Rotationsvolumen um Y-Achse < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Rotationsvolumen der eingeschlossenen Fläche von [mm] y=x^2;x=1;y=4 [/mm] rotiert um die Achse x=1 |
Hallo,
die einzige Formel die ich für das Rotationsvolumen kenne ist
[mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{g(x)^2(y) dy}
[/mm]
Beim Anwenden habe ich nun 2 Probleme:
1.) Es soll um x=1 rotiert werden und nicht um y
2.) von y=4 gibt es keine Umkehrfunktion
Die einzige Lösung die mir nun einfällt wäre die parabel so zu verschieben, dass die Fläche zwischen der Parabel und der y Achse direkt eingeschlossen wird
also aus [mm] y=x^2 [/mm] wird [mm] y=(x+1)^2-4
[/mm]
Die Umkehrfunktion lautet dann: [mm] y=\wurzel{{x+4}}-1
[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{1}{(\wurzel{{x+4}}-1)^2 dx}
[/mm]
So, nun scheitere ich allerdings mit meinem Wissen am Aufleiten diese Funktion.
Daher meine Frage: Ist der Ansatz so richtig oder gibt es einen einfacheren Weg?
Und falls der Ansatz richtig ist: Wie leite ich diese Funktion auf?
Danke
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Habe das mit dem Integrieren jetzt mit Hilfe der binomischen Formel hinbekommen:
V= [mm] \pi *(\bruch{1}{2} x^2+4x-\bruch{4}{3}(x+4)^{\bruch{3}{2}}+x) \vmat{ 1 \\ 0 } [/mm] =1,26 * [mm] \pi [/mm]
Ist das die richtige Lösung? Falls ja: Komme ich da einfacher hin oder ist das wirklich der einfachste Lösungsweg?
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Hallo RichardEb,
> Habe das mit dem Integrieren jetzt mit Hilfe der
> binomischen Formel hinbekommen:
> V= [mm]\pi *(\bruch{1}{2} x^2+4x-\bruch{4}{3}(x+4)^{\bruch{3}{2}}+x) \vmat{ 1 \\ 0 }[/mm]
> =1,26 * [mm]\pi[/mm]
>
> Ist das die richtige Lösung? Falls ja: Komme ich da
> einfacher hin oder ist das wirklich der einfachste
> Lösungsweg?
Die Lösung ist nicht richtig.
Für einen anderen Lösungsweg siehe hier.
Gruss
MathePower
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Hallo RichardEb,
> Rotationsvolumen der eingeschlossenen Fläche von
> [mm]y=x^2;x=1;y=4[/mm] rotiert um die Achse x=1
> Hallo,
>
> die einzige Formel die ich für das Rotationsvolumen kenne
> ist
>
> [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{a}^{b}{g(x)^2(y) dy}[/mm]
>
> Beim Anwenden habe ich nun 2 Probleme:
>
> 1.) Es soll um x=1 rotiert werden und nicht um y
> 2.) von y=4 gibt es keine Umkehrfunktion
>
Eine Umkehrfunktion wird nicht benötigt, denn
für die Rotation um die y-Achse gilt
zunächst:
[mm]V_{y}=\pi*\integral_{y_{1}}^{y_{2}}{x^{2} \ dy}[/mm]
Ersetzt man hier dy durch das Differential:
[mm]y=f\left(x\right) \Rightarrow dy= f'\left(x\right) \ dx[/mm]
Dann gilt:
[mm]V_{y}=\pi*\integral_{y_{1}}^{y_{2}}{x^{2} \ dy}=\pi*\integral_{x_{1}}^{x_{2}}{x^{2} \ f'\left(x\right) \ dx}[/mm]
> Die einzige Lösung die mir nun einfällt wäre die parabel
> so zu verschieben, dass die Fläche zwischen der Parabel
> und der y Achse direkt eingeschlossen wird
>
> also aus [mm]y=x^2[/mm] wird [mm]y=(x+1)^2-4[/mm]
> Die Umkehrfunktion lautet dann: [mm]y=\wurzel{{x+4}}-1[/mm]
>
> Daraus ergibt sich:
> [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{0}^{1}{(\wurzel{{x+4}}-1)^2 dx}[/mm]
>
> So, nun scheitere ich allerdings mit meinem Wissen am
> Aufleiten diese Funktion.
