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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Ve123 |
| Aufgabe | Gegeben ist f(x) = 1/2 * Wurzel (25-x²)
a) Bestimme die Gleichung der Tangente im Berührpunkt P (3; f(3) )
b) Rotation des Graphen und der Tangente ergibt einen stromlinienförmigen Körper. Berechne sein Volumen |
Aufgabe a habe ich gelöst:
Die Gleichung der Tangente lautet: -0,375 x + 3,125
nur bei Aufgabe b fehlt mir leider der Ansatz:
Rotieren die Funktionen um die x-Achse?
--> Wie sieht ein stromlinienförmiger Körper aus?
Verwende ich die Formel eines Zylinder- oder die eines Kugelvolumnes zu Näherung?
Wie beziehe ich beide Graphen in die Berechnung mit ein? --> Muss ich da irgendetwas voneinander abziehen?
Über eine Hilfe würde ich mich sehr freuen.
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Hallo Ve123,
ich teile Deine Verwirrung und sehe keinen möglichen Sinn in Aufgabe b.
Die Tangente hast Du richtig bestimmt.
Als stromlinienförmig wir ein Körper normalerweise dann bezeichnet, wenn er eine im wesentlichen konvexe Oberfläche hat und man ein vorn und hinten so definieren kann, dass das vordere Ende "rund und dick" und das hintere Ende "dünn" ist, egal ob es auch abgerundet oder, seltener, spitz ist.
Wie man die Tangente mit einbeziehen soll, so dass ein entstehender Rotationskörper als stromlinienförmig bezeichnet werden kann, sehe ich überhaupt nicht. Wenn Du nur die eigentliche Funktion um die x-Achse rotieren lässt, kommt immerhin ein Ellipsoid heraus, also ein glatter, sozusagen kugelähnlicher Körper. Dieser hat genau ein Viertel des Volumens einer Kugel mit Radius 5.
Es gibt Integralformeln zur Berechnung von Rotationskörpern. Hattet Ihr die? Wenn nein, dann kann eigentlich nur das Ellipsoid gemeint sein.
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Ve123 |
Wir hatten die Formlen für das Roatationsvolumen, wo man einfach immer größer werdene Zylinder in den Körper gesteckt hat, um die Form an zu nährern. Da hatten wir dann die Formel:
Integral von 0 bis a Pi * ( f(x) )² dx
Als letztes hatten wir dann die Formel Integral von -r bis r (Wurzel r²-x²)² dx unter der Überschrift "Das Kugelvolumen als Rotationsvolumen"
und daran hat sich die Aufgabe quasi angeschlossen - also hätte ich spontan darauf getippt, dass wir die 2. Formel anwenden sollen.
Nur weiß ich wie gesagt nicht, wie ich da die Tangente miteinbeziehen soll...
und jetzt wo ich nochmal drüber nachdenke frage ich mich auch:
wie lege ich die Integrationsgrenzen fest --> was ist der radius?
und was ist ein ellipsoid? der Begriff ist bisher bei uns nicht aufgetaucht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Sa 17.01.2009 | | Autor: | ardik |
Hallo Ve123,
> Wir hatten die Formlen für das Roatationsvolumen, wo man
> einfach immer größer werdene Zylinder in den Körper
> gesteckt hat, um die Form an zu nährern. Da hatten wir dann
> die Formel:
> Integral von 0 bis a Pi * ( f(x) )² dx
[mm] $\integral_{0}^{a}{\pi *\left(f(x)\right)^2 dx}$
[/mm]
Ja!
> Als letztes hatten wir dann die Formel Integral von -r bis
> r (Wurzel r²-x²)² dx unter der Überschrift "Das
> Kugelvolumen als Rotationsvolumen"
>
> und daran hat sich die Aufgabe quasi angeschlossen - also
> hätte ich spontan darauf getippt, dass wir die 2. Formel
> anwenden sollen.
Nein. Die "2. Formel" ist nicht als eigene Formel gedacht, sondern sollte eine erste Beispielaufgabe sein.
> Nur weiß ich wie gesagt nicht, wie ich da die Tangente
> miteinbeziehen soll...
Siehe dazu meinen anderen vor wenigen Minuten geschriebenen Artikel.
> wie lege ich die Integrationsgrenzen fest --> was ist der
> radius?
Großes Missverständnis!
Stell Dir noch mal die vielen flachen Zylinder vor! Deren jeweiliger Radius ergibt sich aus dem Funktionswert! Entsprechend findest Du in obiger Rotationsformel ja auch die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises [mm] $\left(A=\pi * r^2\right)$ [/mm] und dort, wo der Radius hingehört, steht [mm] $f\!\,(x)$.
[/mm]
Die Integrationsgrenzen ergeben sich daraus, wo links der geforderte Rotationskörper beginnt und wo er rechts aufhört (bzw. in geeignete Teile zerschnitten).
Bei der Kugel waren die Integrationsgrenzen sozusagen "zufällig" mit dem in der Formel verwendeten Radius identisch, da die Kugel ja in alle Richtungen symmetrisch ist.
