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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Biensche |
| Aufgabe | Es seien V,W endlich-dimensionale Vektorräume, f: V [mm] \to [/mm] W linear und f*: W* [mm] \to [/mm] V* die Rückzugsabbildung.
Zeigen Sie:
a) f ist genau dann injektiv, wenn f* surjektiv ist.
b) f ist genau dann surjektiv, wenn f* injektiv ist. |
Hallo!
Ich steh grad ziemlich aufm Schlauch und es wäre toll, wenn ihr mir helfen könntet.
Ich weiß,was injektiv und surjektiv bedeutet.
Injektivität einer Abb. von A nach B:
f(a) = f(b) [mm] \Rightarrow [/mm] a=b , d.h. für jedes b [mm] \in [/mm] B gibt es hächstens ein a [mm] \in [/mm] A, sodass f(a)=b gilt
Surjektivität einer Abb. von A nach B:
[mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A: f(a)=b ,
d.h. es existiert zu jedem Element b [mm] \in [/mm] B ein [mm] a\in [/mm] A mit f(a)=b
Ich habe mir nun überlegt, ob das Ganze vielleicht mit dem Kern von f zusammenhängen könnte, da ja für eine lineare Abb. f zwischen zwei Vektorräumen gilt:
ker(f)=0 [mm] \gdw [/mm] f injektiv.
Stimmt der Ansatz oder bin ich auf dem totalen Holzweg? Wenn nicht, wie kann ich dann weitermachen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke schon mal im Vorraus.
Grüße!
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> Es seien V,W endlich-dimensionale Vektorräume, f: V [mm]\to[/mm] W
> linear und f*: W* [mm]\to[/mm] V* die Rückzugsabbildung.
> Zeigen Sie:
>
> a) f ist genau dann injektiv, wenn f* surjektiv ist.
> b) f ist genau dann surjektiv, wenn f* injektiv ist.
> Hallo!
>
> Ich steh grad ziemlich aufm Schlauch und es wäre toll,
> wenn ihr mir helfen könntet.
>
> Ich weiß,was injektiv und surjektiv bedeutet.
> Injektivität einer Abb. von A nach B:
> f(a) = f(b) [mm]\Rightarrow[/mm] a=b , d.h. für jedes b [mm]\in[/mm] B gibt
> es hächstens ein a [mm]\in[/mm] A, sodass f(a)=b gilt
>
> Surjektivität einer Abb. von A nach B:
> [mm]\forall[/mm] b [mm]\in[/mm] B [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] A: f(a)=b ,
> d.h. es existiert zu jedem Element b [mm]\in[/mm] B ein [mm]a\in[/mm] A mit
> f(a)=b
>
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> Ich habe mir nun überlegt, ob das Ganze vielleicht mit dem
> Kern von f zusammenhängen könnte, da ja für eine lineare
> Abb. f zwischen zwei Vektorräumen gilt:
>
> ker(f)=0 [mm]\gdw[/mm] f injektiv.
>
>
> Stimmt der Ansatz oder bin ich auf dem totalen Holzweg?
> Wenn nicht, wie kann ich dann weitermachen?
Hallo,
Dir fehlt noch eine ganz wesentliche Zutat:
wie ist denn die Abbildung [mm] f^{\*} [/mm] definiert?
was bedeutet es, wenn sie injektiv, bzw. surjektiv ist?
Dies vor Beginn des eigentlichen Beweises zu notieren, kommt mir nicht ganz überflüssig vor.
Wenn Du das hast, trenne das zu Beweisende fein säuberlich in 4 Beweise.
Schreibe jedesmal auf, was Deine Voraussetzungen sind und was Du zeigen möchtest.
Damit sind die wichtigen Vorarbeiten dann getan, und es kann losgehen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Biensche |
Danke!
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