Rotationsfläche < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Mo 09.01.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Eine Fläche heißt Rotationsfläche, wenn sie durch eine Drehung einer regulären, ebenen Kurve
$ t [mm] \to [/mm] (r(t),z(t)) $
um die z-Achse im [mm] \IR^3 [/mm] entsteht (bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems), d.h. es gibt eine Parametrisierung in der Form
[mm] h(t,\phi)=(r(t)*cos(\phi),r(t)*sin(\phi),z(t)).
[/mm]
1. Zeigen Sie: h ist, wenn r Nullstellenfrei, eine Immersion.
2. Stellen Sie die Schale mit z > 0 des Hyperboloids [mm] -x^2-y^2+z^2=1 [/mm] als Rotationsfläche dar. |
Hallo! Mir fehlt es leider noch spürbar an Verständnis in der Differentialgeometrie.. bräuchte etwas Hilfe dabei an die Aufgaben ran zu gehen..
Zu 1.) Für eine Immersion gilt ja, dass das Differential [mm] d_h(x) [/mm] injektiv ist, für h: [mm] \IR^m \to \IR^n [/mm] also [mm] rang(d_h(x))=m. [/mm] Soweit ok?
Muss ich hier explizit [mm] h(t,\phi) [/mm] differenzieren und mit der Nullstellenfreiheit argumentieren, dass das Differential den Rang 2 hat?
Zu 2.) Hier weiss ich nicht, was mit "darstellen" gemeint ist. Ich vermute mal es ist eine graphische Darstellung verlangt, oder gibt es noch andere sinnvolle Möglichkeiten??
Vielen Dank schonmal!!
Gruß
chesn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Mo 09.01.2012 | | Autor: | meili |
Hallo chesn,
> Eine Fläche heißt Rotationsfläche, wenn sie durch eine
> Drehung einer regulären, ebenen Kurve
>
> [mm]t \to (r(t),z(t))[/mm]
>
> um die z-Achse im [mm]\IR^3[/mm] entsteht (bei geeigneter Wahl des
> Koordinatensystems), d.h. es gibt eine Parametrisierung in
> der Form
> [mm]h(t,\phi)=(r(t)*cos(\phi),r(t)*sin(\phi),z(t)).[/mm]
>
> 1. Zeigen Sie: h ist, wenn r Nullstellenfrei, eine
> Immersion.
>
> 2. Stellen Sie die Schale mit z > 0 des Hyperboloids
> [mm]-x^2-y^2+z^2=1[/mm] als Rotationsfläche dar.
> Hallo! Mir fehlt es leider noch spürbar an Verständnis
> in der Differentialgeometrie.. bräuchte etwas Hilfe dabei
> an die Aufgaben ran zu gehen..
>
> Zu 1.) Für eine Immersion gilt ja, dass das Differential
> [mm]d_h(x)[/mm] injektiv ist, für h: [mm]\IR^m \to \IR^n[/mm] also
> [mm]rang(d_h(x))=m.[/mm] Soweit ok?
> Muss ich hier explizit [mm]h(t,\phi)[/mm] differenzieren und mit
> der Nullstellenfreiheit argumentieren, dass das
> Differential den Rang 2 hat?
>
> Zu 2.) Hier weiss ich nicht, was mit "darstellen" gemeint
> ist. Ich vermute mal es ist eine graphische Darstellung
> verlangt, oder gibt es noch andere sinnvolle
> Möglichkeiten??
Um die Schale des Hyperboloids [mm]-x^2-y^2+z^2=1[/mm] für z > 0
als Rotationsfläche darzustellen, ist eine reguläre, ebene Kurve
[mm]t \to (r(t),z(t))[/mm] zu finden, so dass eine Parametrisierung in
der Form [mm]h(t,\phi)=(r(t)*cos(\phi),r(t)*sin(\phi),z(t)).[/mm] eben die
Schale des genannten Hyperboloids beschreibt.
>
> Vielen Dank schonmal!!
>
> Gruß
> chesn
Gru0
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Di 10.01.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo! Danke für deine Antwort, konnte den 2. Teil dank deiner Hinweise jetzt lösen:
mit [mm] h(t,\phi)=(\wurzel{1+t^2}*cos(\phi),\wurzel{1+t^2}*sin(\phi),t) [/mm] ist die Gleichung [mm] -x^2-y^2+z^2=1 [/mm] erfüllt. Richtig so?
