Rotationskörper m. 2 Variablen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Di 26.06.2007 | | Autor: | Dnake |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Kurve [mm] y=\wurzel[3]{a-x} [/mm] im ersten Quadranten.
Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers
a) um die x-Achse gedreht
b) um die y-Achse gedreht |
Hallo,
bin ziemlich überfragt mit der Aufgabe.
Bei einer Quadratwurzel würde ich das in einen exponent mit 1/2 umwandeln, aber bei einer [mm] \wurzel[3]{x}, [/mm] was mache ich da?
Danke schonmal für Hinweise
Hab gerade gemerkt, da muss ich dann hoch 1/3 schreiben 
dann habe ich also y= (a-x)^(1/3)
Aber was mache ich dann damit...
Normalerweise würde ich dann erstmal schauen, in welchen Grenzen die
Fläche liegt, die ich rotieren lassen soll. Also z.B. Schnittpunkte mit der X-Achse suchen. Aber hier...?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 Di 26.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Generell gilt:
[mm] a^{\bruch{z}{n}}=\wurzel[n]{a^{z}}=(\wurzel[n]{a})^{z}
[/mm]
Marius
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Hallo,
also erst einmal hast Du nicht zwei Variablen, sondern nur eine Variable und eine Konstante. Einsetzen darfst Du unter der Wurzel für x alle x < a, also auch negative x. Das Schaubild ist dann eine Wurzelfunktion, die bei a beginnt und sich in den negativen Bereich erstreckt.
Deine Funktion y = [mm] (a-x)^{1/3} [/mm] setzt für die Rotation um die x-Achse ganz gewöhnlich in deine Formel ein:
[mm]V_{x} = \pi*\integral_{a}^{b} y^{2}\, dx[/mm] , also
[mm]V_{x} =\pi*\integral_{0}^{a} (a-x)^{2/3}\, dx[/mm]
Das wird nach der Potenzregel integriert.
[mm]V_{x} =-\bruch{3}{5}*\pi*\left[(a-x)^{5/3}\right]_{0}^{a}[/mm]
[mm]V_{x} =-\bruch{3}{5}*\pi*\left(0-a^{5/3}\right)[/mm]
[mm]V_{x}=\bruch{3}{5}*\pi*\wurzel[3]{a^{5}}[/mm]
Für die Rotation um die y-Achse löst Du deine Gleichung nach x auf, und setzt sie ein in
[mm]V_{y} = \pi*\integral_{0}^{\wurzel[3]{a}} x^{2}\, dy[/mm]
LG, Martinius
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