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Rund um eine Pyramide: Neuanfang
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Mi 22.10.2008
Autor: Steffie90

Aufgabe
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(6,0,0), B(0,6,0), C(0,0,8) und D(3,-3,8) gegeben.

Die Punkte A, B, C und der Ursprung 0 bilden eine Pyramide. Berechen Sie das Volumen dieser Pyramide!  

V= [mm] \bruch{1}{3}G*h [/mm]

G= Grundfläche
h= Höhe

E: 4x+4y+3z=24

[mm] \bruch{4x+4y+3z-24}{\wurzel{41}}=0 [/mm]

Ursprung P(0,0,0)

d(P,E)= 3,748

Schnittwinkel:

[mm] \vec{a}=\overrightarrow{BC} [/mm]
[mm] \vec{b}=\overrightarrow{AC} [/mm]

[mm] cos(Winkel\vec{a}, \vec{b})= \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|} [/mm]

[mm] =\bruch{\vektor{0 \\ -6\\ 8}*\vektor{-6 \\ 0\\ 8}}{\wurzel{100}*\wurzel{100}} [/mm]

[mm] =\bruch{64}{100} [/mm]

[mm] cos\alpha= [/mm] 0,65
[mm] \alpha=50,2° [/mm]

Trotzdem weiß ich nicht wie ich das Volumen errechnen könnte!
Kann mir jemand behilflich sein?
Gruß Steffie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Rund um eine Pyramide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:13 Mi 22.10.2008
Autor: abakus


> In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
> A(6,0,0), B(0,6,0), C(0,0,8) und D(3,-3,8) gegeben.
>
> Die Punkte A, B, C und der Ursprung 0 bilden eine Pyramide.
> Berechen Sie das Volumen dieser Pyramide!
> V= [mm]\bruch{1}{3}G*h[/mm]
>  
> G= Grundfläche
>  h= Höhe
>  
> E: 4x+4y+3z=24
>  
> [mm]\bruch{4x+4y+3z-24}{\wurzel{41}}=0[/mm]
>  
> Ursprung P(0,0,0)
>  
> d(P,E)= 3,748
>  
> Schnittwinkel:
>  
> [mm]\vec{a}=\overrightarrow{BC}[/mm]
>  [mm]\vec{b}=\overrightarrow{AC}[/mm]
>  
> [mm]cos(Winkel\vec{a}, \vec{b})= \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{\vektor{0 \\ -6\\ 8}*\vektor{-6 \\ 0\\ 8}}{\wurzel{100}*\wurzel{100}}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{64}{100}[/mm]
>  
> [mm]cos\alpha=[/mm] 0,65
>  [mm]\alpha=50,2°[/mm]
>  
> Trotzdem weiß ich nicht wie ich das Volumen errechnen
> könnte!

Du benötigst - wie du selbst schon angedeutet hast- eine Dreiecksfläche als Grundfläche und den Abstand des vierten Punktes zu dieser Grundfläche als Höhe.
In einer dreiseitigen Pyramide kann JEDE der begrenzenden Seitenflächen als Grundfläche herhalten: Suche dir eine aus (drei Punkte) und berechne deren Inhalt.
Gruß Abakus




>  Kann mir jemand behilflich sein?
>  Gruß Steffie
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  


Bezug
        
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Rund um eine Pyramide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 Mi 22.10.2008
Autor: mathemak

Hallo!

Dein Abstand der Ebene zum Ursprung ist richtig.

Dein Gedanke, die Grundfläche in der von Dir aufgestellten Ebene festzulegen ist eher hinderlich  - wie abakus es schon geschrieben hat.

[mm] $V=\bruch{1}{3} \cdot [/mm] G [mm] \cdot [/mm] h$.

Such' Dir eine Grundfläche, deren Inhalt Du leicht berechnen kannst.

Ansonsten hast Du einen Winkel berechnet. Dann kannst Du über

[mm] $A_\triangle [/mm] = 1/2 [mm] \cdot [/mm] a [mm] \cdot [/mm] c [mm] \cdot \sin(\gamma)$ [/mm] die Fläche ausrechnen.

Gruß

mathemak

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Rund um eine Pyramide: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:26 Mi 22.10.2008
Autor: Steffie90

Ich habe versucht
[mm] \overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC}= \vektor{-6 \\ 6\\0}*\vektor{-6 \\ 0\\8} [/mm]

dann bekomme ich 36 raus aber das Problem ist, ich weiß nicht weiter! Wie soll ich das einsetzen und so?

