Rückwärtsbeweis zu Komposition < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Seien X, Y, Z Mengen, f: X [mm] \to [/mm] Y, g: Y [mm] \to [/mm] Z und [mm] h=g\circ [/mm] f: x [mm] \to [/mm] Z Abbildungen
Beweisen oder widerlegen sie:
a) Sind f und g injektiv, ist auch h injektiv.
b) Sind f und g surjektiv, ist auch h surjektiv.
c) Sind f und g bijektiv, ist auch h bijektiv.
d) Es gelten auch die umgekehrten Implikationen. |
So da ich in meinen letzten Themen noch schwierigkeiten mit Beweisen hatte, wollte ich auch hier mal dürberschauen lassen.
Konret geht es um die d). a) und b) habe ich bewiesen und c) folgt ja daraus.
1. Fall: Behauptung: h ist injektiv, f und g sind injektiv
z.z. [mm] f(x_{1})\not=f(x_{1}) [/mm] also [mm] x_{1}\not=x_{2} [/mm] und [mm] g(y_{1})≠g(y_{2}) [/mm] also [mm] y_{1}\not=y_{2}
[/mm]
Vorausetzung: [mm] h(x_{1})\not=h(x_{2}) [/mm] oder anders [mm] g(f(x_{1}))\not=g(f(x_{2}))
[/mm]
aus [mm] g(f(x_{1}))\not=g(f(x_{2})) [/mm] folgt, dann [mm] f(x_{1})\not=f(x_{1}) [/mm] und damit [mm] x_{1}\not=x_{2}.
[/mm]
D.h. f MUSS injektiv sein.
Ich weiß auch, dass das stimmt. Nur wie ist es jetzt mit g?
Muss ich dafür nochmal was beweisen oder ist es so (wie mein Übngspartner meinte), dass man im "Rückbeweis" (vgl. mit a)) einfah nicht auf g schließen kann.
2 Fall: Behauptung: h ist surjektiv, f und g sind surjektiv
hier bin ich mir nicht ganz so sicher
Vorraussetzung:
[mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] Z [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X für das gilt h(x)=z
damit gibt es auch:
[mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] Z [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] Y für das gilt g(f(x))=g(y)=z
Daraus habe ich dann gefolgert, dass g surjektiv sein muss.
3. bijektiver Fall
hatte noch keine Zeit, dass mathematisch Auszuformulieren, aber so denke ich mir das zumindest.
Wenn meine oberen beiden Beweise stimmen komme ich ja zwangsläufig auf f=injektiv und g=surjektiv, denn die Vorraussetzung ist ja universall für beide Fälle die gleiche (h bijektiv= h injektiv und surrjektiv)
Sprich es wären beide Beiwese zusammengefasst mit einer "universalen" Vorraussetzng
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> Seien X, Y, Z Mengen, f: X [mm]\to[/mm] Y, g: Y [mm]\to[/mm] Z und [mm]h=g\circ[/mm]
> f: x [mm]\to[/mm] Z Abbildungen
> Beweisen oder widerlegen sie:
> a) Sind f und g injektiv, ist auch h injektiv.
> b) Sind f und g surjektiv, ist auch h surjektiv.
> c) Sind f und g bijektiv, ist auch h bijektiv.
> d) Es gelten auch die umgekehrten Implikationen.
>
> So da ich in meinen letzten Themen noch schwierigkeiten mit
> Beweisen hatte, wollte ich auch hier mal dürberschauen
> lassen.
>
> Konret geht es um die d). a) und b) habe ich bewiesen und
> c) folgt ja daraus.
>
> 1. Fall: Behauptung: h ist injektiv, f und g sind injektiv
Hallo,
die Behauptung ist falsch formuliert. Du willst ja nicht beweisen, daß f,g,h injektiv sind, sondern:
wenn [mm] h:=g\circ [/mm] f injektiv ist, sind auch f und g injektiv,
oder anders geschrieben:
f injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] ( f und g injektiv)
Irgendwie wundere ich mich aber, daß Du das beweisen sollst, denn die Behauptung stimmt doch gar nicht!
Gegenbeispiel:
[mm] X:=\{A,B\}, Y:=\{a,b,c}\, Z:={\1,2,3,4\}
[/mm]
f(A):=a
f(B):=b
g(a):=1
g(b):=2
g(c):=1
Es ist
h(A)=g(f(A))=g(a)=1,
h(B)=g(f(B))=g(b)=2,
und Du siehst, daß h injektiv ist, obgleich f und g nicht beide injektiv sind.
Trotzdem noch ein paar Anmerkungen.
> z.z. [mm]f(x_{1})\not=f(x_{1})[/mm] also [mm]x_{1}\not=x_{2}[/mm] und
> [mm]g(y_{1})\not=g(y_{2})[/mm] also [mm]y_{1}\not=y_{2}[/mm]
Nein, daß dies aus der Injektivität von h folgt, wäre hier überhaupt nicht zu zeigen!
Daß aus [mm] f(x_1)\not=f(x_2) [/mm] folgt, daß [mm] x_1\not=x_2 [/mm] ist eine Selbstverständlichkeit für eine jede Funktion, völlig unabhängig davon, ob sie injektiv ist oder nicht.
Überleg' doch mal: wenn [mm] f(5)\not=f(7) [/mm] wäre, aber 5=7, dann wäre man etwas irritiert... Dann wäre f nämlich keine Funktion!
Die Bedingung für Injektivität ist anders:
[mm] f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2,
[/mm]
in Worten: "Wenn die Funktionswerte gleich sind, sind auch die Argumente gleich, dh. es werden nicht zwei verschiedene Elemente des Definitionsbereiches auf denselben Funktionswert abgebildet."