>
> Daher meine Frage: Ist der Ansatz so richtig oder gibt es
> einen einfacheren Weg?
>
Der Ansatz ist leider nicht richtig.
Für einen einfacheren Weg siehe oben.
> Und falls der Ansatz richtig ist: Wie leite ich diese
> Funktion auf?
>
Schreibe statt "aufleiten" besser "integrieren"
oder "Stammfunktion bilden".
> Danke
Gruss
MathePower
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Mich stört, daß du von einer Parallelen zur y-Achse sprichst. Es geht wohl eher um die Rotation um die y-Achse selbst.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Do 09.04.2015 | | Autor: | MathePower |
Hallo Leopold_Gast,
> Mich stört, daß du von einer Parallelen zur y-Achse
> sprichst. Es geht wohl eher um die Rotation um die y-Achse
> selbst.
Ja, da hast Du recht.
Die Formel die dann betrachtet werden muss, lautet:
[mm]V_{y}=\integral_{y_{1}}^{y_{2}}{\left(x-1\right)^{2} \ dy}=\integral_{x_{1}}^{x_{2}}{\left(x-1\right)^{2} \ f'\left(x\right) \ dx}[/mm]
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> Hallo RichardEb,
>
> > Rotationsvolumen der eingeschlossenen Fläche von
> > [mm]y=x^2;x=1;y=4[/mm] rotiert um die Achse x=1
> > Hallo,
> >
> > die einzige Formel die ich für das Rotationsvolumen kenne
> > ist
> >
> > [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{a}^{b}{g(x)^2(y) dy}[/mm]
> >
> > Beim Anwenden habe ich nun 2 Probleme:
> >
> > 1.) Es soll um x=1 rotiert werden und nicht um y
> > 2.) von y=4 gibt es keine Umkehrfunktion
> >
>
>
> Eine Umkehrfunktion wird nicht benötigt, denn
> für die Rotation um die y-Achse gilt
> zunächst:
>
> [mm]V_{y}=\pi*\integral_{y_{1}}^{y_{2}}{x^{2} \ dy}[/mm]
>
> Ersetzt man hier dy durch das Differential:
>
> [mm]y=f\left(x\right) \Rightarrow dy= f'\left(x\right) \ dx[/mm]
Ich stehe gerade auf dem Schlauch. Soll das bei der konkreten Funktion
[mm] y=x^2 [/mm] so aussehen?
[mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}{x^{2} * 2x} [/mm] oder wie hast du das gemeint?
Welche Grenzen nehme ich? a=1 und b=2? und wo wird die Obere Grenze y=4 berücksichtigt?
Ich habe ja einen Teil einer Parabel der nach oben hin durch y=4 begrenzt ist und nach Links durch x=1 und dann auch nicht um y rotiert werden soll sondern um die Achse x=1. Ich habe keine Ahnung wie ich das in dein Integral einbauen soll.
Kannst du mir bitte mal ein konkretes Beispiel machen? Ich verstehe solche theoretischen Ansätze nie. Brauche immer ein Beispiel dazu.
Danke!
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Hallo RichardEb,
> > Hallo RichardEb,
> >
> > > Rotationsvolumen der eingeschlossenen Fläche von
> > > [mm]y=x^2;x=1;y=4[/mm] rotiert um die Achse x=1
> > > Hallo,
> > >
> > > die einzige Formel die ich für das Rotationsvolumen kenne
> > > ist
> > >
> > > [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{a}^{b}{g(x)^2(y) dy}[/mm]
> > >
> > > Beim Anwenden habe ich nun 2 Probleme:
> > >
> > > 1.) Es soll um x=1 rotiert werden und nicht um y
> > > 2.) von y=4 gibt es keine Umkehrfunktion
> > >
> >
> >
> > Eine Umkehrfunktion wird nicht benötigt, denn
> > für die Rotation um die y-Achse gilt
> > zunächst:
> >
> > [mm]V_{y}=\pi*\integral_{y_{1}}^{y_{2}}{x^{2} \ dy}[/mm]
> >
> > Ersetzt man hier dy durch das Differential:
> >
> > [mm]y=f\left(x\right) \Rightarrow dy= f'\left(x\right) \ dx[/mm]
>
> Ich stehe gerade auf dem Schlauch. Soll das bei der
> konkreten Funktion
> [mm]y=x^2[/mm] so aussehen?