Ein Problem habe ich jetzt noch mit Aufgabenteil 1:
Ich möchte jetzt zeigen, dass h eine Immersion ist, indem in zeige, dass die Jakobi-Matrix
$ [mm] \bruch{\partial h}{\partial t}(t,\phi) [/mm] \ \ \ [mm] \bruch{\partial h}{\partial \phi}(t,\phi) [/mm] $
den Rang 2 hat und dass diese partiellen Ableitungen voneinander linear unabhängig sind. Soweit richtig überlegt?
Es ist:
[mm] \bruch{\partial h}{\partial t}(t,\phi)=(r'(t)*cos(\phi),r'(t)*sin(\phi),z'(t)) [/mm] (*)
[mm] \bruch{\partial h}{\partial \phi}(t,\phi)=(r(t)*(-sin(\phi)),r(t)*cos(\phi),0)
[/mm]
oder liegt hier schon mein Fehler? Um die Rang-Bedingung zu erfüllen, müsste bei (*): z'(t)=0 gelten.. nur fällt mir kein Argument dafür ein.
Es ist ja t als reguläre Kurve gegeben, kann ich dann direkt schlussfolgern, dass stets [mm] r'(t)\not=0 [/mm] ist? Aber was ist mit z'(t)?
Stehe etwas auf dem Schlauch.. vielen vielen Dank schonmal für jeden Tipp!
Gruß
chesn
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Hallo,
> Hallo! Danke für deine Antwort, konnte den 2. Teil dank
> deiner Hinweise jetzt lösen:
>
> mit
> [mm]h(t,\phi)=(\wurzel{1+t^2}*cos(\phi),\wurzel{1+t^2}*sin(\phi),t)[/mm]
> ist die Gleichung [mm]-x^2-y^2+z^2=1[/mm] erfüllt. Richtig so?
nein, ich fürchte, dein $h$ stimmt so nicht. auch beim einsetzen kommt bei mir keine identität heraus.
schau dir doch mal den schnitt der fläche mit der x-z-Ebene durch den ursprung (also $y=0$) an. es ergibt sich die gleichung [mm] $-x^2+z^2=1$. [/mm] Löst du das nach x auf, bekommst du (bei beschränkung auf positive x-werte)
[mm] $x=\sqrt{z^2-1}$
[/mm]
die gleichung für deine rotationsfläche wäre dann also
[mm]h(t,\phi)=(\sqrt{t^2-1}*cos(\phi),\sqrt{t^2-1}*sin(\phi),t)[/mm]
>
> Ein Problem habe ich jetzt noch mit Aufgabenteil 1:
>
> Ich möchte jetzt zeigen, dass h eine Immersion ist, indem
> in zeige, dass die Jakobi-Matrix
>
> [mm]\bruch{\partial h}{\partial t}(t,\phi) \ \ \ \bruch{\partial h}{\partial \phi}(t,\phi)[/mm]
>
> den Rang 2 hat und dass diese partiellen Ableitungen
> voneinander linear unabhängig sind. Soweit richtig
> überlegt?
>
> Es ist:
>
> [mm]\bruch{\partial h}{\partial t}(t,\phi)=(r'(t)*cos(\phi),r'(t)*sin(\phi),z'(t))[/mm]
> (*)
>
> [mm]\bruch{\partial h}{\partial \phi}(t,\phi)=(r(t)*(-sin(\phi)),r(t)*cos(\phi),0)[/mm]
>
zunächst mal ist bei dir (auch nach korrektur) $z'=1$. Daher muss man, damit der Rang der beiden ableitungs-vektoren maximal ist, nur sicherstellen, dass [mm] $\partial h/\partial \phi$ [/mm] nicht gleich null sein kann.
gruss
matthias
> oder liegt hier schon mein Fehler? Um die Rang-Bedingung zu
> erfüllen, müsste bei (*): z'(t)=0 gelten.. nur fällt mir
> kein Argument dafür ein.
>
> Es ist ja t als reguläre Kurve gegeben, kann ich dann
> direkt schlussfolgern, dass stets [mm]r'(t)\not=0[/mm] ist? Aber was
> ist mit z'(t)?
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> Stehe etwas auf dem Schlauch.. vielen vielen Dank schonmal
> für jeden Tipp!
