Rücktransport von k-Formen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Do 09.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
ich habe mich nun durch die Grundefinition von k-Formen, sprich Differentialformen vom Grad k, durchgekämpft. Ableitung, Liften und Integration sind soweit einigermaßen klar.
Ich frage mich jedoch, wie wohl eine Differentialform in Basisdarstellung aussieht? Ist damit die n-Form gemeint?
Und was versteht man unter dem Rücktransport von Differentialformen? Holt man nicht damit eine Differentialform von einer Menge in eine andere Menge, also z.B. vom [mm] \IR^{3} [/mm] in den [mm] \IR^{2}, [/mm] zurück?
Herzlichen Dank!!!
Viele Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Do 09.09.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Regine!
Ja, genau so ist es:
Es seien $D [mm] \subset \IR^m$ [/mm] und $E [mm] \subset \IR^n$ [/mm] offene Mengen und [mm] $f=(f_1,\ldots,f_n)^T$ [/mm] eine einmal stetig differenzierbare Ableitung von $D$ nach $E$.
Sei [mm] $\omega$ [/mm] eine $k$-Form auf $E$ mit der Normaldarstellung
[mm] [center]$\omega [/mm] = [mm] \sum\limits_I a_I(y) dy_I [/mm] = [mm] \sum\limits_I a_I(y) dy_{i_1} \wedge \ldots \wedge dy_{i_k}$,[/center]
[/mm]
mit [mm] $y=(y_1,\ldots,y_n)^T \in [/mm] E$.
Für [mm] $x=(x_1,\ldots,x_n)T \in [/mm] D$ ist $y=f(x) [mm] \in [/mm] E$, es ist also [mm] $y_i=f_i(x)$ [/mm] für alle [mm] $i=1,\ldots,n$.
[/mm]
Ferner gilt:
(*) [mm] $df_i:= dy_i [/mm] = [mm] \sum\limits_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \, dx_j$
[/mm]
Jedes [mm] $df_i$ [/mm] ist also eine $1$-Form auf $D$.
Die Abbildung $f$ induziert auf diese Weise einen Rücktransport einer $k$-Form [mm] $\omega$ [/mm] auf $E$ auf eine $k$-Form [mm] $f^{\*}(\omega)$ [/mm] auf $D$, die wie folgt definiert ist:
(**) [mm] $f^{\*}(\omega) [/mm] = [mm] \sum\limits_I a_I(d(x))\, df_{i_1} \wedge \ldots \wedge df_{i_k}$.
[/mm]
Jetzt kannst du noch die Differentiale aus (*) in (**) einsetzen.
Liebe Grüße
Julius
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