Bezug
                        
Bezug
Rund um eine Pyramide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Mi 22.10.2008
Autor: abakus


> Ich habe versucht
> [mm]\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC}= \vektor{-6 \\ 6\\0}*\vektor{-6 \\ 0\\8}[/mm]
>  
> dann bekomme ich 36 raus aber das Problem ist, ich weiß
> nicht weiter! Wie soll ich das einsetzen und so?

Bevor du mit Vektoren um dich wirfst: wiederhole (Stoff Klasse 7), wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet.
Gruß Abakus


Bezug
        
Bezug
Rund um eine Pyramide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Mi 22.10.2008
Autor: informix

Hallo Steffie90,
auf ein Neues!

> In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
> A(6,0,0), B(0,6,0), C(0,0,8) und D(3,-3,8) gegeben.
>
> Die Punkte A, B, C und der Ursprung 0 bilden eine Pyramide.
> Berechen Sie das Volumen dieser Pyramide!
> V= [mm]\bruch{1}{3}G*h[/mm]
>  
> G= Grundfläche
>  h= Höhe
>  
> E: 4x+4y+3z=24
>  
> [mm]\bruch{4x+4y+3z-24}{\wurzel{41}}=0[/mm]
>  
> Ursprung P(0,0,0)
>  
> d(P,E)= 3,748

und damit hast du die Höhe h der Pyramide berechnet! ;-)

>  
> Schnittwinkel:
>  
> [mm]\vec{a}=\overrightarrow{BC}[/mm]
>  [mm]\vec{b}=\overrightarrow{AC}[/mm]
>  
> [mm]cos(Winkel\vec{a}, \vec{b})= \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{\vektor{0 \\ -6\\ 8}*\vektor{-6 \\ 0\\ 8}}{\wurzel{100}*\wurzel{100}}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{64}{100}[/mm]
>  
> [mm]\cos\alpha=[/mm] 0,65[notok]

du berechnest den Winkel bei C, und der heißt nun mal [mm] \gamma. [/mm]
[mm] \bruch{64}{100}\ne0,65 [/mm]

>  [mm]\alpha=50,2°[/mm]

also: [mm] \gamma=50,2° [/mm] ist richtig, weil du es von früher übernommen hast.

>  
> Trotzdem weiß ich nicht wie ich das Volumen errechnen
> könnte!

Berechne doch, wie die anderen dir schon mehrfach geraten haben, zunächst die Grundfläche G des Dreiecks:
mathemak schrieb:
$ [mm] A_\triangle [/mm] = 1/2 [mm] \cdot [/mm] a [mm] \cdot [/mm] c [mm] \cdot \sin(\gamma) [/mm] $

angewandt auf unsere Gegebenheiten:
[mm] a=|\vec{a}| [/mm] und [mm] b=|\vec{b}| [/mm]  -> bitte ausrechnen!

Der Winkel, den du oben ausgerechnet hast, ist nicht [mm] \alpha, [/mm] sondern [mm] \gamma [/mm]  !!
Damit kannst du die Dreiecksfläche berechnen - zeige uns deinen Rechenweg hier!

wenn du antwortest, kannst du mit einem Klick auf "Zitieren" (ganz unten!) alle Formeln etc. in das neue Fenster holen und dann gleich zwischen meinen Anmerkungen losrechnen.


Gruß informix

Bezug
                
Bezug
Rund um eine Pyramide: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Mi 22.10.2008
Autor: Steffie90

Aufgabe
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(6,0,0), B(0,6,0), C(0,0,8) und D(3,-3,8) gegeben.

Die Punkte A, B, C und der Ursprung 0 bilden eine Pyramide. Berechen Sie das Volumen dieser Pyramide!  

> Hallo Steffie90,
>  auf ein Neues!
>  
> > In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
> > A(6,0,0), B(0,6,0), C(0,0,8) und D(3,-3,8) gegeben.
> >
> > Die Punkte A, B, C und der Ursprung 0 bilden eine Pyramide.
> > Berechen Sie das Volumen dieser Pyramide!
> > V= [mm]\bruch{1}{3}G*h[/mm]
>  >  
> > G= Grundfläche
>  >  h= Höhe
>  >  
> > E: 4x+4y+3z=24
>  >  
> > [mm]\bruch{4x+4y+3z-24}{\wurzel{41}}=0[/mm]
>  >  
> > Ursprung P(0,0,0)
>  >  
> > d(P,E)= 3,748
>  und damit hast du die Höhe h der Pyramide berechnet! ;-)
>  >  
> > Schnittwinkel:
>  >  
> > [mm]\vec{a}=\overrightarrow{BC}[/mm]
>  >  [mm]\vec{b}=\overrightarrow{AC}[/mm]
>  >  
> > [mm]cos(Winkel\vec{a}, \vec{b})= \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}[/mm]
>  
> >  

