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| Aufgabe | | Das von der x-Achse und der Parabel p:y=a-x², a>0, begrenzte Flächenstück rotiert um die x-Achse und um die y-Achse. Für welchen Wert von a sind die Rauminhalte der beiden Drehkörper gleich gross? |
Wir haben in der Schule nur die Rotation um die x-Achse gelernt. In einem Thread bin ich noch auf ein paar Infos gestossen. Deshalb mein Ansatz:
[mm]\pi[/mm] [mm]\integral_{b}^{c}{(a-x^2)^2dx}[/mm]=[mm]2\pi[/mm][mm]\integral_{b}^{c}{x* (a-x^2)^2 dx}[/mm]
Und ein 2ter Ansatz, da ich auf Wiki gelesen habe, dass in einem begrenzten Definitionsbereich [mm] (R_0^+) [/mm] die Wurzel die Umkehrfunktion der Potenzfunktion ist:
[mm]\pi[/mm][mm]\integral_{b}^{c}{(a-x^2)^2 dx}[/mm]=[mm]\pi\int_{0}^{a}{\wurzel{x}^2}[/mm]=[mm]\pi\int_{0}^{a}{x}[/mm]
Aber weiter komme ich nicht und ich weiss auch nicht ob die Ansätze korrekt sind. Kann jemand Tipps geben, wie man die Aufgabe weiter lösen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
der Rotationskörper um die y-Achse kann mit 2 Varianten berechnet werden.
[mm] 1)\pi \integral_{0}^{a}{f'(x)*x^2 dx}
[/mm]
2)Die Funktion nach x auflösen und über
y integrieren : [mm] \pi\integral_{0}^{a}{g(y) dy}
[/mm]
Jetzt bin ich mir aber nicht mehr 100%ig sicher, ob man die Grenzen bei Variante 1) wie bei der Rotation um die x-Achse beibehalten muss oder nicht.
Ich meine ja, aber hole dir besser noch eine zweite Meinung ein.
Mfg
Nixwisserxl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 So 01.07.2007 | | Autor: | Bersling2 |
Hi, danke für die Antwort.
So wie es in dem Thread steht Rotation um y-Achse, ist die Formel für eine Rotation um die y-Achse aber eine Andere, nämlich
$ 2 [mm] \pi \integral_{a}^{b}{x \cdot{} f(x) dx} [/mm] $
Der Ansatz, der daraus folgt, bringt mich jedoch nicht weit:
[mm] 2\pi\int_{-b}^{b}{x \cdot{} (a-x^2) dx}=\pi\int_{-b}^{b}{(a-x^2)^2 dx}
[/mm]
.
.
.
[mm] 2[\bruch{1}{2}ax^2-\bruch{1}{4}x^4]_-_b^b [/mm] = [mm] [\bruch{1}{5}x^5-\bruch{2}{3}ax^3+a^2x]_-_b^b [/mm]
und weiter: [mm] 2(\bruch{1}{2}ab^2-\bruch{b^4}{4}-\bruch{1}{2}ab^2+\bruch{b^4}{4})=...=0
[/mm]
Zur 2ten Variante:
Ich habe jetzt endlich verstanden, wie das mit der Umkehrfunktion funktioniert (haha), dank ![[]](/images/popup.gif) dieser englischen Website. Die Umkehrfunktion von [mm] a-x^2=y [/mm] ist also für [mm] R_0^+
[/mm]
[mm] a-y^2=x
[/mm]
[mm] a-x=y^2
[/mm]
[mm] \wurzel{a-x}=y
[/mm]
Und durch eine Skizze bemekrt man dann auch, dass die Intervalle, für die man bei der Umkehrfunktion integrieren muss, 0 und a sind.
Also muss ich hier den Ansatz machen:
$ [mm] \pi\int_{-b}^{b}{(a-x^2)^2 dx} [/mm] = [mm] \pi\int_{0}^{a}{(a-x) dx} [/mm] $
Wobei ich aber 3 Unbekannte und 2 Gleichungen habe...
Also was wäre hier die richtige Vorgehensweise? Grüsse Daniel
/edit: eigentlich sollte der post rot sein, aber irgendwie habe ich verpasst wo ich das einstellen kann
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Hallo Bersling2,
laut meiner Formelsammlung ist das Rotationsvolumen um die:
x-Achse: [mm]V_{x}= \pi * \integral y_{(x)}^{2}\, dx [/mm]
y-Achse: [mm]V_{y}= \pi * \integral x_{(y)}^{2}\, dy [/mm]
Mit deiner Parabel [mm]y_{(x)}= a - x^{2}[/mm] und der Umkehrfunktion [mm]x_{(y)} = \pm \wurzel{a-y}[/mm] sowie der x-Achse als Begrenzung der Rotationsfäche ergibt sich:
[mm]V_{x}= \pi * \integral_{-\wurzel{a}}^{\wurzel{a}} (a-x^{2})^{2}\, dx = \pi*\bruch{16}{15}*a^{2}*\wurzel{a}[/mm]
[mm]V_{y}= \pi * \integral_{0}^{a} (\wurzel{a-y})^{2}\, dy = \pi*\bruch{a^{2}}{2} [/mm]
Daraus ergibt sich [mm]a = \bruch{225}{1024}[/mm]
(Vorausgesetzt, ich habe mich nicht verrechnet.)
LG, Martinius
P.S. Wenn Du Physik studierst, wäre es nicht vernünftig, eine Investition bzgl. einer Anschaffung einer Formelsammlung zu tätigen ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 So 01.07.2007 | | Autor: | Bersling2 |
Danke vielmals, it's the correct answer :)
Das wegen der Formelsammlung, keine schlechte Idee. :) Ich studiere Physik eigentlich noch gar nicht, bin jetzt noch im Loch zwischen Matur (schweizer Abi) und Studium. Deshalb hab ich auch noch nicht so viele Bücher gekauft. Welche Formelsammlung empfiehlst du denn?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Bersling2 |
Okay, danke, ich habe mir schon den Bronstein bestellt.
Grüsse Daniel
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