>
> [mm]V=\pi*\integral_{a}^{b}{x^{2} * 2x}[/mm] oder wie hast du das
> gemeint?
>
Genauso. Allerdings gilt diese Formel nur bei Rotation um x=0.
> Welche Grenzen nehme ich? a=1 und b=2? und wo wird die
> Obere Grenze y=4 berücksichtigt?
>
> Ich habe ja einen Teil einer Parabel der nach oben hin
> durch y=4 begrenzt ist und nach Links durch x=1 und dann
> auch nicht um y rotiert werden soll sondern um die Achse
> x=1. Ich habe keine Ahnung wie ich das in dein Integral
> einbauen soll.
>
> Kannst du mir bitte mal ein konkretes Beispiel machen? Ich
> verstehe solche theoretischen Ansätze nie. Brauche immer
> ein Beispiel dazu.
>
Die Grenzen für y sind y=1 und y=4.Damit ergibt sich zunächst:
[mm]V_{y}=\pi*\integral_{1}}^{4}{x^{2} \ dy}[/mm]
Nun ist hier nicht die Rotation um x=0 gefragt,
sondern die Rotation um x=1. Demnach lautet die Formel:
[mm]V_{y}=\pi*\integral_{1}}^{4}{\left(x\blue{-1}\right)^{2} \ dy}[/mm]
Mit obiger Ersetzung [mm]dy=2x \ dx[/mm] wird daraus:
[mm]V_{y}=\pi*\integral_{1}}^{4}{\left(x\blue{-1}\right)^{2} \ dy}=\pi*\integral_{1}^{2}{\left(x-1\right)^{2}*2x \ dx}[/mm]
> Danke!
>
>
Gruss
MathePower
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Erstmal vielen Dank für die tolle Antwort. Nun ist mir schon einiges Klarer geworden. Nur 2 kleine Fragen habe ich noch:
> Mit obiger Ersetzung [mm]dy=2x \ dx[/mm] wird daraus:
>
> [mm]V_{y}=\pi*\integral_{1}}^{4}{\left(x\blue{-1}\right)^{2} \ dy}=\pi*\integral_{1}^{2}{\left(x-1\right)^{2}*2x \ dx}[/mm]
>
Warum wird hier als dy die Ableitung von der Ursprungsfunktion [mm] x^2 [/mm] verwendet und nicht von der verschobenen Funktion [mm] (x-1)^2?
[/mm]
(Müsste es nicht eigentlich [mm] (x+1)^2 [/mm] sein? Soll doch nach links an die Y-Achse wandern)
Wie kommst du auf die Grenzen 1,4? Die 4 stammt sicherlich aus der oberen Schranke y=4 und das 1 aus x=1? Oder muss man die noch irgendwie neu berechnen? (Zufall, dass das gerade so passt)
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Hallo RichardEb,
> Erstmal vielen Dank für die tolle Antwort. Nun ist mir
> schon einiges Klarer geworden. Nur 2 kleine Fragen habe ich
> noch:
>
>
> > Mit obiger Ersetzung [mm]dy=2x \ dx[/mm] wird daraus:
> >
> > [mm]V_{y}=\pi*\integral_{1}}^{4}{\left(x\blue{-1}\right)^{2} \ dy}=\pi*\integral_{1}^{2}{\left(x-1\right)^{2}*2x \ dx}[/mm]
>
> >
>
> Warum wird hier als dy die Ableitung von der
> Ursprungsfunktion [mm]x^2[/mm] verwendet und nicht von der
> verschobenen Funktion [mm](x-1)^2?[/mm]
Ich gehe hier von der originalen Aufgabenstellung aus.
