Rückfrage < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Mo 09.02.2009 | | Autor: | haZee |
| Aufgabe | Untersuchen sie die folgende Funktion auf Stetigkeit an der Stelle [mm] x=x_{0}. [/mm] Im Fall der Unstetigkeit geben sie die Art der Unstetigkeit an.
[mm] f(x)=\bruch{sin²x-cos²x}{sinx-cosx}, [/mm] mit [mm] x_{0}=\bruch{\pi}{4}+\pi*k,k\in\IZ [/mm] |
rechtsseitiger GW:
[mm] \limes_{x\rightarrow\\bruch{\pi}{4}}= sinx+cosx=\wurzel{2}
[/mm]
linksseitiger GW:
[mm] \limes_{x\rightarrow\\bruch{\pi}{4}}= sinx+cosx=\wurzel{2}
[/mm]
Die Antwort ist, dass hier eine Definitionslücke vorliegt, nur leider verstehe ich nicht so richtig warum.
Beide GW müssen für eine Lücke gleich sein. Aber ist das schon die ganze Erklärung?Da könnte es ja auch eine Polstelle sein, oder? Was ist der Unterschied???
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Hallo haZee!
Zunächst einmal handelt es sich um eine Definitionslücke bei [mm] $x_0$ [/mm] , da die Funktion hier nicht definiert ist. Schließlich sind das Nullstellen des Nenners - und die Division durch Null ist strengstens verboten.
Allerdings hanedelt es sich um eine hebbare Definitionslücke, wie Du durch Deine Grenzwertbetrachtungen bereits festgestellt hast.
Ein anderer Weg wäre auch die Anwendung der 3. binomischen Formel im Zähler und anschließendes Kürzen.
Gruß vom
Roadrunner
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