In der Kontraposition sieht das dann so aus:
[mm] x_1\not=x_2 \Rightarrow f(x_1)\not=f(x_2).
[/mm]
Dies unterscheidet sich in der Aussage sehr von dem, was Du oben stehen hast.
Gruß v. Angela
>
> Vorausetzung: [mm]h(x_{1})\not=h(x_{2})[/mm] oder anders
> [mm]g(f(x_{1}))\not=g(f(x_{2}))[/mm]
> aus [mm]g(f(x_{1}))\not=g(f(x_{2}))[/mm] folgt, dann
> [mm]f(x_{1})\not=f(x_{1})[/mm] und damit [mm]x_{1}\not=x_{2}.[/mm]
> D.h. f MUSS injektiv sein.
> Ich weiß auch, dass das stimmt. Nur wie ist es jetzt mit
> g?
> Muss ich dafür nochmal was beweisen oder ist es so (wie
> mein Übngspartner meinte), dass man im "Rückbeweis" (vgl.
> mit a)) einfah nicht auf g schließen kann.
>
> 2 Fall: Behauptung: h ist surjektiv, f und g sind
> surjektiv
> hier bin ich mir nicht ganz so sicher
>
> Vorraussetzung:
> [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] Z [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X für das gilt h(x)=z
>
> damit gibt es auch:
> [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] Z [mm]\exists[/mm] y [mm]\in[/mm] Y für das gilt
> g(f(x))=g(y)=z
> Daraus habe ich dann gefolgert, dass g surjektiv sein
> muss.
>
> 3. bijektiver Fall
> hatte noch keine Zeit, dass mathematisch Auszuformulieren,
> aber so denke ich mir das zumindest.
> Wenn meine oberen beiden Beweise stimmen komme ich ja
> zwangsläufig auf f=injektiv und g=surjektiv, denn die
> Vorraussetzung ist ja universall für beide Fälle die
> gleiche (h bijektiv= h injektiv und surrjektiv)
> Sprich es wären beide Beiwese zusammengefasst mit einer
> "universalen" Vorraussetzng
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:00 Fr 20.05.2011 | | Autor: | Sup |
> Hallo,
>
> die Behauptung ist falsch formuliert. Du willst ja nicht
> beweisen, daß f,g,h injektiv sind, sondern:
>
> wenn [mm]h:=g\circ[/mm] f injektiv ist, sind auch f und g injektiv,
> oder anders geschrieben:
>
> h injektiv [mm]\Rightarrow[/mm] ( f und g injektiv)
>
> Irgendwie wundere ich mich aber, daß Du das beweisen
> sollst, denn die Behauptung stimmt doch gar nicht!
>
> Gegenbeispiel:
>
> [mm]X:=\{A,B\}, Y:=\{a,b,c}\, Z:={\1,2,3,4\}[/mm]
>
> f(A):=a
> f(B):=b
>
> g(a):=1
> g(b):=2
> g(c):=1
>
> Es ist
>
> h(A)=g(f(A))=g(a)=1,
> h(B)=g(f(B))=g(b)=1,
>
> und Du siehst, daß h injektiv ist, obgleich f und g nicht
> beide injektiv sind.
>
> Trotzdem noch ein paar Anmerkungen.
>
>
> > z.z. [mm]f(x_{1})\not=f(x_{1})[/mm] also [mm]x_{1}\not=x_{2}[/mm] und
> > [mm]g(y_{1})\not=g(y_{2})[/mm] also [mm]y_{1}\not=y_{2}[/mm]
>
> Nein, daß dies aus der Injektivität von h folgt, wäre
> hier überhaupt nicht zu zeigen!
> Daß aus [mm]f(x_1)\not=f(x_2)[/mm] folgt, daß [mm]x_1\not=x_2[/mm] ist
> eine Selbstverständlichkeit für eine jede Funktion,
> völlig unabhängig davon, ob sie injektiv ist oder nicht.
> Überleg' doch mal: wenn [mm]f(5)\not=f(7)[/mm] wäre, aber 5=7,
> dann wäre man etwas irritiert... Dann wäre f nämlich
> keine Funktion!
> Die Bedingung für Injektivität ist anders:
> [mm]f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2,[/mm]
> in Worten: "Wenn die
> Funktionswerte gleich sind, sind auch die Argumente gleich,
> dh. es werden nicht zwei verschiedene Elemente des
> Definitionsbereiches auf denselben Funktionswert
> abgebildet."
>
> In der Kontraposition sieht das dann so aus:
> [mm]x_1\not=x_2 \Rightarrow f(x_1)\not=f(x_2).[/mm]
> Dies
> unterscheidet sich in der Aussage sehr von dem, was Du oben
> stehen hast.
Injektiv ist doch wie folgt definiert: Sie besagt, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird. Es werden also keine zwei verschiedenen Elemente der Definitionsmenge auf ein und dasselbe Element der Zielmenge abgebildet.
Sprich jeder x-Wert hat höchstens ein y-Wert
Ich verstehe den Unterschied zwischem meiner und deiner Aussage nicht.
5 [mm] \not= [/mm] 7 [mm] \Rightarrow [/mm] f(5) [mm] \not= [/mm] f(7) : habe ich 2 vers. x Werte, habe ich 2 vers. y-Werte
f(5) [mm] \not= [/mm] f(7) [mm] \Rightarrow [/mm] 5 [mm] \not= [/mm] 7 : wenn die 2 y-Werte vers. voneinander sind, sind es auch die x-Werte
/Edit: jetzt wo ich's hingeschrieben habe, habe ich es glaube ich begriffen.
f(5) [mm] \not= [/mm] f(7) [mm] \Rightarrow [/mm] 5 [mm] \not= [/mm] 7 das gilt, weil ja ein x-Wert maximal 1 y Wert darstellen kann, also müssen es 2 vers. Werte sein.