> (Müsste es nicht eigentlich [mm](x+1)^2[/mm] sein? Soll doch nach
> links an die Y-Achse wandern)
>
> Wie kommst du auf die Grenzen 1,4? Die 4 stammt sicherlich
> aus der oberen Schranke y=4 und das 1 aus x=1? Oder muss
> man die noch irgendwie neu berechnen? (Zufall, dass das
> gerade so passt)
>
Es ist richtig, daß aus x=1 y=1 folgt.
Gruss
MathePower
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So jetzt nochmal langsam, damit ich mitkomme. Ich fasse das einfach nochmal zusammen und ihr könnt mich korrigieren, wenn ich einen Fehler mache.
1.)Die Aufgabenstellung.
[mm] f(x)=x^2;x=1;y=4 [/mm] Rotationsvolumen der von den 3 Funktionen eingeschlossenen Fläche um x=1 Hier eine Zeichnung: http://www.pic-upload.de/view-26683598/1.png.html
2.)Die richtige Formel
[mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{g(x)^2(y) dy} [/mm] <=> [mm] \pi\cdot{}\integral_{a}^{b}{f(x) * f'(x)} [/mm]
Also die beiden Formel sind äquivalent. Es ist egal ob ich das Integral der quadrierten Umkehrfunktion oder das Integral aus f(x) * f'(x) nehme. Korrekt? Gilt das Immer? Sind die Grenzen identisch?
3.) Verschieben
Da nicht um die Y-Achse sondern um x=1 rotiert werden muss, muss ich die Parabel an die Y-Achse verschieben. Aus [mm] f(x)=x^2 [/mm] wird [mm] f(x)=(x+1)^2
[/mm]
Hier eine Zeichnung: http://www.pic-upload.de/view-26683599/2.png.html
4.)Einsetzen
[mm] \pi\cdot{}\integral_{a}^{b}{f(x) * f'(x)} [/mm] = [mm] \pi\cdot{}\integral_{a}^{b}{(x+1)^2 * 2*(x+1)} [/mm]
5.) Die Grenzen
Die Grenzen ergeben sich aus den in 1.) gegebenen Funktionen x=1;y=4
Somit ist a=x=1 und b=y=4
[mm] \pi\cdot{}\integral_{1}^{4}{(x+1)^2 * 2*(x+1)} [/mm]
6.) Das Ergebnis
Nun nur noch berechnen
[mm] \pi\cdot{}\integral_{1}^{4}{(x+1)^2 * 2*(x+1)} =\bruch{609}{2}\pi
[/mm]
Irgendwie kann das nicht stimmen oder? Wo bin ich denn jetzt wieder falsch?
7.) Die alternative Rechnung
[mm] \pi \int_0^4 \left( 1 + \sqrt{x} \right)^2 \mathrm{d}x [/mm] - [mm] \pi \int_0^1 \left( 1 - \sqrt{x} \right)^2 \mathrm{d}x [/mm] =70
Also eines von den beiden Ergebnissen ist auf jeden Fall falsch. Kann mir bitte nochmal jemand den Ansatz zu 7. Erklären und auch woher die Grenzen stammen?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Fr 10.04.2015 | | Autor: | rmix22 |
Hmm, plötzlich wirdr hier nicht mehr die Option des Zitierens angeboten - warum nicht?
Egal, dann eben in Kurzform(?), ohne deine Ausführungen zu kommentieren. Dein Ergebnis ist jedenfalls falsch, wie du ja selbst schon vermutet hast.
Klammere dich nicht so an fertige Formeln. Vor allem dann nicht, wenn diese nur für Spezialfälle gelten und du dazu erst deine Angabe transformieren müsstest.
Außerdem müsstest du wohl erst definieren, was du mit [mm] $g(x)^2(y)$ [/mm] eigentlich meinst und beim zweiten Integral fehlt eine Integrationsvariable.
Dass es zwei verschiedene Auffassungen geben kann, welches Flächenstück rotieren soll, das habe ich in meiner Antwort hier
https://matheraum.de/read?i=1055609
schon ausgeführt. Dort findest du auch die Ergebnisse für beide Varianten.
