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Hallo,
ich soll folgende Aufgabe lösen:
Der Graph der Funkton f mit [mm] f(x)=x^{2}-4x+3 [/mm] schließt mit der x-Achse eine Fläche ein, diese rotiere um die x-Achse. Berechne en Flächeninhalt und das Volumen des Rotaionskörpers.
Mir ist nun klar, dass ich die Nullstellen bestimmen muss, die liegen bei [mm] x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{2}=3.
[/mm]
Für die Berechnung des Volumens muss ich ja auch einfach nur die folgende Formel benutzen:
[mm] V=\pi \integral_{a}^{b}{{(f(x))}^2 dx}.
[/mm]
und dabei die Nullstellen als Grenzen benutzen.
Was mir aber nun nicht klar ist:
Wie berechne ich die Fläche? Da muss A=1 [mm] \bruch{1}{3} [/mm] V = 3,351 rauskommen, jedoch wenn ich das Integral normal löse (was dann wahrscheinlich der Falsche weg ist) kommt nur 1 [mm] \bruch{1}{3} [/mm] raus.
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
Viele Grüße
Steffi
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 Sa 03.03.2007 | | Autor: | VNV_Tommy |
Hallo Steffi!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Was mir aber nun nicht klar ist:
> Wie berechne ich die Fläche? Da muss A=1 [mm]\bruch{1}{3}[/mm] V =
> 3,351 rauskommen, jedoch wenn ich das Integral normal löse
> (was dann wahrscheinlich der Falsche weg ist) kommt nur 1
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] raus.
>
Mir ist nicht ganz klar wo das Problem liegt. Wenn [mm] A=1\bruch{1}{3} [/mm] als Ergebnis herauskommen soll und du dieses Ergebnis erhälst, dann gibt es doch im Grunde kein Problem, oder?
Gruß,
Tommy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Sa 03.03.2007 | | Autor: | steffi205 |
Hallo Tommy,
ich bekomme bei einer ganz norm. Integration folgendes raus:
[mm] \integral_{3}^{1}{x^{2}-4x+3 dx}= \bruch{4}{3}
[/mm]
und für [mm] (f(x))^{2} [/mm] erhallte ich:
[mm] (f(x))^{2}= x^{4}-8x^{3}+10x^{2}+24x+9
[/mm]
wenn ich dieses nun in die folgende Formel einsetze
[mm] V=\pi \integral_{1}^{3}{(f(x))^{2}dx}
[/mm]
erhalte ich V=280.
Jedoch soll eigentlich rauskommen [mm] A=\bruch{4}{3}V=3,351
[/mm]
und diese Zahlen stimmen nicht mit meinem Ergebnis überein...;-(
Alles Liebe
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Sa 03.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hi Steffi,
gemeint ist die Mantelfläche des Rotationskörpers.
LG
Heiko
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Hi Heiko,
dies ist mir schon klar...
aber ich weiß beim besten willen nicht wie ich den berechnen soll...
das einziege was ich gerade bei Wiki gefunden habe ist:
[mm] 2\pi\integral_{a}^{b}{f(x)\wurzel{1+f'(x)^{2}} dx}
[/mm]
ist dies die Formel, oder gibt es da noch eine andere??
schon mal Danke.
Alles Liebe Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Sa 03.03.2007 | | Autor: | heyks |
> Hi Heiko,
>
> dies ist mir schon klar...
und warum hast Du dann das gewöhnliche Integral berechnet ?
>
> aber ich weiß beim besten willen nicht wie ich den
> berechnen soll...
>
> das einziege was ich gerade bei Wiki gefunden habe ist:
>
> [mm]2\pi\integral_{a}^{b}{f(x)\wurzel{1+f'(x)^{2}} dx}[/mm]
>
> ist dies die Formel, oder gibt es da noch eine andere??
>
MfG
Heiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:45 Sa 03.03.2007 | | Autor: | steffi205 |
Hi Heiko,
ich hatte diese Gleichung erst vor ca. 10 Min im Internet gefunden...
jetzt habe ich es damit berechnet...
die Zahlen stimmen zwar immer noch nicht überein, aber da habe ich mich bestimmt nur verrechnet...
Danke.
Alles Liebe
Steffi
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Hallo steffi205 und ,
> Hallo,
>
> ich soll folgende Aufgabe lösen:
>
> Der Graph der Funkton f mit [mm]f(x)=x^{2}-4x+3[/mm] schließt mit
> der x-Achse eine Fläche ein, diese rotiere um die x-Achse.
> Berechne en Flächeninhalt und das Volumen des
> Rotationskörpers.
>
> Mir ist nun klar, dass ich die Nullstellen bestimmen muss,
> die liegen bei [mm]x_{1}=1[/mm] und [mm]x_{2}=3.[/mm]
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Für die Berechnung des Volumens muss ich ja auch einfach
> nur die folgende Formel benutzen:
>
> [mm]V=\pi \integral_{a}^{b}{{(f(x))}^2 dx}.[/mm]
>
> und dabei die Nullstellen als Grenzen benutzen.
>
> Was mir aber nun nicht klar ist:
> Wie berechne ich die Fläche?
Welche Fläche ist denn gemeint?
Ich vermute mal, einfach die Fläche, die um die x-Achse rotieren soll:
[mm] \integral_{1}^{3}{x^{2}-4x+3\ dx}
[/mm]
Denn sonst stünde da eher "Oberfläche" des Rotationskörpers, und nur für diesen gilt die von dir gefundene Formel, die aber in der Schule weniger abgefragt wird.
> Da muss A=1 [mm]\bruch{1}{3}[/mm] V =
> 3,351 rauskommen, jedoch wenn ich das Integral normal löse
> (was dann wahrscheinlich der Falsche weg ist) kommt nur 1
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] raus.
>
Gruß informix
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