Ist aber f(5) = f(7) folgt darsus nicht, dass 5 = 7, tortzdem können aber 2 vers. x Werte den gleichen y Wert erzeugen (Bsp. [mm] f(x)=x^2).
[/mm]
So hast du das oben wahrscheinlich auch gemeint. Ist mir aber erst beim 2mal nachdenken eingefallen
>
> >
> > Vorausetzung: [mm]h(x_{1})\not=h(x_{2})[/mm] oder anders
> > [mm]g(f(x_{1}))\not=g(f(x_{2}))[/mm]
> > aus [mm]g(f(x_{1}))\not=g(f(x_{2}))[/mm] folgt, dann
> > [mm]f(x_{1})\not=f(x_{1})[/mm] und damit [mm]x_{1}\not=x_{2}.[/mm]
> > D.h. f MUSS injektiv sein.
> > Ich weiß auch, dass das stimmt. Nur wie ist es jetzt
> mit
Dann nochmal neu:
Vorrausetzung: [mm] x_{1}\not=x_{2} [/mm] also [mm] h(x_{1})\not=h(x_{2}) [/mm] oder anders: [mm] g(f(x_{1}))\not=g(f(x_{2}))
[/mm]
So g ist ja die Abbildung von Y auf Z und f die von X auf Y.
Wenn die Vorraussetzung ist, dass [mm] x_{1}\not=x_{2} [/mm] so muss also auch
[mm] f(x_{1})\not=f(x_{2}) [/mm] und damit f injektiv sein.
> > g?
> > Muss ich dafür nochmal was beweisen oder ist es so
> (wie
> > mein Übngspartner meinte), dass man im "Rückbeweis" (vgl.
> > mit a)) einfah nicht auf g schließen kann.
Mit g bin ich mir jetzt immer noch nicht sicher.Ich könnte ja jetzt auch sagen:
Da f(x)=y und wenn [mm] f(x_{1})\not=f(x_{2}) [/mm] gilt ist auch [mm] y_{1}\not=y_{2} [/mm] und damit [mm] g(y_{1})\not=g(y_{2}).
[/mm]
Nur das muss ja anscheinend nicht zwingend der Fall sein....
/Edit: Dann kann ich über g nichts über die Injektivität aussagen, weil [mm] f(x_{1})\not=f(x_{2}) \Rightarrow y_{1}\not=y_{2} [/mm] ja in die Richtung kein Beweis dafür ist und ich es in die andere Richtung nur beweisen kann, wenn ich zuzsätzlich noch [mm] y_{1}\not=y_{2} [/mm] vorrausetze.
So korrekt?
> > 2 Fall: Behauptung: h ist surjektiv, f und g sind
> > surjektiv
> > hier bin ich mir nicht ganz so sicher
> >
> > Vorraussetzung:
> > [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] Z [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X für das gilt h(x)=z
> >
> > damit gibt es auch:
> > [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] Z [mm]\exists[/mm] y [mm]\in[/mm] Y für das gilt
> > g(f(x))=g(y)=z
> > Daraus habe ich dann gefolgert, dass g surjektiv sein
> > muss.
> >
> > 3. bijektiver Fall
> > hatte noch keine Zeit, dass mathematisch
> Auszuformulieren,
> > aber so denke ich mir das zumindest.
> > Wenn meine oberen beiden Beweise stimmen komme ich ja
> > zwangsläufig auf f=injektiv und g=surjektiv, denn die
> > Vorraussetzung ist ja universall für beide Fälle die
> > gleiche (h bijektiv= h injektiv und surrjektiv)
> > Sprich es wären beide Beiwese zusammengefasst mit
> einer
> > "universalen" Vorraussetzng
Wäre nett, wenn du/jemand dazu noch was sagen kann
Gruß,
sup
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Hallo,
Du solltest nicht ignorieren, daß ich gesagt habe, daß die Behauptung, die Du beweisen möchtest, gar nicht stimmt!
Jeglicher Beweisversuch muß hier scheitern, und wenn es Dir gelingt, diese Behauptung zu zeigen, kannst Du sicher sein, gravierende Fehler gemacht zu haben.
Vor jeglichem Beweisversuch steht die Formulierung der zu beweisenden Behauptung, und wie diese lautet, solltest Du erstmal herausfinden.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Fr 20.05.2011 | | Autor: | Sup |
Das streite ich ja nicht ab, dass die Behauptung falsch ist.
Die Behauptung ist doch: wenn h injektiv ist, dann ist auch f UND g injektiv ist.
Darauf komme ich ja nicht, sondern dass nur f injektiv ist, sofern ich das richtig begründet habe, was ja genau meine Frage ist.
(Bei meinem 2. Edit)
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Hallo,
Du mußt immer als behauptung aufschreiben, was Du beweisen möchtest, sonst kann man Dir nicht gut folgen.
Vorüberlegungen, die zu einer Behauptung führen, brauchst Du nicht mitzuteilen - vor allen nicht den Korrektoren.
Behauptung. Beweis. So läuft das in der Mathematik.
Behauptung: ...
Beweis:
> Dann nochmal neu:
> Vorrausetzung: [mm]x_{1}\not=x_{2}[/mm] also [mm]h(x_{1})\not=h(x_{2})[/mm]
> oder anders: [mm]g(f(x_{1}))\not=g(f(x_{2}))[/mm]
Ich formuliere es jetzt mal so, daß man weiß wovon Du sprichst.