Es ist doch relativ leicht, sich den Rotationskörper vorzustellen, oder?
Nimm doch einfach deine Geogebra-Zeichnung. Wir stellen uns diesen Drehkörper jetzt vor und zerteilen ihn in dünne Scheibchen indem wir horizontale Schnitte durchführen. Jedes dieser Scheibchen hat nun die Dicke (=Höhe) [mm] $\Delta [/mm] y$, wofür ich jetzt gleich schlampigerweise $dy$ schreibe, weil wir natürlich gleich einen Grenzübergang [mm] $\Delta [/mm] y [mm] \rightarrow [/mm] 0$ betrachten müssen.
Die einzelnen Scheiben sind näherungsweise Zylinder und jetzt überleg einmal, wie deren Radius zu bezeichnen wäre. Zeichne dir einen solchen horizontalen Schnitt in Gedanken in deiner Zeichnung ein. Wie weit ist es von der Rotationsachse (x=1) bis zum Punkt auf der Parabel. Es ist doch leicht zu sehen, dass dieser Abstand $x-1$ ist, oder? x ist dabei die variable x-Koordinate des Punktes auf der Parabel.
Das Volumen eines Zylinders ist [mm] $\pi*radius^2*hoehe$, [/mm] also ist das Volumen dieser "Elementarscheibe" [mm] $dV=\pi*(x-1)^2*dy$.
[/mm]
Die y-Grenzen hast du ja schon bestimmt (und sind auch in der zeichnung deutlich ersichtlich) - wir müssen diese Scheibchen von y=1 bis y=4 aufsummieren, nach dem Grenzübergang heißt das dann ja eben integrieren.
Also: [mm] $V=\int_{y=1}^4 dV=\int_{y=1}^4 (x-1)^2 dy=\int_1^4 (\sqrt [/mm] y [mm] -1)^2 [/mm] dy$
Gruß RMix
EDIT: Dass beide deiner Ergebnisse falsch sind, das kannst du doch auch selbst leicht abschätzen. Lasse anstelle der Parabel die Gerade x=2 rotieren und das auch für y=1 bis y=3. Was entsteht ist ein Drehzylinder, der den zu berechnenden Körper vollständig umschließt. Dieser Drehzylinder hat den Radius 1 und die Höhe 2. Sein Volumen ist daher [mm] $3*\pi$. [/mm] Das ist dann doch zweifellos eine obere Grenze für das gesuchte Volumen.
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Irgendwie ist da der Wurm drin. Richtig ist
[mm]f(x) = (x-1)^2 \, , \ \ x \in [0,3][/mm]
Das gibt
[mm]V = \int_0^3 x^2 \cdot 2(x-1) ~ \mathrm{d}x[/mm]
Dasselbe ergibt sich auch, wenn man den von RichardEb vorgeschlagenen Weg nimmt (siehe meinen Beitrag unten):
[mm]V = \pi \int_0^4 \left( 1 + \sqrt{x} \right)^2 ~ \mathrm{d}x - \pi \int_0^1 \left( 1 - \sqrt{x} \right)^2 ~ \mathrm{d}x[/mm]
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Hallo Leopold_Gast,
> Irgendwie ist da der Wurm drin. Richtig ist
>
> [mm]f(x) = (x-1)^2 \, , \ \ x \in [0,3][/mm]
>
> Das gibt
>
> [mm]V = \int_0^3 x^2 \cdot 2(x-1) ~ \mathrm{d}x[/mm]
>
> Dasselbe ergibt sich auch, wenn man den von RichardEb
> vorgeschlagenen Weg nimmt (siehe meinen Beitrag unten):
>
> [mm]V = \pi \int_0^4 \left( 1 + \sqrt{x} \right)^2 ~ \mathrm{d}x - \pi \int_0^1 \left( 1 - \sqrt{x} \right)^2 ~ \mathrm{d}x[/mm]
Das mag ja alles richtig sein, aber nur wenn
mit der verschobenen Parabel gerechnet wird.
Ich habe mit der in der Aufgabenstellung gegebenen Parabel gerechnet.
