Rotationskörper, Ellipsoid < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:58 Do 15.05.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Volumen eines Ellipsoids mit den Halbachsen 0 < a,b. Es entsteht durch Rotation einer Halbelipse mit denselben Halbachsen:
f(x) = b [mm] \cdot{} \wurzel{1 - \bruch{x²}{a²}} [/mm] für -a [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] a |
Hallo Zusammen,
die Funktion ist im Interval [-a;a] stetig, somit kann man folgende Formel anwenden:
V = [mm] \pi \cdot{} \int_{-a}^{a} \left(b \cdot{} \wurzel{1 - \bruch{x²}{a²}}\right)²\, [/mm] dx
= [mm] \pi \cdot{} \int_{-a}^{a} [/mm] b² [mm] \cdot{} \left(1 - \bruch{x²}{a²}\right)\, [/mm] dx
= [mm] \pi [/mm] b² [mm] \cdot{} \int_{-a}^{a} [/mm] 1 - [mm] \bruch{x²}{a²}\, [/mm] dx
in der Lösung steht nun: [mm] 2\pi [/mm] b² [mm] \cdot{} \int_{0}^{a} \left(1 - \bruch{x²}{a²} \right)\, [/mm] dx aus Symmetriegründen, (-x)² = x²
was hat dies mit der Symmetrie zu tun, und daraus geht hervor, dass sich nun das Intervall von [0;a] geht, das versteh ich nicht.
ich rechne also mit [-a;a] weiter:
= [mm] \pi [/mm] b² [mm] \cdot{} \left[x - \bruch{x³}{3a²}\right]_{-a}^{a} [/mm] 'muss man bei dem Term a² nicht noch das x berücksichtigen, also 3a²x?
= [mm] \pi [/mm] b² [mm] \cdot{} \left(a - \bruch{a³}{3a²}\right) [/mm] - [mm] \pi [/mm] b² [mm] \cdot{} \left(-a + \bruch{a³}{3a²}\right)
[/mm]
= [mm] \pi [/mm] b² [mm] \cdot{} \left[\left(a - \bruch{a}{3}\right) - \left(-a + \bruch{a}{3}\right)\right]
[/mm]
= [mm] \pi [/mm] b² [mm] \cdot{} \left(2a + \bruch{2a}{6}\right)
[/mm]
= [mm] \pi [/mm] b² [mm] \cdot{} \left(\bruch{12a + 2a}{6}\right)
[/mm]
= [mm] \pi [/mm] b² [mm] \cdot{} \left(\bruch{14a}{6}\right) [/mm] = [mm] \bruch{14}{6}\pi [/mm] ab²
es sollte jedoch [mm] \bruch{4}{3}\pi [/mm] ab² rauskommen, wo liegt der Fehler?
Gruß
itse
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> Bestimmen Sie das Volumen eines Ellipsoids mit den
> Halbachsen 0 < a,b. Es entsteht durch Rotation einer
> Halbelipse mit denselben Halbachsen:
>
> f(x) = b [mm]\cdot{} \wurzel{1 - \bruch{x²}{a²}}[/mm] für -a [mm]\le[/mm] x
> [mm]\le[/mm] a
> Hallo Zusammen,
>
> die Funktion ist im Interval [-a;a] stetig, somit kann man
> folgende Formel anwenden:
>
> V = [mm]\pi \cdot{} \int_{a}^{-a} \left(b \cdot{} \wurzel{1 - \bruch{x²}{a²}}\right)²\,[/mm]
> dx
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> = [mm]\pi \cdot{} \int_{a}^{-a}[/mm] b² [mm]\cdot{} \left(1 - \bruch{x²}{a²}\right)\,[/mm]
> dx
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> = [mm]\pi[/mm] b² [mm]\cdot{} \int_{a}^{-a}[/mm] 1 - [mm]\bruch{x²}{a²}\,[/mm] dx
>
>
> in der Lösung steht nun: [mm]2\pi[/mm] b² [mm]\cdot{} \int_{0}^{a} \left(1 - \bruch{x²}{a²} \right)\,[/mm]
> dx aus Symmetriegründen, (-x)² = x²
>
> was hat dies mit der Symmetrie zu tun, und daraus geht
> hervor, dass sich nun das Intervall von [0;a] geht, das
> versteh ich nicht.
