Rückzahlung eines Kredits < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Eine Bank bietet einen Kredit von 300 000€ zu 5% Zinsen jährlich an. Die Zinsen werden monatlich eingezogen, zu einem Zinsatz von 5/12%. Die monatliche Rückzahlung des Kreditnehmers beträgt 2000€.
a) Wieviele Schulden hat der Kreditnehmer nach 8 Jahren?
b) Wann ist er schuldenfrei? |
Hallo,
ich habe keine Ahnung, wie ich die Aufgabe angehen soll. Konkreter: ich habe Probleme, die monatliche Rückzahlung richtig vom anfänglichen Kreditbetrag abzuziehen. Die Überlegung dabei ist, dass der Kreditbetrag ja monatlich um die Zinsen zu- aber auch um den Tilgungsbetrag abnimmt. Wie kriege ich das mathematisch ausgedrückt?
Mein eigener Ansatz wäre a = (1+5/12/100)^10 * 300 000 - 2000 * ((1+5/12/100)^10-1) / (5/12/100))
Damit komme ich aber auf kein verwertbares Ergebnis.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Eine Bank bietet einen Kredit von 300 000€ zu 5% Zinsen
> jährlich an. Die Zinsen werden monatlich eingezogen, zu
> einem Zinsatz von 5/12%. Die monatliche Rückzahlung des
> Kreditnehmers beträgt 2000€.
>
> a) Wieviele Schulden hat der Kreditnehmer nach 8 Jahren?
>
> b) Wann ist er schuldenfrei?
> Hallo,
>
> ich habe keine Ahnung, wie ich die Aufgabe angehen soll.
> Konkreter: ich habe Probleme, die monatliche Rückzahlung
> richtig vom anfänglichen Kreditbetrag abzuziehen. Die
> Überlegung dabei ist, dass der Kreditbetrag ja monatlich
> um die Zinsen zu- aber auch um den Tilgungsbetrag abnimmt.
> Wie kriege ich das mathematisch ausgedrückt?
>
> Mein eigener Ansatz wäre a = (1+5/12/100)^10 * 300 000 -
> 2000 * ((1+5/12/100)^10-1) / (5/12/100))
>
> Damit komme ich aber auf kein verwertbares Ergebnis.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
Wenn [mm] S_n [/mm] der Schuldenstand nach n Monaten ist, erhältst du eine Rekursionsformel: [mm] S_0 [/mm] = 300 000 und
[mm] S_{n+1} [/mm] = [mm] (1+\frac{5}{12*100})*S_n [/mm] - 2000
Falls ihr lineare Rekursionen behandelt habt, kennst du vielleicht eine Formel, mit der du daraus [mm] S_n [/mm] direkt bestimmen kannst.
|
|
|
| |
|
Okay, deine Formel hilft mir schon mal ein bisschen. Mir ist klar, dass ich damit Aufgaben Teil a) beantworten könnte. Mit etwas Hartnäckigkeit sogar auch b).
Wie ich das machen würde? Nun, ich würde einfach eine Liste erstellen, in der ich S1, S2, S3, S4,... bis S96 von Hand ausrechne. Bei S96 wäre ich ja dann beim Ergebnis der Teilaufgabe a).
Da dass zwar funktionieren würde, aber nicht Sinn der Aufgabe ist, muss ich leider noch eine Rückfrage stellen: wie kriege ich den "Zeitverlauf" in eine Formel. Also wie kann ich die Formel so aufstellen, dass ich ein beliebiges Sn daraus berechnen könnte. Ich habe meine Aufzeichnung durchgesehen und deinen Lösungsansatz, komme aber auf keine bessere Idee als die oben genannte. =/
Könntest Du mir vlt. noch etwas auf die Sprünge helfen?
|
|
|
| |
|
> Okay, deine Formel hilft mir schon mal ein bisschen. Mir
> ist klar, dass ich damit Aufgaben Teil a) beantworten
> könnte. Mit etwas Hartnäckigkeit sogar auch b).
>
> Wie ich das machen würde? Nun, ich würde einfach eine
> Liste erstellen, in der ich S1, S2, S3, S4,... bis S96 von
> Hand ausrechne. Bei S96 wäre ich ja dann beim Ergebnis der
> Teilaufgabe a).
>
> Da dass zwar funktionieren würde, aber nicht Sinn der
> Aufgabe ist, muss ich leider noch eine Rückfrage stellen:
> wie kriege ich den "Zeitverlauf" in eine Formel. Also wie
> kann ich die Formel so aufstellen, dass ich ein beliebiges
> Sn daraus berechnen könnte. Ich habe meine Aufzeichnung
> durchgesehen und deinen Lösungsansatz, komme aber auf
> keine bessere Idee als die oben genannte. =/
>
> Könntest Du mir vlt. noch etwas auf die Sprünge helfen?
Die Formel, die ich meinte ist:
Wenn [mm] (x_n) [/mm] die Rekursionsgleichung [mm] x_{x+1}=a*x_n+b [/mm] erfüllt, so folgt
[mm] x_n=a^n*x_0+\frac{a^n-1}{a-1}*b
[/mm]
Jetzt betrachtest du [mm] x_n=S_n, a=1+\frac{5}{12*100} [/mm] und b=-2000...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
nur kurz zur Ergänzung. Die in der Antwort dargestellte Formel ist mit Deinem Ansatz identisch. Damit kann man beide Aufgaben lösen. Wichtig ist nur, daß, da hier ein monatlicher Zinssatz verwendet wird, auch die Potenzierung n in Monaten erfolgen muß; d.h. für 8 Jahre ist 96 einzusetzen. In deiner Rechnung bekommst Du eine Restschuld nach 10 Monaten heraus. Und bei der Aufgabe b ist die Restschuld Null. Unbekannt ist die Potenz n; die Gleichung ist mittels Logarithmierung lösbar. Das Ergebnis wäre dann in Jahre umzuwandeln.