>
> Gruß
> chesn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Di 10.01.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo!
Du hast natürlich Recht mit der Gleichung der Rotationsfläche, da habe ich mich etwas vertan.
Also um zu zeigen, dass es sich um eine Immersion handelt, ist nur zz:
$ [mm] \bruch{\partial h}{\partial \phi}(t,\phi)=(r(t)\cdot{}(-sin(\phi)),r(t)\cdot{}cos(\phi),0) \not= [/mm] 0 $
Aus der Nullstellenfreiheit von r folgt, dass [mm] r(t)\not= [/mm] 0 für alle t.
Weiter ist im fFall [mm] -sin(\phi)=0 [/mm] gleichzeitig [mm] cos(\phi)=1 [/mm] und umgekehrt.
Daher kann die partielle Ableitung nicht =0 sein.
Jetzt habe ich aber noch nicht ganz kapiert, warum nur das zu zeigen ist.
Also warum ist z'=1?
Gruß
chesn
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> Hallo!
>
> Du hast natürlich Recht mit der Gleichung der
> Rotationsfläche, da habe ich mich etwas vertan.
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> Also um zu zeigen, dass es sich um eine Immersion handelt,
> ist nur zz:
>
> [mm]\bruch{\partial h}{\partial \phi}(t,\phi)=(r(t)\cdot{}(-sin(\phi)),r(t)\cdot{}cos(\phi),0) \not= 0[/mm]
>
> Aus der Nullstellenfreiheit von r folgt, dass [mm]r(t)\not=[/mm] 0
> für alle t.
> Weiter ist im fFall [mm]-sin(\phi)=0[/mm] gleichzeitig [mm]cos(\phi)=1[/mm]
> und umgekehrt.
> Daher kann die partielle Ableitung nicht =0 sein.
>
> Jetzt habe ich aber noch nicht ganz kapiert, warum nur das
> zu zeigen ist.
> Also warum ist z'=1?
naja, es ist doch $z(t)=t$, oder?
gruss
matthias
>
> Gruß
> chesn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:48 Mi 11.01.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo! Danke erstmal!
In Aufgabenteil 2 habe ich z(t)=t gewählt.
Das hier ist aber der 1. Aufgabenteil der ja unabhängig davon ist.
Oder kann ich o.B.d.A. annehmen, dass z(t)=t ist um die Aufgabe zu lösen?
Gruß
chesn
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Hallo,
> Hallo! Danke erstmal!
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> In Aufgabenteil 2 habe ich z(t)=t gewählt.
>
> Das hier ist aber der 1. Aufgabenteil der ja unabhängig
> davon ist.
ah ok, das habe ich falsch verstanden. dann musst du etwas anders argumentieren. du hast ja
[mm]\bruch{\partial h}{\partial t}(t,\phi)=(r'(t)*cos(\phi),r'(t)*sin(\phi),z'(t))[/mm]
[mm]\bruch{\partial h}{\partial \phi}(t,\phi)=(r(t)*(-sin(\phi)),r(t)*cos(\phi),0)[/mm]
im grunde läuft die aufgabe darauf hinaus zu zeigen, dass die vektoren
[mm] $(\cos(\phi),\sin(\phi))$ [/mm] und [mm] $(-\sin(\phi),\cos(\phi)) [/mm] $
immer linear unabhängig sind. denn wenn das erfüllt ist, sind die partiellen ableitungsvektoren auch linear unabhängig. das ist aber jetzt deine aufgabe! 
gruss
matthias
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> Oder kann ich o.B.d.A. annehmen, dass z(t)=t ist um die
> Aufgabe zu lösen?
>
> Gruß
> chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:39 Mi 11.01.2012 | | Autor: | chesn |
Vielen Dank! Die lineare Unabhängigkeit sollte kein Problem mehr sein. ;)
Den Fall, dass r'(t)=0 und z'(t)=0 kann ich dann ja dadurch ausschließen,
dass $ t [mm] \to [/mm] (r(t),z(t)) $ eine reguläre Kurve ist, d.h. die Ableitung von t ist stets [mm] \not= [/mm] 0.
Damit folgt dass entweder [mm] r'(t)\not= [/mm] 0 oder [mm] z'(t)\not= [/mm] 0 für alle t.
Danke nochmal und viele Grüße!
chesn
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