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Forum "Integralrechnung" - Rotationsvolumen
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Rotationsvolumen: Frage zur Formel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:16 Mi 22.05.2019
Autor: Leia1138

Hallo zusammen,

das Volumen eines Rotationskörpers lässt sich mit folgender Formel berechnen:
[mm] $V=\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}$ [/mm]
Meine Frage dazu:
Ist es auch möglich, zuerst den Mittelwert der Funktion auf dem entsprechenden Intervall zu berechen [mm] $(\overline{m}=\bruch{1}{b-a}\integral_{a}^{b}{f(x) dx})$ [/mm] und diesen dann rotieren zu lassen?
Anschaulich bin ich der Meinung, dass da das gleiche rauskommen müsste.
Ist das richtig? Und wenn ja, wie lässt sich das beweisen?

Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand dabei helfen könnte.

Vielen Dank schon mal!

Leia

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Rotationsvolumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:10 Mi 22.05.2019
Autor: chrisno

Die Antwort lautet nein, das geht so nicht.
Die Begründung ist, dass das Volumen quadratisch mit dem Radius wächst. Also tragen die Teile, deren Radius größer als der Mittelwert ist, mehr zum Volumen bei, als durch die Teile, deren Radius kleiner ist als der Mittelwert, das Volumen verringern.
(Ich habe mir die Freiheit genommen, das Quadrat in dem Integral sichtbar zu machen.)

Bezug
                
Bezug
Rotationsvolumen: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:26 Mi 22.05.2019
Autor: Leia1138

Das ging ja schnell! Vielen Dank für die Antwort und die Korrektur. Das Quadrat ist mir irgendwie abhanden gekommen.

Viele Grüße
Leia

Bezug
        
Bezug
Rotationsvolumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 Mi 22.05.2019
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>  
> das Volumen eines Rotationskörpers lässt sich mit
> folgender Formel berechnen:
>  [mm]V=\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}[/mm]


Da  fehlt ein [mm] \pi [/mm] vorm Integral.


>  Meine Frage dazu:
>  Ist es auch möglich, zuerst den Mittelwert der Funktion
> auf dem entsprechenden Intervall zu berechen
> [mm](\overline{m}=\bruch{1}{b-a}\integral_{a}^{b}{f(x) dx})[/mm] und
> diesen dann rotieren zu lassen?


Du willst  den  Mittelwert rotieren  lassen ??

Der  Mittelwert ist  eine Zahl.  Wie  soll  die rotieren?  Was  meinst  Du damit?


>  Anschaulich bin ich der Meinung, dass da das gleiche
> rauskommen müsste.

Mir ist  schleierhaft,  was  Du da  anschaulich vor Augen hast.


>  Ist das richtig? Und wenn ja, wie lässt sich das
> beweisen?
>  
> Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand dabei helfen
> könnte.
>  
> Vielen Dank schon mal!
>  
> Leia
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Rotationsvolumen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:30 Do 23.05.2019
Autor: Leia1138

Was ich damit meinte, ist eine Parallele zur x-Achse als Graph einer Funktion mit der Funktionsgleichung [mm] y=\overline{m}. [/mm] Die wollte ich um die x-Achse rotieren lassen, sodass über einem bestimmten Intervall [a;b] ein Zylinder mit der Höhe h=b-a entsteht.

Stimmt, das war absolut nicht mathematisch korrekt formuliert. Ich bitte um Nachsicht.

Viele Grüße
Leia

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