Rotationskörper um die Y-Achse < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm] \bruch{2x}{(1+x^2)^2}.
[/mm]
Die positive x-Achse und f(x) begrenzen eine nach rechts bis ins Unendliche reichende Fläche A. Rotiert diese Fläche um die y-Achse, dann entsteht ein Rotationskörper. Untersuchen Sie ob dieser Rotationskörper ein endliches Volumen besitzt und geben sie dieses gegebenfalls an. |
Hallo zusammen,
um diese Aufgabe zu lösen, habe ich folgendes getan:
Ich habe die Formel von Wikipedia verwendet: [mm] http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper#Rotation_um_y-Achse [/mm] nämlich die unterste.
[mm] \integral_{0}^{a}{x \bruch{2x}{(1+x^2)^2} dx} [/mm] = [mm] -\bruch{x}{(1+x^2)} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{a}{x \bruch{-1}{(1+x^2)} dx} [/mm] = [mm] -\bruch{x}{(1+x^2)} [/mm] + arctan(x)
[mm] \integral_{0}^{a}{x \bruch{2x}{(1+x^2)^2} dx} [/mm] = [mm] -\bruch{a}{(1+a^2)} [/mm] + arctan(a)
[mm] \limes_{a\rightarrow\infty} (-\bruch{a}{(1+a^2)} [/mm] + arctan(a)) = [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
V = [mm] 2\pi*\bruch{\pi}{2} [/mm] = [mm] \pi^2
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Viele Grüße
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Hall MrItalian!
Das ist soweit richtig. Ich kann keinen Fehler am Ergebnis erkennen. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Nur beim Aufschreiben musst Du etwas aufpassen.
> [mm]\integral_{0}^{a}{x \bruch{2x}{(1+x^2)^2} dx}[/mm] = [mm]-\bruch{x}{(1+x^2)}[/mm] - [mm]\integral_{0}^{a}{x \bruch{-1}{(1+x^2)} dx}[/mm]
> = [mm]-\bruch{x}{(1+x^2)}[/mm] + arctan(x)
Ganz am Ende in dieser Zeile entschwinden plötzlich die Integrationsgrenzen des bestimmten Integrals.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Mi 24.04.2013 | | Autor: | MrItalian |
Vielen Dank soweit :)
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