Rücktransformation (LaPlace) < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 Fr 02.04.2010 | | Autor: | studi007 |
| Aufgabe | Folgende Übertragungsfunktion G(s) im Bildbereich ist in den Zeitbereich zu übertragen:
G(s)= [mm] \bruch{-2+4}{(s^2+2s+10) s} [/mm] |
Hallo zusammen,
folgende Nullstellen habe ich ausgerechnet:
s01= 0
s02= -1 + 3i
s03= -1 - 3i
Ich habe die komplexen Nullstellen multipliziert und einen Koeffizientenvergleich durchgeführt.
[mm] -\bruch{2s + 4}{(s^2+2s+10) s}= \bruch{A}{s} [/mm] + [mm] \bruch{Bs + C}{s^2+2s+10} [/mm]
-2s + 4 = [mm] (A+B)s^2 [/mm] + (2A+C)s + 10A
dabei erhalte ich für
A= [mm] \bruch{4}{10} [/mm]
B= [mm] -\bruch{4}{10} [/mm]
C= [mm] -\bruch{14}{5} [/mm]
Damit sieht mein Y(S) wie folgt aus:
Y(S) = [mm] \bruch{4}{10} [/mm] * [mm] \bruch{1}{s} [/mm] + [mm] \bruch{-\bruch{2}{5}s - \bruch{14}{5}}{s^2 + 2s + 10}
[/mm]
Jetzt ist mein [mm] y(t)=\bruch{4}{10}+... [/mm]
Leider habe ich Probleme mit dem Umwandeln des letzten Ausdrucks.
Mein Dozent meinte das es mit einer der folgenden Formen klappen soll:
[mm] \bruch{1}{s^2 + 2*Re*s + Re^2 + Im^2} [/mm] => [mm] \bruch{1}{Im} [/mm] * [mm] e^{-Re*t} [/mm] sin (Im t)
[mm] \bruch{s+Re}{s^2 + 2*Re*s + Re^2 + Im^2} [/mm] => [mm] e^{-Re*t} [/mm] cos (Im t)
Im => Imaginärteil
Re => Realteil
Wäre jemand so nett mir einen Ansatz für die Lösung oder einen anderen einfacheren bzw. schnelleren Lösungsweg zu nennen?
Danke und Grüße
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=415526
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/260746,0.html
Bisher leider ohne Erfolg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Sa 03.04.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo studi007,
zunächst einmal ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]") .
Du bist mit Deiner Überlegung schon auf dem richtigen Weg. Den letzten Term kannst Du in zwei Brüchen schreiben und das mache ich hier mal kurz:
$$ [mm] \bruch{-\bruch{2}{5} s - \bruch{14}{5}}{s^2 + 2s +10}= [/mm] - [mm] \bruch{2}{5}s \cdot \bruch{1}{s^2 + 2s +10} [/mm] - [mm] \bruch{14}{5} \cdot \bruch{1}{s^2+2s+10} [/mm] $$
Bertrachten wir erst mal den letzten Term. Dieser lässt sich mit Hilfe der folgenden Korrespondenz rücktransformieren:
Zu
$$ [mm] \bruch{1}{s^2 + 2 \delta s + \omega_0^2} [/mm] $$ gehört die Rücktransformierte
$$ [mm] \bruch{1}{\omega_e} e^{- \delta t} \sin (\omega_e [/mm] t) $$ mit
$$ [mm] \omega_e [/mm] = [mm] \wurzel{\omega_0^2 - \delta^2}\, [/mm] . $$
Das geht also direkt. Im ersten Term stört jedoch das s im Zähler, sonst ist der Ausdruck ja sehr ähnlich.
Hier kann man nun den Differentiationssatz anwenden, der sagt, das zur Laplacetransformierten der Ableitung einer Zeitfunktion man die Laplacetransformierte der Originalfunktion nur mit s zu multiplizieren braucht. Das ist doch ganz praktisch, denn das können wir anwenden.
Bestimme also einfach mit Hilfe der oben angegebenen Korrespondenz die Zeitfunktion (das hattest Du ja für den zweiten Term schon gemacht, deswegen habe ich auch mit ihm angefangen) und leite sie einmal ab.
Viel Spaß dabei,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Sa 03.04.2010 | | Autor: | studi007 |
Hallo, erst einmal vielen, vielen Dank für die Hilfe!
Ich habe nun den Ausdruck
[mm] -\bruch{14}{5}*\bruch{1}{s^2+2s+10}
[/mm]
in den Zeitbereich überführt
mit [mm] \omega_{0}=\wurzel{10-1}=3
[/mm]
und [mm] \delta=1
[/mm]
ergibt sich für den ersten Bruch folgende Form
[mm] -\bruch{14}{5}*\bruch{1}{3}*e^{-t}sin(3t)
[/mm]
für den zweiten
[mm] -\bruch{2}{5}s*\bruch{1}{s^2+2s+10}
[/mm]
würde sich mit dem Differentiationssatz
[mm] -\bruch{2}{5}*\bruch{1}{3}*e^{-t}sin(3t)*\bruch{du}{dt} [/mm] im Zeitbereich ergeben.
Mit Produkt und Kettenregel abgeleitet dann
[mm] -\bruch{2}{5}*\bruch{1}{3}*(-e^{-t}*sin(3t)+e^{-t}*cos(3t)*3)
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{15}*-e^{-t}(sin(3t)-3*cos(3t))
[/mm]
ergeben?
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> Hallo, erst einmal vielen, vielen Dank für die Hilfe!
>
> Ich habe nun den Ausdruck
>
> [mm]-\bruch{14}{5}*\bruch{1}{s^2+2s+10}[/mm]
>
> in den Zeitbereich überführt
>
> mit [mm]\omega_{0}=\wurzel{10-1}=3[/mm]
> und [mm]\delta=1[/mm]
>
> ergibt sich für den ersten Bruch folgende Form
>
> [mm]-\bruch{14}{5}*\bruch{1}{3}*e^{-t}sin(3t)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> für den zweiten
>
> [mm]-\bruch{2}{5}s*\bruch{1}{s^2+2s+10}[/mm]
>
> würde sich mit dem Differentiationssatz
>
> [mm]-\bruch{2}{5}*\bruch{1}{3}*e^{-t}sin(3t)*\bruch{du}{dt}[/mm] im
> Zeitbereich ergeben.
>
> Mit Produkt und Kettenregel abgeleitet dann
>
> [mm]-\bruch{2}{5}*\bruch{1}{3}*(-e^{-t}*sin(3t)+e^{-t}*cos(3t)*3)[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2}{15}*-e^{-t}(sin(3t)-3*cos(3t))[/mm]
hier in der letzten zeile ist ein vorzeichenfehler, es sollte nämlich
[mm] $$\frac{2\,{e}^{-t}\,\left( sin\left( 3\,t\right) -3\,cos\left( 3\,t\right) \right) }{15}$$ [/mm]
herauskommen
und das gesamtergebnis lässt sich ja noch schöner zusammenfassen
>
> ergeben?
gruß tee
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