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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Do 12.05.2005 | | Autor: | direk |
Hallo,
ich habe am kommenden Mittwoch die mündliche Prüfung zum Thema Integralrechnung, genauer gesagt Rotationsvolumen berechnen etc.
Der Lehrer hat uns schon einige tipps gegeben aber die reichen nicht um sich nach vorne zu stellen und 10 bzw. 20 min zu reden :(
Ich habe mich gerade erst hier angemeldet und weiss mir nicht zurecht zu helfen...
Gibt es irgendjemanden, der die Formeln für z.B. einen Kegel ausrechnen kennt oder weiss wofür das dx steht.
naja danke mal im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo direk,
> Gibt es irgendjemanden, der die Formeln für z.B. einen
> Kegel ausrechnen kennt
Stelle dir einen Stab vor, der in der Erde steckt. Du willst jetzt diesen Stab rausziehen, er steckt aber sehr tief drin. Was machst Du nun? Wenn Du einfach nur am Stab ziehst, strengst Du dich unnötig an. Besser wäre es wohl den Stab um sich selbst zu drehen, zunächst in kleinen und dann in immer größeren Kreisen, und ihn dabei langsam rauszuziehen. Und welche geometrische Figur beschreibt dieser rotierende Stab, während Du ihn drehst? Einen senkrechten Kreiskegel.
Den Stab können wir im kartesischen Koordinatensystem z.B. mit einer Ursprungsgeraden modellieren: [mm] $f\left(x\right) [/mm] = ax$. Das [mm] $a\!$ [/mm] ist die Steigung dieser Geraden und bedeutet beim Beispiel mit dem Stab, in welch' großen Kreisen Du den Stab aus dem Boden drehst. Nun gibt es spezielle Formeln zur Berechnung des Volumens eines solchen Drehkörpers. Wenn Du den Graphen von [mm] $f\left(x\right)$ [/mm] um die [mm] $x\texttt{-Achse}$ [/mm] drehst, mußt Du folgendes Integral verwenden:
[m]V_{\texttt{senk. Kreiskegel}} = \pi\integral_{x_1}^{x_2} {f^2(x) dx}[/m]
Durch [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] können wir festlegen in welchem Intervall wir den Graphen von [mm] $f\!$ [/mm] drehen wollen. In unserem Fall heißt das:
[m]V_{\texttt{senk. Kreiskegel}} = \pi\integral_{0}^{h} {a^2x^2 dx}[/m]
Die untere Grenze muß 0 sein, da wir sonst das Volumen eines Kegelstumpfs berechnen würden, weil wir die "Spitze" des Kegels "verlieren" würden. Die obere Grenze habe ich [mm] $h\!$ [/mm] genannt, weil das dann quasi die Höhe des Kegels ist. Den konstanten Faktor können wir rausziehen und erhalten damit:
[m]V_{\texttt{senk. Kreiskegel}} = \frac{\pi a^2 h^3}{3}[/m]
Und was ist nun das [mm] $a\!$? [/mm] Das [mm] $a\!$ [/mm] ist im Grunde der Tangens des Winkels zwischen [mm] $f\!$ [/mm] und der [mm] $x\texttt{-Achse}$. [/mm] Ist [mm] $r\!$ [/mm] der Radius der Kreisgrundfläche des Kegels, so gilt: $a = [mm] \tfrac{r}{h}$. [/mm] Wir setzen ein und erhalten
[m]V_{\texttt{senk. Kreiskegel}} = \frac{\pi \left(\frac{r}{h}\right)^2 h^3}{3} = \frac{\pi r^2 h}{3},[/m]
da sich das [mm] $h\!$ [/mm] wegkürzt.
> oder weiss wofür das dx steht.
Sieh dir mal diese Diskussion an.
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Do 12.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich denk mal du kannst dir eine Parabel oder ein anderes Stück Kurve um die x oder y Achse gedreht denken.
Nun schneidest du diese Figur in Gedanken oder ner Zeichnung in dünne Scheibchen. wenn du um die x Achse drehst hat jedes der Scheibchen den Radius y bzw, f(x) seine Dicke nennen wir mal [mm] \Deltax! [/mm] eine Scheibe ist beihnahe ein Niederer Zylinder mit Volumen [mm] \pi*y^{2}*\Deltax. [/mm] und nun mußt du alle die Scheibchen aufaddieren und dann [mm] \Delta [/mm] x sehr, sehr (beliebig) klein machen. Das kennst du ja aber hoffentlich schon vom "normalen" Integral, nur dass man da über kleine Rechtecke summiert hat, statt über kleine Volumen. dx ist noch das Symbol weil man ja [mm] \Delta [/mm] x vorher hatte. also jetzt
V= [mm] \integral_{a}^{b} {\pi*f^2(x) dx}.
[/mm]
wenn du um die y_ Achse drehst entsprechen Kreisscheiben mit Radius x und Höhe [mm] \Deltay
[/mm]
Wenn du das schön an der Tafel vorführst mit Zeichnung und Scheiben, und dann noch das eine oder andere Beispiel rechnen kannst sind 25 Min. schnell rum. Danach stellt er dir eh noch Fragen, und wenn du's gut kapiert hast kannst du die dann auch.
Überleg, was passiert, wenn deine Fkt. ,die du um die y-Achse drehst zwischen a und b ein Maximum oder minimum hat!
Weitere Zusatzfragen genauer formulieren!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:20 Fr 13.05.2005 | | Autor: | direk |
Hey,
also erstmal danke an euch, das finde ich echt super nett das ihr so Hilfsbereit seit. Ich hab mir das durchgelesen und habe das mit dem dx klar verstanden, aber der rest ist mir auf irgendeiner art und weise kompliziert, ich hatte bisher nur im Grundkurs Mathe und davor kam ich mit einer vier davon. Kann man sich auf irgendeiner Seite das so durchlesen das das jeder idiot verstehen kann. Das war zwar super gut beschrieben mit dem Stab, aber als die Zahlen kamen mit Wurzeln etc. hab ich wieder wenig verstanden.
Eine andere Frage: Wo ist der Unterschied zwischen Integral- und Differentialrechnung? Das war eine Frage die der Lehrer gesagt hat, die in der Prüfung evtl. auch mit rankommen könnte.
Hat denn einer von euch Profis MSN oder ICQ worüber man euch genauere Fragen stellen könnte ? Also ich find das hier Super, dass ich überhaupt ne Antwort gekriegt habe, hätte das gar nicht gedacht.
Danke im voraus
mfg
direk
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:05 Fr 13.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kannst du mal aufschreiben, was du überhaupt noch so über ein Integral, zBsp zur Flächenberechnung weisst? Und welche Tips der Lehrer gegeben hat, dann kan man besser abschätzen was du brauchst.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:53 Fr 13.05.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo direk,
Schau dir mal diese Seite an. Hier findest viele Erklärungen zu allen Themen, die in der Oberstufe behandelt werden. Mir hat diese Seite oft geholfen.
![[]](/images/popup.gif) Mathe-Aufgaben
Einfach mal ein wenig durch die Links klicken. Vielleicht findest du dort ja eine Antwort auf deine Fragen.
Gruß Fabian
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