Rotationsvolumen um y-Achse < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
| Aufgabe | Welches Volumen hat der Rotationskörper mit der Funktionsgleichung
$ f(x)=-(x-3)²+4 $
bei einer Rotation um die y-Achse? |
Ich habe diese Frage nur in diesem Forum gestellt und in keinem anderem.
Hallo,
bevor ich jetzt weiter Versuche das Volumen eines Torus zu berechnen habe ich erstmal etwas einfacheres versucht.
Ich habe dazu folgende Formel benutzt:
$ [mm] V=2*\pi \integral_{a}^{b}{(x*f(x)) dx} [/mm] $
Dabei kam ich auf ein Rotationsvolumen von:
V=201,06 VE
Nun zu meinen Fragen. Ist das die passende Formel? Es wird ja nach dx integriert, das lässt bei mir ein paar Fragen offen.
Und wenn ja, stimmt mein Ergebnis?
MfG Sneiper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Fr 02.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde das Problem wie folgt angehen.
Du kennst sicherlich die Formel für die Rotation um die x-Achse.
[mm] V=\pi\integral((f(x)²)dx)
[/mm]
Wenn du jetzt die Umkehrfunktion [mm] g(x)=f^{(-1)}(x) [/mm] bestimmst, und g(x) dann um die x-Achse rotieren lässt, hast du das Volumen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bilden wir mal g(x):
[mm] y=-(x-3)^{2}+4
[/mm]
[mm] \gdw y-4=-(x-3)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw -(y-4)=(x-3)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{-y+4}=x-3
[/mm]
[mm] \gdw x=\wurzel{4-y}+3
[/mm]
[mm] \Rightarrow g(x)=\wurzel{4-x}+3
[/mm]
Und jetzt kannst du diese Funktion zwischen 0 und 4 um die x-Achse rotieren lassen.
Also [mm] V=\pi*\integral_{0}^{4}(\wurzel{4-x}+3)dx
[/mm]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: Jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
Mit deiner Rechnung komm ich auf ein Volumen von:
V = 54,45 VE
Das kann doch nicht hinkommen, oder verrenne ich mich da grad? Das kommt mir so gering vor. Aber da du ganz bestimmt mehr Ahnung davon hast müsste es eigentlich stimmen.
MfG Sneiper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sneiper!
Da ist M.Rex in seiner Formel ein Quadrat durchgerutscht. Es muss heißen:
$$ [mm] V=\pi\cdot{}\integral_{0}^{4}{\left( \ \wurzel{4-x}+3 \ \right)^{\red{2}} \ dx} [/mm] $$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
Okay dann komme ich jetzt auf:
V = 62,83 VE
Also ist meine Formel aus der ersten Frage völlig daneben?
Ich meine diese hier:
$ [mm] V=2\cdot{}\pi \integral_{a}^{b}{(x\cdot{}f(x)) dx} [/mm] $
Wozu bildet man eigentlich $ g(x) $ ?
MfG Sneiper
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Fr 02.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Von wo bis wo willst du denn deinen Körper rotieren?
Deine erste Formel ist auch richtig!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
Oh, hab ich vergessen das anzugeben?
[mm] \integral_{1}^{5} [/mm] sind die Grenzen.
MfG Sneiper
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Fr 02.05.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Warum eigentlich [mm] \integral_{0}^{4} [/mm]
und nicht [mm] \integral_{-5}^{4} [/mm] ?
Müsste denn nicht die gelbe Fläche rotieren?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
In den Grenzen $ [mm] \integral_{-5}^{4} [/mm] $
komme ich auf ein Volumen von 212,06. Ist nah dran aber stimmt nicht ganz.
MfG sneiper
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Hallo Sneiper,
> Welches Volumen hat der Rotationskörper mit der
> Funktionsgleichung
> [mm]f(x)=-(x-3)²+4[/mm]
> bei einer Rotation um die y-Achse?
> Ich habe diese Frage nur in diesem Forum gestellt und in
> keinem anderem.
>
> Hallo,
> bevor ich jetzt weiter Versuche das Volumen eines Torus zu
> berechnen habe ich erstmal etwas einfacheres versucht.
