x \vert^6}$.
[/mm]
(Da könnte man jetzt noch ein [mm] $\vert [/mm] x [mm] \vert$ [/mm] kürzen...)
Da das nicht wirklich schön aussieht und ich mich häufiger verrechne, lasse ich die Frage mal auf "teilweise beantwortet", vielleicht kann das ja jemand mal kontrollieren. (Oder aber habe ich die Aufgabe bereits falsch verstanden? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") )
Warum sollte die Matrix symmetrisch sein? Steht das irgendwo in der Aufgabenstellung?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 So 12.09.2004 | | Autor: | Luetti |
Hallo Stefan!
Ach, das ist ja nicht so schlimm, dass es ein bißchen gedauert hat,das Ableiten hätte ich ja eigentlich auch alleine hinbekommen sollen!
Hab auch noch mal ein bißchen rum gerechnet. Ich hab für die erste Zeile jetzt das raus:
[mm] \bruch{a_3_2 \left |x\right| ^\bruch{3}{2} - (a_3_1 x_1 +a_3_2 x_2 +a_3_3 x_3)^\bruch {3}{2} \left|x\right|^\bruch{1}{2} 2x_2 -a_2_3 \left|x\rigtht|^\bruch{3}{2}+ (a_2_1 x_1 +a_2_2 x_2 +a_2_3 x_3)^ \bruch{3}{2} \left|x\right|^\bruch{1}{2} 2x_3}{\left| x\right|^3}
[/mm]
Ich verstehe nicht wie [mm] \left|x\right|^6 [/mm] im Nenner in deiner Rechnung zu Satande kommt.
Die weiteren Zeilen rechne ich dan ja entsprechend aus.
Aber mit der Jacobimatrix für quasilineare Abbildungen hat das doch dann nichts zu tun oder täusche ich mich da?
Danke schon mal für weitere Hilfe!
Liebe Grüße Luetti!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Luetti!
Nun ja, im Nenner steht ja
[mm] $(x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2 [/mm] + [mm] x_3^2)^{\frac{3}{2}} [/mm] = [mm] |x|^3$,
[/mm]
und wenn ich das quadriere (und das muss ich ja bei der Quotientenregel!), dann steht da im Nenner eben [mm] $|x|^6$.
[/mm]
So, einer anderen Fragen hier im Forum (https://matheraum.de/read?f=16&t=2458&i=2458) entnehme ich, dass die Matrix symmetrisch sein soll. Dann steht bei mir in der ersten Zeile:
$3 [mm] \frac{a_{21} x_1x_3 + a_{22}x_2x_3 + a_{23}x_3^2 - a_{31}x_1x_2 - a_{32}x_2^2 - a_{33} x_3 x_2}{|x|^5}$.
[/mm]
nachdem ich einmal mit $|x|$ gekürzt habe.
Dadurch wird das Ergebnis aber auch nicht bedeutend schöner. ![[wein]](/images/smileys/wein.gif "[wein]")
Warum lassen uns denn alle im Matheraum so im Stich? Hat denn sonst keiner eine Idee dazu? Vermutlich habe ich die Aufgabe falsch verstanden. (?)
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Manu |
Hallo zusammen,
hatte gar nicht gesehen,das hier schon das gleiche Problem besteht. Ich nehme an, das du (Luetti) morgen ebenfalls in Bochum Mathe2 schreibst?
Zu dieser Aufgabe wurde nun eine Lösung/Lösungsansatz vom Prof gegeben, die mir nicht weiter hilft:
grad f(x) = [mm] \bruch {-3}{(x^2 + y^2 + z^3)^5/2}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
[/mm]
!5/2 soll ein Exponent sein!Bekomme die Zeichenfolge noch nicht so ganz auf die Kette
Das Ergebnis hat für mich nichts mit der Aufgabenstellung zu tun,da ja die Rotation zu berechnen war...Vielleicht hilft es ja jemandem weiter.
Gruß,
Manuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Luetti |
Hallo !
Also ich habe jetzt das gleiche Ergebnis wie du Stefan. Ich habe ein paar Fehler in meiner Rechnung entdeckt.
So schelcht sieht das doch gar nicht aus.
Mit dem Ansatz müsste es doch auch gehen:
D [mm] v\vec [/mm] (x) =f(x)A+ Ax [mm] (gradf(x))^T [/mm]
Die Funktion ist :
[mm] v\vec [/mm] (x)= f(x) Ax
mit f(x)= [mm] \bruch {1}{\left|x\right|^3}
[/mm]
der gradient von f(x) ist dann ja:
grad f(x) [mm] =\bruch{-3}{2} (x_1^2+x_2^2+x_3^3)^\bruch{-5}{2} \begin{pmatrix}2x_1\\2x_2\\2x_3\end{pmatrix}
[/mm]
Dann hat man ja noch die Matrix, da leitet ,man ja z.B wenn man [mm] \bruch {\delta v_1(x)}{\delta x_3} [/mm] ausrechnen will, [mm]a_1_1 x_1[/mm][mm]a_2_1 x_2[/mm][mm] a_1_3 x_3 [/mm](erste Zeile Ax) nach [mm] x_3 [/mm] ab und bekommt dann [mm] a_1_3 [/mm] . Hoffentlich habe ich mich nicht wieder verrechnet!
Und dann muß man ja nur noch die Rotation ausrechnen.
Dir wünsche ich viel Glück morgen bei deiner Klausur Manuscheint wohl ne beliebte Aufgabe zu sein!
Liebe Grüße
Luetti
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