Wegen der Symmetrie (der Graph ist wegen f(-x)=f(x) achsensymmetrisch zur y-Achse) kannst du das Volumen auf einer Seite nur berechnen [0;a] und das dann mal 2 nehmen, weil wegen der Symmetrie auch der Rotationskörper symmetrisch ist und die Grenzen den gleichen Betrag haben, also quasi die gleiche "Länge". Das macht man, weil die Grenze "0" sehr einfach einzusetzen ist.
>
> ich rechne also mit [-a;a] weiter:
meinetwegen, geht auch
>
> = [mm]\pi[/mm] b² [mm]\cdot{} \left[x - \bruch{x³}{3a²}\right]_{-a}^{a}[/mm]
> 'muss man bei dem Term a² nicht noch das x berücksichtigen,
> also 3a²x?
Nein, warum denn? Schließlich wird ja nur nach x integriert, wie das "dx" am Integralende anzeigt.
>
> = [mm]\pi[/mm] b² [mm]\cdot{} \left(a - \bruch{a³}{3a²}\right)[/mm] - [mm]\pi[/mm] b²
> [mm]\cdot{} \left(-a + \bruch{a³}{3a²}\right)[/mm]
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> = [mm]\pi[/mm] b² [mm]\cdot{} \left[\left(a - \bruch{a}{3}\right) - \left(-a + \bruch{a}{3}\right)\right][/mm]
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> = [mm]\pi[/mm] b² [mm]\cdot{} \left(2a + \bruch{2a}{6}\right)[/mm]
Und hier hast du falsch zusammengefasst, es muss heißen:
[mm]\pi b^2\left( 2a- \bruch{2a}{3}\right)=\bruch{4}{3} \pi ab^2[/mm]. Und das ist schon alles!
> = [mm]\pi[/mm] b² [mm]\cdot{} \left(\bruch{12a + 2a}{6}\right)[/mm]
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> = [mm]\pi[/mm] b² [mm]\cdot{} \left(\bruch{14a}{6}\right)[/mm] =
> [mm]\bruch{14}{6}\pi[/mm] ab²
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> es sollte jedoch [mm]\bruch{4}{3}\pi[/mm] ab² rauskommen, wo liegt
> der Fehler?
>
> Gruß
> itse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Do 15.05.2008 | | Autor: | itse |
> > ich rechne also mit [-a;a] weiter:
> meinetwegen, geht auch
> >
> > = [mm]\pi[/mm] b² [mm]\cdot{} \left[x - \bruch{x³}{3a²}\right]_{-a}^{a}[/mm]
> > 'muss man bei dem Term a² nicht noch das x berücksichtigen,
> > also 3a²x?
> Nein, warum denn? Schließlich wird ja nur nach x
> integriert, wie das "dx" am Integralende anzeigt.
genau, deswegen schreibt man ja die Integrationsvariable hin. Dann versteh ich aber nicht warum man dies hier wieder macht und zwar geht es um Kugelvolumen berechnen:
[mm] \pi \int_{-r}^{r} (r²-x²)\, [/mm] dx = [mm] \pi \left[r²x-\bruch{1}{3}x³\right]_{-r}^{r} [/mm] 'warum taucht hier dann bei r² ein x auf? Wenn ich dies doch ableite erhalte ich r², und wenn ich a²x ableite erhalte ich a².
Gruß
itse
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Hi,
das Problem ist, dass du Zähler und Nenner nicht isoliert betrachten darfst, sondern bei der Integration (dx) das a wie eine Konstante behandelst. Bei r²x ist es so, dass das ein Minuend ist und du diesen einzeln integrieren darfst. Es gilt die Integraladditivität:
[mm]\integral_{a}^{b}{\rechts[ f(x) \pm g(x) \links] dx}=\integral_{a}^{b}{f(x) dx} \pm \integral_{a}^{b}{g(x) dx}[/mm].
Bei einem Produkt oder einem Quotient darfst du nicht dieses "teilweise Integrieren" anwenden. Deshalb darfst du auch nicht im Nenner einfach a²x schreiben, sondern du musst [mm]\bruch{x^2}{a^2}[/mm] so schreiben, dass eindeutig ist, was du als Konstante behandelst und was als Variable: [mm]\bruch{x^2}{a^2}=\bruch{1}{a^2} x^2 \Rightarrow \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{a^2} x^2 dx}=\bruch{1}{a^2} \integral_{a}^{b}{x^2 dx}=\bruch{1}{a^2} \bruch{1}{3}x^3=\bruch{x^3}{3a^2}[/mm]. Klar?
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