Ausserdem ist das angegebene Intervall für die verschobene Parabel nicht richtig.
Und überhaupt ist das zwischen meiner und Eurer Rechnung
eine simple Transformationsgeschichte.
Gruss
MathePower
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Welche Aufgabenstellung liegt der fehlerhaften zugrunde?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Fr 10.04.2015 | | Autor: | RichardEb |
Meine Aufgabe war immer: Rotationsvolumen der eingeschlossenen Fläche von [mm] y=x^2;x=1;y=4 [/mm] rotiert um die Achse x=1 siehe http://www.pic-upload.de/view-26683598/1.png.html
Davon bin ich zumindest nie abgewichen. Bei euch bin ich leider noch nicht ganz durchgestiegen. (Siehe meine neue Frage: http://www.matheforum.net/read?i=1055635 )
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Fr 10.04.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Davon bin ich zumindest nie abgewichen. Bei euch bin ich
> leider noch nicht ganz durchgestiegen.
Ja, irgendwie ist dieser Thread recht eigenartig verzweigt und unübersichtlich geworden.
Wie ich die Frage von MathePower "Welche Aufgabenstellung liegt der fehlerhaften zugrunde? " genau zu verstehen ist, weiß ich auch nicht.
Vermutlich fragt er sich, so wie ich mich auch, warum seine vorangegangene Antwort als "fehlerhaft" klassifiziert wurde (und von wem, vom "Matux"-Bot? )
Hast du meine Antwort hier
https://matheraum.de/read?t=1055583&v=t#i1055583
gelesen?
Gruß RMix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Fr 10.04.2015 | | Autor: | MathePower |
Hallo rmix22,
> > Davon bin ich zumindest nie abgewichen. Bei euch bin ich
> > leider noch nicht ganz durchgestiegen.
>
> Ja, irgendwie ist dieser Thread recht eigenartig verzweigt
> und unübersichtlich geworden.
>
> Wie ich die Frage von MathePower "Welche Aufgabenstellung
> liegt der fehlerhaften zugrunde? " genau zu verstehen ist,
> weiß ich auch nicht.
> Vermutlich fragt er sich, so wie ich mich auch, warum
> seine vorangegangene Antwort als "fehlerhaft" klassifiziert
> wurde (und von wem, vom "Matux"-Bot? )
>
In der Tat frage ich mich, weshalb meine vorangegangene Antwort
als fehlerhaft gekennzeichnet wurde.
> Hast du meine Antwort hier
> https://matheraum.de/read?t=1055583&v=t#i1055583
> gelesen?
>
> Gruß RMix
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Sa 11.04.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Die rotierende Fläche ist in der Aufgabe nicht eindeutig bestimmt. Auch MathePowers Deutung ist möglich. Insofern ist sein Ergebnis korrekt.
Meine Lösung bezieht sich auf das größere Flächenstück, wie es Rmix beschrieben hat.
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Du hast richtige Ansätze, bei der Durchführung ist aber einiges schiefgegangen.
Die Idee, die Parabel erst um 1 nach links zu verschieben, ist gut, sie aber noch zusätzlich um 4 nach unten zu verschieben, bringt nichts. Bleibe also bei
[mm]y = (x+1)^2[/mm]
Die Auflösung nach [mm]x[/mm] ergibt zwei Werte: [mm]x = -1 \pm \sqrt{y}[/mm]. Und da an den zweiten nicht gedacht zu haben, das war dein Hauptfehler.
Wenn wir die Bezeichner [mm]x,y[/mm] vertauschen und die neuen Graphen zusätzlich an der x-Achse spiegeln, so daß sie im I. Quadranten liegen, geht es also um die beiden Funktionen
[mm]f_{\text{oben}}(x) = 1 + \sqrt{x} \, , \ \ x \in [0,4][/mm]
[mm]f_{\text{unten}}(x) = 1 - \sqrt{x} \, , \ \ x \in [0,1][/mm]
Du mußt nun das Volumen, das der untere Graph erzeugt, vom Volumen, welches der obere Graph erzeugt, subtrahieren. Mach dir auf jeden Fall eine Zeichnung. Dann sollte das klar werden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Do 09.04.2015 | | Autor: | rmix22 |
Also ein wenig hab ich in diesem Thread jetzt schon die Übersicht verloren, wer wen weswegen korrigiert und glaubt das was genau falsch sei.
