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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Mi 22.05.2019 | | Autor: | Leia1138 |
Hallo zusammen,
das Volumen eines Rotationskörpers lässt sich mit folgender Formel berechnen:
[mm] $V=\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}$
[/mm]
Meine Frage dazu:
Ist es auch möglich, zuerst den Mittelwert der Funktion auf dem entsprechenden Intervall zu berechen [mm] $(\overline{m}=\bruch{1}{b-a}\integral_{a}^{b}{f(x) dx})$ [/mm] und diesen dann rotieren zu lassen?
Anschaulich bin ich der Meinung, dass da das gleiche rauskommen müsste.
Ist das richtig? Und wenn ja, wie lässt sich das beweisen?
Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand dabei helfen könnte.
Vielen Dank schon mal!
Leia
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Mi 22.05.2019 | | Autor: | chrisno |
Die Antwort lautet nein, das geht so nicht.
Die Begründung ist, dass das Volumen quadratisch mit dem Radius wächst. Also tragen die Teile, deren Radius größer als der Mittelwert ist, mehr zum Volumen bei, als durch die Teile, deren Radius kleiner ist als der Mittelwert, das Volumen verringern.
(Ich habe mir die Freiheit genommen, das Quadrat in dem Integral sichtbar zu machen.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Mi 22.05.2019 | | Autor: | Leia1138 |
Das ging ja schnell! Vielen Dank für die Antwort und die Korrektur. Das Quadrat ist mir irgendwie abhanden gekommen.
Viele Grüße
Leia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Mi 22.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
>
> das Volumen eines Rotationskörpers lässt sich mit
> folgender Formel berechnen:
> [mm]V=\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}[/mm]
Da fehlt ein [mm] \pi [/mm] vorm Integral.
> Meine Frage dazu:
> Ist es auch möglich, zuerst den Mittelwert der Funktion
> auf dem entsprechenden Intervall zu berechen
> [mm](\overline{m}=\bruch{1}{b-a}\integral_{a}^{b}{f(x) dx})[/mm] und
> diesen dann rotieren zu lassen?
Du willst den Mittelwert rotieren lassen ??
Der Mittelwert ist eine Zahl. Wie soll die rotieren? Was meinst Du damit?
> Anschaulich bin ich der Meinung, dass da das gleiche
> rauskommen müsste.
Mir ist schleierhaft, was Du da anschaulich vor Augen hast.
> Ist das richtig? Und wenn ja, wie lässt sich das
> beweisen?
>
> Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand dabei helfen
> könnte.
>
> Vielen Dank schon mal!
>
> Leia
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Do 23.05.2019 | | Autor: | Leia1138 |
Was ich damit meinte, ist eine Parallele zur x-Achse als Graph einer Funktion mit der Funktionsgleichung [mm] y=\overline{m}. [/mm] Die wollte ich um die x-Achse rotieren lassen, sodass über einem bestimmten Intervall [a;b] ein Zylinder mit der Höhe h=b-a entsteht.
Stimmt, das war absolut nicht mathematisch korrekt formuliert. Ich bitte um Nachsicht.
Viele Grüße
Leia
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