Sei [mm] h:g\circ [/mm] f injektiv und [mm] x_1\not=x_2.
[/mm]
Dann ist auch [mm] h(x_1)\not=h(x_2) [/mm] <==> [mm] $g(f(x_{1}))\not=g(f(x_{2}))$.
[/mm]
> So g ist ja die Abbildung von Y auf Z und f die von X auf
> Y.
> Wenn die Vorraussetzung ist, dass [mm]x_{1}\not=x_{2}[/mm] so muss
> also auch
> [mm]f(x_{1})\not=f(x_{2})[/mm]
Wieso? Hier setzt Du voraus, daß f injektiv ist, und folgerst dann:
> und damit f injektiv sein.
>
> > > g?
> > > Muss ich dafür nochmal was beweisen oder ist es so
> > (wie
> > > mein Übngspartner meinte), dass man im "Rückbewei[mm]g(f(x_{1}))\not=g(f(x_{2}))[/mm]s" (vgl.
> > > mit a)) einfah nicht auf g schließen kann.
> Mit g bin ich mir jetzt immer noch nicht sicher.
Du kannst aufhören, über die Injektivität von g nachzudenken.
Diese ist nicht zwingend nötig, wie Du an meinem Gegenbeispiel siehst.
Mehr ist da nicht zu beweisen.
Sprechen wir aber nochmal über das, was zu beweisen ist, nämlich
h injektiv ==> f injektiv.
Tip:
a) Es ist viel einfacher mit [mm] "h(x_1)=h(x_2) [/mm] ==> [mm] x_1=x_2" [/mm] zu arbeiten als mit der Kontraposition.
b) Versuche einen Widerspruchsbeweis, indem Du annimmst, daß h injektiv ist, f aber nicht injektiv.
injektiv bedeutet, daß aus [mm] h(x_1)=h(x_2) [/mm] folgt, daß [mm] x_1=x_2.
[/mm]
Überlege Dir nun, was es bedeutet, wenn f nicht injektiv ist...
Gruß v. Angela
P.S.: Wundere Dich nicht, wenn ich mich nicht mehr melde. Ich verschwinde übers Wochenende in internetfreie Gefilde.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Fr 20.05.2011 | | Autor: | Sup |
Ok nochmal von vorne, damit es keine weiteren Verständnisprobleme gibt:
Vorrausgesetzt ist: g [mm] \circ [/mm] f =g(f(x))=h(x) ist injektiv also: [mm] h(x_{1})=h(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}
[/mm]
Behauptung (umgekehrte Implikation zur Teilaufgabe a)):
daraus folgt, dass f und g injektiv sind. Dies gilt es nun zu beweisen oder widerlegen.
Ich muss hier das g aufgrund der Aufgabenstellung ja miteinbeziehen. Das die Aussage mit der "und" Veknüpfung nicht stimmt, da sind wir uns ja beide einig.
So weiter, diesmal mit deinem Vorschlag, dem Widerspruchsbeweis:
Annahme: f ist nicht injektiv
Also gilt nicht [mm] f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}, [/mm] sondern es ist möglich, dass [mm] x_{1} \not= x_{2}
[/mm]
Laut Vorraussetzung ist aber [mm] g(f(x_{1}))=g(f(x_{2})) [/mm] woraus wieder [mm] x_{1}=x_{2} [/mm] folgt. Das wäre jetzt ein Widerspruch, also muss f injektiv sein.
Das war jetzt der Beweis? Das ist ja nur die Widerspruchsannahme hingeschrieben und dann wieder die Vorraussetzung....
So jetzt gilt zu zeigen ob auch g injektiv sein muss
Dazu hier nochmal dein Gegenbsp.
> Gegenbeispiel:
>
> [mm]X:=\{A,B\}, Y:=\{a,b,c}\, Z:={\1,2,3,4\}[/mm]
>
> f(A):=a
> f(B):=b
>
> g(a):=1
> g(b):=2
> g(c):=1
>
> Es ist
>
> h(A)=g(f(A))=g(a)=1,
> h(B)=g(f(B))=g(b)=1,
>
> und Du siehst, daß h injektiv ist, obgleich f und g nicht
> beide injektiv sind.
Ist da nicht ein Fehler? Muss es nicht heißen:
h(B)=g(f(B))=g(b)=2, sonst wäre h nicht injektiv. Denke du hast dich da vertippt oder habe ich wieder einen Denkfehler drin.
Damit wäre jetzt gezeigt, h ist injektiv, wenn f injektiv ist, aber nicht g.
So jetzt aber nochmal meine Frage:
Wenn die Vorraussetzung sagt: [mm] g(f(x_{1}))=g(f(x_{2})) [/mm] folgert man daraus, dass [mm] x_{1}=x_{2} [/mm] ist.
Ich kann doch aber daraus nicht folgern, dass [mm] f(x_{1})=f(x_{2}) [/mm] oder anders [mm] y_{1}=y_{2} [/mm] .
Also kann ich wiederum nicht sagen [mm] g(y_{1})=g(y_{2}). [/mm]
(Bildlich dreht sich der Beweis einmal in Kreis, zumindest versucht "er" das.)
Ich kann also (selbst wenn es stimmt) nicht wieder auf die Vorraussetzung schließen, also kann ich über die Injektivität von g aus gegebener Anfangsbedingung keine Aussage treffen.
Das war jetzt seit Anfang mein Ansatz um zu zeigen, dass g nicht zwingend injektiv sein muss.