Wenn man sich unbedingt an fertige Formel klammern möchte und sich keine Rotation um eine andere Achse als die x- oder die y-Achse vorzustellen vermag, dann kann man ja die Kurve so verschieben, dass die y-Achse zur Rotationsachse wird. Die Funktionsgleichung wird dann aber zu
[mm] $y=(x+1)^2$
[/mm]
und nicht, wie ich da ein paar mal gelesen habe [mm] $y=(x-1)^2$.
[/mm]
Ich selbst würde es allerdings bevorzugen, die Aufgabe ohne Koordinatentransformation zu lösen und anstelle einer fertigen Formel die Vorstellung zu benutzen. Eine Zeichnung hilft dabei.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die in der Zeichnung gelb unterlegte Fläche rotiert also um die rote Achse.
Ich denke, dass da in der Angabe noch eine zusätzliche Präzisierung fehlt.
Denn natürlich erfüllt auch der größere linke Teil bis zum Punkt (-2/4) die in der Angabe gestellten Forderung. Aber ich denke doch, dass nur der von mir skizzierte Flächenteil rotieren soll und in der Angabe ein Hinweise wie etwa "vollständig im ersten Quadranten gelegen" o.ä. fehlt. Andernfalls wärs zwar genauso zu rechnen wie hier skizziert, allerdings unangenehmer, da für y=0 bis y=1 aus den Elementarzylindern quasi Elementarbeilagscheiben werden würden.
Wenn wir uns den Körper normal zur Drehachse in Scheibchen schneiden, erkennen wir, dass diese kleinen Zylinder den Radius $x-1$ und die Dicke $dx$ haben.
Ich weiß schon, dass das jetzt ein wenig unsauber ist, dass die Dicke der Scheiben zunächst ein [mm] $\Delta [/mm] y$ ist und erst nach dem Grenzübergang aus der Summe der Scheibenvolumina das Integral wird.
Aufsummiert werden müssen diese Elementar-Scheibchen jedenfalls von y=1 bis y=4 und damit ist der Rechenweg vorgezeichnet:
[mm] $\pi*\int_1^4(x-1)^2 dy=\pi*\int_1^4 (\sqrt [/mm] y [mm] -1)^2dy=\cdots=\frac [/mm] 7 6 [mm] *\pi$
[/mm]
Warum hier u.a. auch die Meinung vertreten wurde, dass man mehrere Voluminas ausrechnen und diese dann subtrahiere müsse ist mir unklar.
Gruß RMix
EDIT: Habe jetzt spaßeshalber auch die von die Aufgabenstellung her mögliche zweite Variante durchgerechnet. Ist tatsächlich etwas lästiger aber auch nicht so tragisch. Wollte man aber nur in fertige Formeln einsetzen, wirds da vermutlich schon haariger.
Hier die Skizze
[Dateianhang nicht öffentlich]
und die skizzierte Rechnung, falls es jemand nachrechnen wollte:
[mm] $V=\pi*\int_0^1 \left((x+1)^2-(1-x)^2\right)dy+\pi*\int_1^4 (x+1)^2dy=\pi*\int_0^1 \left((\sqrt y+1)^2-(1-\sqrt y)^2\right)dy+\pi*\int_1^4 (\sqrt y+1)^2dy=\cdots=\frac{45} [/mm] 2 * [mm] \pi$[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ich war von deiner zweiten Figur ausgegangen und habe auch [mm]\frac{45}{2} \pi[/mm] als Wert des Volumens. Deshalb erschien mir die Antwort von MathePower falsch. Aber offenbar kann man die Aufgabe auch anders verstehen, nämlich wie in deiner ersten Figur. Dann stimmt MathePowers Ergebnis.
Aber wie auch immer - offensichtlich ist die Aufgabe nicht eindeutig formuliert.
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