>
> Ich habe dazu folgende Formel benutzt:
> [mm]V=2*\pi \integral_{a}^{b}{(x*f(x)) dx}[/mm]bx
Die Formel für das Rotationsvolumen bei Rotation um die y-Achse lautet:
[mm]V=\pi \integral_{y_{0}}^{y_{1}}{x^{2}\ dy}[/mm]
Da man die Umkehrfunktion nicht immer explizit angeben kann, ersetzen wir hier [mm]y=f\left(x\right) \Rightarrow dy = f'\left(x\right) \ dx[/mm]
Sowie den neuen Grenzen
[mm]y_{0}=f\left(x_{0}\right), \ y_{1}=f\left(x_{1}\right)[/mm]
Dann wird daraus:
[mm]V=\pi \integral_{y_{0}}^{y_{1}}{x^{2} \ dy}=\pi \integral_{x_{0}}^{x_{1}}{x^{2} f'\left(x\right) \ dx}[/mm]
>
> Dabei kam ich auf ein Rotationsvolumen von:
> V=201,06 VE
>
> Nun zu meinen Fragen. Ist das die passende Formel? Es wird
> ja nach dx integriert, das lässt bei mir ein paar Fragen
> offen.
> Und wenn ja, stimmt mein Ergebnis?
Anscheinend hast Du wohl die richtige Formel gemeint.
Denn:
[mm]\vmat{V}=\vmat{\pi \integral_{1}^{5}{x^{2} f'\left(x\right) \ dx}}=64 * \pi \ VE \approx 201,06 \ VE[/mm]
>
> MfG Sneiper
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
Aha, endlich kann ich sowas mal nachvollziehen!
Also ist das Ergebnis meiner Formel nach das selbe wie deins und das Ergebnis von M.Rex ist nicht richtig?
MfG Sneiper
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Hallo Sneiper,
> Aha, endlich kann ich sowas mal nachvollziehen!
> Also ist das Ergebnis meiner Formel nach das selbe wie
> deins und das Ergebnis von M.Rex ist nicht richtig?
Es ist doch so, wenn eine Funktion [mm]f\left(x\right)[/mm] benötigt man die Schnittpunkte mit der x-Achse, also [mm]y=0[/mm]
Demnach benötigt man für eine Funktion, die um die y-Achse rotiert, die Schnittpunkte mit der y-Achse (x=0).
Und das Maximum von der Funktion wird genau bei [mm]x=3[/mm] angenommen.
Die Formel von M.Rex und auch das Ergebnis von M.Rex ist schon richtig für [mm]x \in \left[3,5\right][/mm]
Genau genommen müssen wir so rechnen, da [mm]f'\left(3\right)=0[/mm]
[mm]V=\pi \integral_{1}^{3}{x^{2}*f'\left(x\right) \ dx} + \pi \vmat{\integral_{3}^{5}{x^{2}*f'\left(x\right) \ dx}}[/mm]
Dies ist jetzt das absolute Volumen.
Das stimmt weder mit Deinem noch mit dem Ergebnis von M.Rex überein.
>
> MfG Sneiper
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Fr 02.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Sneiper
Welches Volumen willst du denn eigentlich haben? Willst du den parabelbogen der auf der x-Achse aufsteht um die y- Achse rotieren lassen? oder das Teil von der x- Achse bis zum Scheitel, wie rabilein es gezeichnet hat?
Da du am Anfang von Torus redest denk ich den Parabelbogen, so dass in deinem Rotationskörper ein Loch ist?
Dann musst du vom RotV von 3 bis 5 das von 1 bis 3 abziehen!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
Ich wollte den Parabelbogen berechnen von 1 bis 5 um die y-Achse rotierend. Also nicht den diegelbe Fläche die rabilein gezeichnet hat, das hast du richtig erkannt.
Ich hab das ebend alles mal mit Hilfe eurer Ratschläge und dem GTR durchgerechnet und denke jetzt das richtige Ergebnis zu haben. Danke für eure Hilfe!
MfG Sneiper
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