> und was ist ein ellipsoid?
Der Körper, der entsteht, wenn man eine Ellipse um Ihre Achse rotiert. Sozusagen eine langgezogene Kugel. (Analog könnte man eine Kugel als Kreisoid bezeichnen ...  ).
Schöne Grüße
ardik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Sa 17.01.2009 | | Autor: | ardik |
Hallo Ve123,
> nur bei Aufgabe b fehlt mir leider der Ansatz:
> Rotieren die Funktionen um die x-Achse?
normalerweise ja, wenn aus der Aufgabenstellung nicht anders erkennbar.
> --> Wie sieht ein stromlinienförmiger Körper aus?
reverend hat das ja schon beschrieben.
Hier ist es sicherlich die hellblaue Fläche, die um die x-Achse rotieren soll, so dass ein rechts spitzer und links abgerundet dicker Körper entsteht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Verwende ich die Formel eines Zylinder- oder die eines
> Kugelvolumnes zu Näherung?
Weder noch.
Bei der Aufgabe würde ich erwarten, dass Ihr die von reverend erwähnte Integralformel für einen Rotationskörper in der Schule bereits kennengelernt habt. Diese enthält die Flächenformel eines Kreises. Man stellt sich den Rotationskörer nämlich aus unendlich vielen aufeinanderliegenden, unendlich „dünnen“ Zylindern - also quasi Kreisen - zusammengesetzt vor.
> Wie beziehe ich beide Graphen in die Berechnung mit ein?
> --> Muss ich da irgendetwas voneinander abziehen?
Im Gegenteil: Zusammenzählen.
Mit der Rotationsformel berechnest Du das Volumen des Ellipsoids von $x=-5$ bis $x=3$ und addierst das Volumen der kegelförmigen Spitze [mm] ($3
Schöne Grüße
ardik
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Sa 17.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hey, ardik, gute Idee!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Ve123 |
Vielen Dank.
Also so wie die Fläche dargestellt ist, kann ich mir durchaus etwas darunter vorstellen.
Nur hatten wir tatsächlich keine Formel in welcher die Flächenformel eines Kreises auftaucht, sondern nur die mit dem Zylindervolumen - also:
Integral von 0 bis a Pi * ( f(x) ) ² dx
wobei die Flächenformel für den Kreis ja A = Pi * r ist... und die Höhe des Zylinders steckt ja schon in dem dx der Integrationsformel oder?
aber das würde dann ja passen oder, wenn ich die zur Berechnung des Volumens bis x=3 nehme.
Für die weitere Berechnung soll ich ja das Kegelvolumen nehmen. Nehm ich da einfach die Volumensformel und wandle sie um?
Die Formel lautet ja: V = 1/3 * Pi * r² h
kann ich dann wieder für r den Funktionswert einsetzen?
also dann:
Integral 1/3 * Pi * ( f(x) )² dx?
so könnt ich es mir eigentlich vorstellen.
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Deine Formel enthält doch den Flächeninhalt eines Kreises, der den Radius f(x) hat.
Also ganz richtig: von -5 bis 3 wendest Du Deine Integralformel an, rechst von drei entweder die Formel für das Kegelvolumen oder aber die gleiche Integralformel, nur ab da mit der Tangentengleichung als Funktion. Das Ergebnis ist das gleiche.
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Ve123 |
Ich hab das jetzt ausgerechnet:
Für das Volumen von -5 bis 3 erhalte ich etwa: 117,29
und für das Volumen der Spitze von 3 bis 8 1/3 etwa: 22,7
zusammen ergibt sich also ca 140.
Stimmt das?
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Hallo Ve123,
> Ich hab das jetzt ausgerechnet:
>
> Für das Volumen von -5 bis 3 erhalte ich etwa: 117,29
> und für das Volumen der Spitze von 3 bis 8 1/3 etwa: 22,7
>
> zusammen ergibt sich also ca 140.
>
> Stimmt das?
Ich habe das jetzt (noch) nicht nachgerechnet.
Ich glaube aber, du verstehst den Ansatz von ardik besser, wenn du mal in unser  SchulMatheLexikon schaust, speziell Rotationsvolumen.
Diese Aufgabe ist eigentlich eine Standardaufgabe zum Rotationsvolumen und wird daher mit zwei Integralen gelöst.
Probier diesen Weg aus und vergleiche selbst mit den oben genannten Lösungen...
übrigens: mit dem Formeleditor lassen sich die Terme besser lesen:
$f(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \wurzel{25-x^2}$ [/mm]
[mm] V=\pi\integral_{-5}^{3}{(f(x))^2 \ dx}+\pi\integral_{3}^{\bruch{25}{3}}{(t(x))^2 \ dx}
[/mm]
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Ve123 |
Danke für die Hinweise!!
Ich denke ich hab das verstanden. Mein Problem an der ganzen Sache war eigentlich nur, dass ich gedacht habe, dass man auch das Kugelvolumen als Rotationsvolumen nehmen könnte. Aber jetzt weiß ich ja, dass nur ein Beispiel oder eine Anwendung des Rotationsvolumens ist.
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