Würde gerne noch wissen ob das schlüssig/zulässig ist.
Schönes Wochendende dir. Vllt sieht ja netterweise noch wer anders drüber.
Gruß,
sup
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Hallo Sup,
bitte bitte!
Voraussetzung schreibt sich nur mit einem "r".
Danke!
Gruß
schachuzipus
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> Ok nochmal von vorne, damit es keine weiteren
> Verständnisprobleme gibt:
> Vorrausgesetzt ist: g [mm]\circ[/mm] f =g(f(x))=h(x) ist injektiv
> also: [mm]h(x_{1})=h(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}[/mm]
>
> Behauptung (umgekehrte Implikation zur Teilaufgabe a)):
> daraus folgt, dass f und g injektiv sind. Dies gilt es nun
> zu beweisen oder widerlegen.
Hallo,
aha! So war also die korrekte Aufgabenstellung.
Wir haben ja nun festgestellt, daß diese Aussage nicht stimmt.
Um sie zu widerlegen, brauchst Du nichts anderes zu tun, als mein Gegenbeispiel zu liefern.
Mit diesem hast Du ein Beispiel dafür, daß h injektiv sein kann, ohne daß f und g beide diese Eigenschaft haben.
Die Aufgabe ist damit in vollem Umfange erfüllt.
Trotzdem mußt Du prinzipiell in der Lage sein, den Beweis für
"h injektiv ==> f injektiv" zu führen.
Sei also h injektiv.
> So weiter, diesmal mit deinem Vorschlag, dem
> Widerspruchsbeweis:
> Annahme: f ist nicht injektiv
> Also gilt nicht [mm]f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2},[/mm]
> sondern es ist möglich, dass [mm]x_{1} \not= x_{2}[/mm]
Dies formulieren wir jetzt mal klar verständlich.
Angenommen, f ist nicht injektiv.
Dann gibt es [mm] x_1, x_2\in [/mm] X mit [mm] x_1\not=x_2 [/mm] und [mm] f(x_1)=f(x_2)
[/mm]
> Laut
> Vorraussetzung ist aber [mm]g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))[/mm]
Welche Voraussetzung meinst Du hier?
Daß [mm] $g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))$ [/mm] folgt aus [mm] f(x_1)=f(x_2), [/mm] weil g eine Funktion ist, also insbes. wohldefiniert.
> woraus
> wieder
aufgrund der Injektivität von [mm] h=g\circ [/mm] f
> [mm]x_{1}=x_{2}[/mm] folgt. Das wäre jetzt ein Widerspruch,
> also muss f injektiv sein.
Genau.
>
> Das war jetzt der Beweis? Das ist ja nur die
> Widerspruchsannahme hingeschrieben und dann wieder die
> Vorraussetzung....
>
> So jetzt gilt zu zeigen ob auch g injektiv sein muss
> Dazu hier nochmal dein Gegenbsp.
> > Gegenbeispiel:
> >
> > [mm]X:=\{A,B\}, Y:=\{a,b,c}\, Z:={\1,2,3,4\}[/mm]
> >
> > f(A):=a
> > f(B):=b
> >
> > g(a):=1
> > g(b):=2
> > g(c):=1
> >
> > Es ist
> >
> > h(A)=g(f(A))=g(a)=1,
> > h(B)=g(f(B))=g(b)=1,
> >
> > und Du siehst, daß h injektiv ist, obgleich f und g nicht
> > beide injektiv sind.
> Ist da nicht ein Fehler? Muss es nicht heißen:
> h(B)=g(f(B))=g(b)=2, sonst wäre h nicht injektiv. Denke
> du hast dich da vertippt
Vertippt - leider in sinnentstellender Weise...
> oder habe ich wieder einen
> Denkfehler drin.
> Damit wäre jetzt gezeigt, h ist injektiv, wenn f injektiv
> ist, aber nicht g.
Nein.
Mit dem Gegenbeispiel ist bloß gezeigt,daß aus der Injektivität von h nicht die Injektivität von g folgt. Darüber, ob g injektiv sein darf, wird nichts gesagt.
Zusammen mit dem Beweis oben haben wir, daß aus h injektiv die Injektivität von f folgt, nicht aber die von g.
>
> So jetzt aber nochmal meine Frage:
> Wenn die Vorraussetzung sagt: [mm]g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))[/mm]
> folgert man daraus, dass [mm]x_{1}=x_{2}[/mm] ist.
Diese Folgerung gilt, wenn gesagt ist, daß [mm] g\cirg [/mm] f injektiv ist.
> Ich kann doch aber daraus nicht folgern, dass
> [mm]f(x_{1})=f(x_{2})[/mm] oder anders [mm]y_{1}=y_{2}[/mm] .
Nein. Dies könntest Du folgern, wenn Du wüßtest, daß g injektiv ist.
> Also kann ich wiederum nicht sagen [mm]g(y_{1})=g(y_{2}).[/mm]
Doch. Wenn Du definierst, daß [mm] y_i:=f(x_i), [/mm] dann steht doch genau das da.
Aber Du darfst nicht [mm] y_1=y_2 [/mm] folgern.
> (Bildlich dreht sich der Beweis einmal in Kreis, zumindest
> versucht "er" das.)
> Ich kann also (selbst wenn es stimmt) nicht wieder auf die
> Vorraussetzung schließen, also kann ich über die
> Injektivität von g aus gegebener Anfangsbedingung keine
> Aussage treffen.
Dem Grünen stimme ich zu, den Rest verstehe ich nicht gut.
> Das war jetzt seit Anfang mein Ansatz um zu zeigen, dass g
> nicht zwingend injektiv sein muss.