Kontrollieren kannst Du Deine Rechnung durch Aufstellen eines Tilgungsplans mit Excel oder einer anderen Tabellenkalkulation nach folgendem Schema mit fünf Spalten:
Numer der Zahlung/Kapital bzw. Restkapital/Kapital plus Zinsen/monatl. Rückzahlung/Kapital plus Zinsen minus Rückz.
1 300000 300000*(1+5/1200) 2000 299249,98
2 299249,98 299249,98*(1+5/1200) usw.
Gruß
Staffan
|
|
|
| |
|
Wie ist das mit dem Aufgabenteil b) noch gleich?
Die Gleichung ist: $ [mm] x_n=a^n\cdot{}x_0+\frac{a^n-1}{a-1}\cdot{}b [/mm] $
Ich möchte nun wissen, wann der Kreditnehmer schuldenfrei ist.
Wie sollte die Gleichung nach dem Logarithmieren aussehen?
|
|
|
| |
|
> Wie ist das mit dem Aufgabenteil b) noch gleich?
>
> Die Gleichung ist:
> [mm]x_n=a^n\cdot{}x_0+\frac{a^n-1}{a-1}\cdot{}b[/mm]
>
> Ich möchte nun wissen, wann der Kreditnehmer schuldenfrei
> ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn [mm] x_n [/mm] die Restschuld nach n Zeiteinheiten ist, interessierst Du Dich dafür, wann [mm] x_n=0 [/mm] ist.
Löse zunächst [mm]0 =a^n\cdot{}x_0+\frac{a^n-1}{a-1}\cdot{}b[/mm] nach [mm] a^n [/mm] auf.
Danach logarithmiere.
>
> Wie sollte die Gleichung nach dem Logarithmieren aussehen?
Wir brauchen erst ihr Aussehen vor dem Logarithmieren.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Habe ehrlich gesagt Probleme mit der Umformung. Da steht einmal [mm] a^n [/mm] * x und dann eben im Zähler des Bruchs noch mal [mm] a^n. [/mm] Wie kriege ich die gegeneinander ausgerechnet? D.h, wie kann ich eines der [mm] a^n`s [/mm] rausfallen lassen?
|
|
|
| |
|
> Habe ehrlich gesagt Probleme mit der Umformung. Da steht
> einmal [mm]a^n[/mm] * x und dann eben im Zähler des Bruchs noch mal
> [mm]a^n.[/mm] Wie kriege ich die gegeneinander ausgerechnet? D.h,
> wie kann ich eines der [mm]a^n's[/mm] rausfallen lassen?
Indem du erst den Bruch "auseinanderziehst": [mm] $\frac{a^n-1}{a-1}*b=\frac{b}{a-1}*a^n-\frac{b}{a-1}$ [/mm] und dann [mm] $a^n$ [/mm] ausklammerst.
|
|
|
| |
|
[mm] a^n [/mm] = [mm] \bruch{b}{(a-1)*(x_0 + \bruch {b} {a-1})}
[/mm]
1. Wow, ich kann mit Formeln umgehen!
2. Was sagt ihr zu meiner Umstellung? Beim Einsetzen der Zahlen bekomm ich kein sinnvolles Ergebnis..
|
|
|
| |
|
Hallo nurfuermathe20112,
> [mm]a^n[/mm] = [mm]\bruch{b}{(a-1)*(x_0 + \bruch {b} {a-1})}[/mm]
>
> 1. Wow, ich kann mit Formeln umgehen!
>
> 2. Was sagt ihr zu meiner Umstellung? Beim Einsetzen der
> Zahlen bekomm ich kein sinnvolles Ergebnis..
Umstellung ist in Ordnung. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt sind für
[mm]x_{0}[/mm] der Kredit,
b die monatliche Rückzahlung,
a der monatliche Zinssatz
einzusetzen, und die Gleichung dann zu logarithmieren.
Dann kommst Du auf ein Ergebnis in Monaten.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
[mm] x_0 = 300 000 [/mm]
[mm] b = -2000 [/mm]
[mm] a = 5/12 [/mm]
Sind das die richtigen Werte? Habe jetzt schon alle möglichen Variationen durchprobiert, sinnvoller will das Ergebnis dadurch nicht werden. Log oder ln?
Sorry, ist echt peinlich, jetzt haben schon so viele Leute mir versucht zu helfen und ich packs noch nicht =/
|
|
|
| |
|
> [mm]x_0 = 300 000[/mm]
> [mm]b = -2000[/mm]
> [mm]a = 5/12[/mm]
>
> Sind das die richtigen Werte?
a passt noch nicht. Es muss sein a = 1+monatl. Zinssatz, wobei der monatliche Zinssatz [mm] $\frac{5}{12}\%=\frac{5}{1200}$ [/mm] ist,
also [mm] a=1+\frac{5}{1200}
[/mm]
> Habe jetzt schon alle
> möglichen Variationen durchprobiert, sinnvoller will das
> Ergebnis dadurch nicht werden. Log oder ln?
Ist eigentlich egal. Du hast [mm] \log a^n=n*\log [/mm] a, dabei kann log für den Zehner-, Zweier- oder natürlichen Logarithmus stehen.
>
> Sorry, ist echt peinlich, jetzt haben schon so viele Leute
> mir versucht zu helfen und ich packs noch nicht =/
|
|
|
|
