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Forum "Vektoren" - Rotationsmatrix
Rotationsmatrix < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Rotationsmatrix: Innere Produkt
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:41 Do 17.11.2011
Autor: quasimo

Frage:
Rotationsmatrix [mm] A(\phi)= \begin{pmatrix}\cos{\phi}&-\sin{\phi}\\ \sin{\phi}&\cos{\phi}\end{pmatrix} [/mm]

v = [mm] \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} [/mm]

Innere Produkt von <v,  [mm] A(\phi)> [/mm] ist aufgezeichnet für [mm] \phi [/mm]  von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] ein Kreis.
Innere Produkt von <v,  [mm] A(\phi)v> [/mm] ist aufgezeichnet ein nach unten gehende parallel zur y-achse gerade mit [mm] \forall [/mm] x=1 für  [mm] \phi [/mm]  von 0 bis [mm] 2\pi [/mm]

Kann mir das wer erklären warum??
Den Kreis kann ich ja nachvollziehen.
Rotationsmatrix wird auf v abgebildet aber das zweite?
        
Bezug
Rotationsmatrix: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:19 Sa 19.11.2011
Autor: meili

Hallo,

> Frage:
>  Rotationsmatrix [mm]A(\phi)= \begin{pmatrix}\cos{\phi}&-\sin{\phi}\\ \sin{\phi}&\cos{\phi}\end{pmatrix}[/mm]
>  
> v = [mm]\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}[/mm]
>  
> Innere Produkt von <v,  [mm]A(\phi)>[/mm] ist aufgezeichnet für
> [mm]\phi[/mm]  von 0 bis [mm]2\pi[/mm] ein Kreis.

Fehlt da nicht noch was?
Wie ist ein Skalarprodukt zwischen einem Vektor und einer Matrix definiert?

>  Innere Produkt von <v,  [mm]A(\phi)v>[/mm] ist aufgezeichnet ein
> nach unten gehende parallel zur y-achse gerade mit [mm]\forall[/mm]
> x=1 für  [mm]\phi[/mm]  von 0 bis [mm]2\pi[/mm]

<v,  [mm]A(\phi)v>[/mm] = [mm] $cos(\phi)$ [/mm]
>  
> Kann mir das wer erklären warum??
>  Den Kreis kann ich ja nachvollziehen.
>  Rotationsmatrix wird auf v abgebildet aber das zweite?

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Rotationsmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:15 Sa 19.11.2011
Autor: quasimo

und warum wird es zum cosinus?

bei Mathematica bei ParametricPlot (Jeder Punkt wird gezeichnet erscheint auch eine cosinus-funktion)
bei Manipulate (wo nur bestimmte punkte eingezeichnet werden entsteht die parallel zur y achse laufende gerade!

Bezug
                        
Bezug
Rotationsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:39 Mo 21.11.2011
Autor: meili

Hallo,

$ [mm] A(\phi)*v= \begin{pmatrix}\cos{\phi}&-\sin{\phi}\\ \sin{\phi}&\cos{\phi}\end{pmatrix}*\vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{\cos{\phi} \\ \sin{\phi}}$ [/mm]

(siehe MBMatrix-multiplikation mit A [mm] $\in \IR^{2 \times 2}$, [/mm] v [mm] $\in \IR^{2 \times 1}$) [/mm]

<v, [mm] $A(\phi)v> [/mm] $ = [mm] <$\vektor{1 \\ 0}, \vektor{\cos{\phi} \\ \sin{\phi}}$> [/mm] = [mm] $1*\cos{\phi} [/mm] + [mm] 0*\sin{\phi} [/mm] = [mm] \cos{\phi} [/mm] $

(siehe []Skalarprodukt)

Werden bei einer Kosinus-Funktion nur Punkte im Abstand von [mm] $2\pi$ [/mm] berechnet und dann verbunden, gibt es eine Gerade.

(siehe []Nyquist-Shannon-Abtasttheorem)

Gruß
meili
Bezug
                                
Bezug
Rotationsmatrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:46 Di 22.11.2011
Autor: quasimo

danke, genau die richtigen Informationen, gut verständlich.
Ich danke dir herzlich.
LG
Bezug
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