Daß g nicht zwingend injektiv sein muß, zeigst Du durch das Bespiel einer injektiven Funktion [mm] g\circ [/mm] f, bei welcher g nicht injektiv ist.
Gruß v. Angela
> Würde gerne noch wissen ob das schlüssig/zulässig ist.
>
> Schönes Wochendende dir. Vllt sieht ja netterweise noch
> wer anders drüber.
>
> Gruß,
> sup
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 So 22.05.2011 | | Autor: | Sup |
>
> > Ok nochmal von vorne, damit es keine weiteren
> > Verständnisprobleme gibt:
> > Vorrausgesetzt ist: g [mm]\circ[/mm] f =g(f(x))=h(x) ist
> injektiv
> > also: [mm]h(x_{1})=h(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}[/mm]
> >
> > Behauptung (umgekehrte Implikation zur Teilaufgabe a)):
> > daraus folgt, dass f und g injektiv sind. Dies gilt es
> nun
> > zu beweisen oder widerlegen.
>
> Hallo,
>
> aha! So war also die korrekte Aufgabenstellung.
> Wir haben ja nun festgestellt, daß diese Aussage nicht
> stimmt.
>
> Um sie zu widerlegen, brauchst Du nichts anderes zu tun,
> als mein Gegenbeispiel zu liefern.
> Mit diesem hast Du ein Beispiel dafür, daß h injektiv
> sein kann, ohne daß f und g beide diese Eigenschaft
> haben.
> Die Aufgabe ist damit in vollem Umfange erfüllt.
>
> Trotzdem mußt Du prinzipiell in der Lage sein, den Beweis
> für
> "h injektiv ==> f injektiv" zu führen.
>
> Sei also h injektiv.
>
> > So weiter, diesmal mit deinem Vorschlag, dem
> > Widerspruchsbeweis:
> > Annahme: f ist nicht injektiv
> > Also gilt nicht [mm]f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2},[/mm]
> > sondern es ist möglich, dass [mm]x_{1} \not= x_{2}[/mm]
>
> Dies formulieren wir jetzt mal klar verständlich.
> Angenommen, f ist nicht injektiv.
> Dann gibt es [mm]x_1, x_2\in[/mm] X mit [mm]x_1\not=x_2[/mm] und
> [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm]
>
> > Laut
> > Vorraussetzung ist aber [mm]g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))[/mm]
>
> Welche Voraussetzung meinst Du hier?
>
> Daß [mm]g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))[/mm] folgt aus [mm]f(x_1)=f(x_2),[/mm] weil
> g eine Funktion ist, also insbes. wohldefiniert.
Na die, die ganz oben auch steht: h ist injektiv also folgt aus [mm] g(f(x_{1}))=g(f(x_{2})) \Rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}
[/mm]
Und genau diese Vorraussetzung widerspricht sich mit unserer Annahme, f sei nicht injektiv woraus ja [mm] \Rightarrow x_{1} \not= x_{2} [/mm] folgt.
>
> > woraus
> > wieder
>
> aufgrund der Injektivität von [mm]h=g\circ[/mm] f
>
> > [mm]x_{1}=x_{2}[/mm] folgt. Das wäre jetzt ein Widerspruch,
> > also muss f injektiv sein.
>
> Genau.
>
> >
> > Das war jetzt der Beweis? Das ist ja nur die
> > Widerspruchsannahme hingeschrieben und dann wieder die
> > Vorraussetzung....
> >
> > So jetzt gilt zu zeigen ob auch g injektiv sein muss
> > Dazu hier nochmal dein Gegenbsp.
> > > Gegenbeispiel:
> > >
> > > [mm]X:=\{A,B\}, Y:=\{a,b,c}\, Z:={\1,2,3,4\}[/mm]
> > >
> > > f(A):=a
> > > f(B):=b
> > >
> > > g(a):=1
> > > g(b):=2
> > > g(c):=1
> > >
> > > Es ist
> > >
> > > h(A)=g(f(A))=g(a)=1,
> > > h(B)=g(f(B))=g(b)=1,
> > >
> > > und Du siehst, daß h injektiv ist, obgleich f und g nicht
> > > beide injektiv sind.
> > Ist da nicht ein Fehler? Muss es nicht heißen:
> > h(B)=g(f(B))=g(b)=2, sonst wäre h nicht injektiv.
> Denke
> > du hast dich da vertippt
>
> Vertippt - leider in sinnentstellender Weise...
>
>
>
> > oder habe ich wieder einen
> > Denkfehler drin.
> > Damit wäre jetzt gezeigt, h ist injektiv, wenn f
> injektiv
> > ist, aber nicht g.
>
> Nein.
> Mit dem Gegenbeispiel ist bloß gezeigt,daß aus der
> Injektivität von h nicht die Injektivität von g folgt.
> Darüber, ob g injektiv sein darf, wird nichts gesagt.
> Zusammen mit dem Beweis oben haben wir, daß aus h
> injektiv die Injektivität von f folgt, nicht aber die von
> g.
Meinte ich genau so. War zugegeben etwas doof formuliert.
>
> >
> > So jetzt aber nochmal meine Frage:
> > Wenn die Vorraussetzung sagt: [mm]g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))[/mm]
> > folgert man daraus, dass [mm]x_{1}=x_{2}[/mm] ist.
>
> Diese Folgerung gilt, wenn gesagt ist, daß [mm]g\cirg[/mm] f
> injektiv ist.
Es geht hier um genau das gleiche Szenario wie oben.
> > Ich kann doch aber daraus nicht folgern, dass
> > [mm]f(x_{1})=f(x_{2})[/mm] oder anders [mm]y_{1}=y_{2}[/mm] .
>
> Nein. Dies könntest Du folgern, wenn Du wüßtest, daß g
> injektiv ist.
Was ich aber nicht weiß, sondern belegen oder widerlegen will
Ich will hier ganz einfach sagen:
h ist gegeben als injektiv, aber ich kann dann aus [mm] g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))
[/mm]
nicht folgern, dass [mm] f(x_{1})=f(x_{2}) [/mm] und daraus wiederum [mm] y_{1}=y_{2}, [/mm] weil ich ja über g gar nichts weiß. Die Vorraussetzung legt ja erstmal nur die Eigenschaft von h fest.
>
> > Also kann ich wiederum nicht sagen [mm]g(y_{1})=g(y_{2}).[/mm]
>
> Doch. Wenn Du definierst, daß [mm]y_i:=f(x_i),[/mm] dann steht doch
> genau das da.
> Aber Du darfst nicht [mm]y_1=y_2[/mm] folgern.
>
> > (Bildlich dreht sich der Beweis einmal in Kreis, zumindest
> > versucht "er" das.)
> > Ich kann also (selbst wenn es stimmt) nicht wieder auf
> die
> > Vorraussetzung schließen, also kann ich über die
> > Injektivität von g aus gegebener Anfangsbedingung keine
> > Aussage treffen.
>
> Dem Grünen stimme ich zu, den Rest verstehe ich nicht
> gut.
>
> > Das war jetzt seit Anfang mein Ansatz um zu zeigen, dass g
> > nicht zwingend injektiv sein muss.
>
> Daß g nicht zwingend injektiv sein muß, zeigst Du durch
> das Bespiel einer injektiven Funktion [mm]g\circ[/mm] f, bei welcher
> g nicht injektiv ist.
>
> Gruß v. Angela
>
Ja ich weiß jetzt, dass ich das so machen kann.
Meine Frage war ja aber ob ich, das auch mit meinem zweiten Ansatz begründen kann, also ohne konkretes Gegenbsp.
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> > > So jetzt aber nochmal meine Frage:
> > > Wenn die Vorraussetzung sagt:
> [mm]g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))[/mm]
> > > folgert man daraus, dass [mm]x_{1}=x_{2}[/mm] ist.
> >
> > Diese Folgerung gilt, wenn gesagt ist, daß [mm]g\circ[/mm] f
> > injektiv ist.
> Es geht hier um genau das gleiche Szenario wie oben.
> > > Ich kann doch aber daraus nicht folgern, dass
> > > [mm]f(x_{1})=f(x_{2})[/mm] oder anders [mm]y_{1}=y_{2}[/mm] .
> >
> > Nein. Dies könntest Du folgern, wenn Du wüßtest, daß g
> > injektiv ist.
> Was ich aber nicht weiß, sondern belegen oder widerlegen
> will
Hallo,
ja.
Und ob Du beweisen oder widerlegen willst, ist eine Angelegenheit, die Du mit Deinem Schmierzettel ausmachst - bevor Du Deinen Chefs einen Beweis vor die Nase setzt.
> Ich will hier ganz einfach sagen:
> h ist gegeben als injektiv, aber ich kann dann aus
> [mm]g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))[/mm]
> nicht folgern, dass [mm]f(x_{1})=f(x_{2})[/mm]
Das ist eine Erkenntnis, die Du auf Deinem Schmierzettel gewinnst im Verlaufe der Vorarabeiten zur Lösung Deiner Aufgabe.
Da Du es nicht folgern kannst, hat es in einem Beweis nichts zu suchen.
Ein Beweis funktioniert mit Folgerungen, nicht mit Nicht-Folgerungen.
Du kannst im Beweis jetzt nicht schreiben: "diese Folgerung geht nicht, und daher ist g nicht injektiv" oder "Diese Folgerung geht nicht, und daher muß g nicht injektiv sein.".
Und ich sage es nochmal: vor dem Beweis steht die klare Formulierung dessen, was man beweisen möchte.
Ein Beweis ist kein brainstorming...
> und daraus wiederum
> [mm]y_{1}=y_{2},[/mm] weil ich ja über g gar nichts weiß. Die
> Vorraussetzung legt ja erstmal nur die Eigenschaft von h
> fest.
Ja, natürlich.
> >
> > > Also kann ich wiederum nicht sagen [mm]g(y_{1})=g(y_{2}).[/mm]
> >
> > Doch. Wenn Du definierst, daß [mm]y_i:=f(x_i),[/mm] dann steht doch
> > genau das da.
> > Aber Du darfst nicht [mm]y_1=y_2[/mm] folgern.
> >
> > > (Bildlich dreht sich der Beweis einmal in Kreis, zumindest
> > > versucht "er" das.)
> > > Ich kann also (selbst wenn es stimmt) nicht wieder
> auf
> > die
> > > Vorraussetzung schließen, also kann ich über die
> > > Injektivität von g aus gegebener Anfangsbedingung
> keine
> > > Aussage treffen.
> >
> > Dem Grünen stimme ich zu, den Rest verstehe ich nicht
> > gut.
> >
> > > Das war jetzt seit Anfang mein Ansatz um zu zeigen, dass g
> > > nicht zwingend injektiv sein muss.
> >
> > Daß g nicht zwingend injektiv sein muß, zeigst Du durch
> > das Bespiel einer injektiven Funktion [mm]g\circ[/mm] f, bei welcher
> > g nicht injektiv ist.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
>
> Ja ich weiß jetzt, dass ich das so machen kann.
> Meine Frage war ja aber ob ich, das auch mit meinem
> zweiten Ansatz begründen kann, also ohne konkretes
> Gegenbsp.
So wie ich es oben verstehe, kannst Du es nicht machen.
Mir ist auch nicht ganz klar, warum Du auf die Schlagkraft eines Gegenbeispiels verzichten möchtest.
Es gibt doch nichts Überzeugendereres als ein Gegenbeispiel für eine Behauptung.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:06 Mo 23.05.2011 | | Autor: | Sup |
> Das ist eine Erkenntnis, die Du auf Deinem Schmierzettel
> gewinnst im Verlaufe der Vorarabeiten zur Lösung Deiner
> Aufgabe.
> Da Du es nicht folgern kannst, hat es in einem Beweis
> nichts zu suchen.
> Ein Beweis funktioniert mit Folgerungen, nicht mit
> Nicht-Folgerungen.
>
> Du kannst im Beweis jetzt nicht schreiben: "diese Folgerung
> geht nicht, und daher ist g nicht injektiv" oder "Diese
> Folgerung geht nicht, und daher muß g nicht injektiv
> sein.".
>
> Und ich sage es nochmal: vor dem Beweis steht die klare
> Formulierung dessen, was man beweisen möchte.
> Ein Beweis ist kein brainstorming...
>
> So wie ich es oben verstehe, kannst Du es nicht machen.
Mehr wollte ich nicht wissen.
> Mir ist auch nicht ganz klar, warum Du auf die Schlagkraft
> eines Gegenbeispiels verzichten möchtest.
> Es gibt doch nichts Überzeugendereres als ein
> Gegenbeispiel für eine Behauptung.
Ich will gar nicht drauf verzichten. Ich wollte nur wissen, ob mein Denkansatz ausreicht, um es mathematisch auch ohne Gegenbeispiel zu zeigen.
Dann denke ich wäre alles zu der Aufgabe geklärt.
Hab vielen Danke für deine Hilfe und Geduld^^
Schönen Tag noch,
sup
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Sup |
> Seien X, Y, Z Mengen, f: X [mm]\to[/mm] Y, g: Y [mm]\to[/mm] Z und [mm]h=g\circ[/mm]
> f: x [mm]\to[/mm] Z Abbildungen
> Beweisen oder widerlegen sie:
> a) Sind f und g injektiv, ist auch h injektiv.
> b) Sind f und g surjektiv, ist auch h surjektiv.
> c) Sind f und g bijektiv, ist auch h bijektiv.
> d) Es gelten auch die umgekehrten Implikationen.
>
> 2 Fall: Behauptung: h ist surjektiv, f und g sind
> surjektiv
> hier bin ich mir nicht ganz so sicher
>
> Vorraussetzung:
> [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] Z [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X für das gilt h(x)=z
>
> damit gibt es auch:
> [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] Z [mm]\exists[/mm] y [mm]\in[/mm] Y für das gilt
> g(f(x))=g(y)=z
> Daraus habe ich dann gefolgert, dass g surjektiv sein
> muss.
Mitlerweile bin ich mir hiermeit recht sicher. Nur brauch ich ein Gegenbsp. um zu zeigen, dass f nicht zwingend surjektiv sein muss. Hab schon ne Stunde gegrübelt, aber irgendwie krieg ich keins hin :/
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> > Seien X, Y, Z Mengen, f: X [mm]\to[/mm] Y, g: Y [mm]\to[/mm] Z und [mm]h=g\circ[/mm]
> > f: x [mm]\to[/mm] Z Abbildungen
> > Beweisen oder widerlegen sie:
> > a) Sind f und g injektiv, ist auch h injektiv.
> > b) Sind f und g surjektiv, ist auch h surjektiv.
> > c) Sind f und g bijektiv, ist auch h bijektiv.
> > d) Es gelten auch die umgekehrten Implikationen.
>
> >
> > 2 Fall: Behauptung: h ist surjektiv, f und g sind
> > surjektiv
> > hier bin ich mir nicht ganz so sicher
> >
> > Vorraussetzung:
> > [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] Z [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X für das gilt h(x)=z
> >
> > damit gibt es auch:
> > [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] Z [mm]\exists[/mm] y [mm]\in[/mm] Y für das gilt
> > g(f(x))=g(y)=z
> > Daraus habe ich dann gefolgert, dass g surjektiv sein
> > muss.
>
> Mitlerweile bin ich mir hiermeit recht sicher. Nur brauch
> ich ein Gegenbsp. um zu zeigen, dass f nicht zwingend
> surjektiv sein muss. Hab schon ne Stunde gegrübelt, aber
> irgendwie krieg ich keins hin :/
Hallo,
z.B. dies:
[mm] X:=\{a\}, \qquad Y:=\{A,B\}, \qquad Z:=\{1\}
[/mm]
f(a):=A
g(A):=1
g(B):=1
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:12 So 22.05.2011 | | Autor: | Sup |
> Hallo,
>
> z.B. dies:
>
> [mm]X:=\{a}, \qquad Y:=/{A,B\}, \qquad Z:=\{1\}[/mm]
Komm nicht ganz mit der Schreibweise klar. Was heißt denn /A, B
und warum steht das in der selben Klammer die Def. von X.
> f(a):=A
>
> g(A):=1
> g(B):=1
>
> Gruß v. Angela
>
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Hallo,
so war das gedacht:
> > [mm]X:=\{a\}, \qquad Y:=\{A,B\}, \qquad Z:=\{1\}[/mm]
> > f(a):=A
> >
> > g(A):=1
> > g(B):=1
Gruß v. Angela
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