> > [mm]=\bruch{\vektor{0 \\ -6\\ 8}*\vektor{-6 \\ 0\\ 8}}{\wurzel{100}*\wurzel{100}}[/mm]
>  
> >  

> > [mm]=\bruch{64}{100}[/mm]
>  >  
> > [mm]\cos\alpha=[/mm] 0,65[notok]
>  du berechnest den Winkel bei C, und der heißt nun mal
> [mm]\gamma.[/mm]
>  [mm]\bruch{64}{100}\ne0,65[/mm]
>  >  [mm]\alpha=50,2°[/mm]
>  also: [mm]\gamma=50,2°[/mm] ist richtig, weil du es von früher
> übernommen hast.
>  >  
> > Trotzdem weiß ich nicht wie ich das Volumen errechnen
> > könnte!
>  Berechne doch, wie die anderen dir schon mehrfach geraten
> haben, zunächst die Grundfläche G des Dreiecks:
>  mathemak schrieb:
>  [mm]A_\triangle = 1/2 \cdot a \cdot c \cdot \sin(\gamma)[/mm]
>
> angewandt auf unsere Gegebenheiten:
>  [mm]a=|\vec{a}|[/mm] und [mm]b=|\vec{b}|[/mm]  -> bitte ausrechnen!

>  
> Der Winkel, den du oben ausgerechnet hast, ist nicht
> [mm]\alpha,[/mm] sondern [mm]\gamma[/mm]  !!
>  Damit kannst du die Dreiecksfläche berechnen - zeige uns
> deinen Rechenweg hier!
>  
> wenn du antwortest, kannst du mit einem Klick auf
> "Zitieren" (ganz unten!) alle Formeln etc. in das neue
> Fenster holen und dann gleich zwischen meinen Anmerkungen
> losrechnen.
>  
>
> Gruß informix





4x+4y+3z=24
Ursprung P(0,0,0 )
Ich habe jetzt die Formel:
[mm] G=\bruch{1}{2}a*b*sin\gamma [/mm]

[mm] a=\overrightarrow{BC} [/mm]
[mm] b=\overrightarrow{AC} [/mm]

[mm] a=\vektor{0 \\ -6\\8} [/mm]
[mm] b=\vektor{-6 \\ 0\\8} [/mm]

[mm] \bruch{1}{2}*a=\vektor{0 \\ -6\\8}*b=\vektor{-6 \\ 0\\8}*sin\gamma [/mm]

[mm] \gamma [/mm] war 50,2°

also G= 24,589

dann [mm] V=\bruch{1}{3}G*h [/mm]

h war der Abstand d(P,E)= 3,748

V= 30,715

Stimmt das?
Gruß Steffie




Bezug
                        
Bezug
Rund um eine Pyramide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Mi 22.10.2008
Autor: abakus


> In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
> A(6,0,0), B(0,6,0), C(0,0,8) und D(3,-3,8) gegeben.
>
> Die Punkte A, B, C und der Ursprung 0 bilden eine Pyramide.
> Berechen Sie das Volumen dieser Pyramide!
> > Hallo Steffie90,
>  >  auf ein Neues!
>  >  
> > > In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
> > > A(6,0,0), B(0,6,0), C(0,0,8) und D(3,-3,8) gegeben.
> > >
> > > Die Punkte A, B, C und der Ursprung 0 bilden eine Pyramide.
> > > Berechen Sie das Volumen dieser Pyramide!
> > > V= [mm]\bruch{1}{3}G*h[/mm]
>  >  >  
> > > G= Grundfläche
>  >  >  h= Höhe
>  >  >  
> > > E: 4x+4y+3z=24
>  >  >  
> > > [mm]\bruch{4x+4y+3z-24}{\wurzel{41}}=0[/mm]
>  >  >  
> > > Ursprung P(0,0,0)
>  >  >  
> > > d(P,E)= 3,748
>  >  und damit hast du die Höhe h der Pyramide berechnet!
> ;-)
>  >  >  
> > > Schnittwinkel:
>  >  >  
> > > [mm]\vec{a}=\overrightarrow{BC}[/mm]
>  >  >  [mm]\vec{b}=\overrightarrow{AC}[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]cos(Winkel\vec{a}, \vec{b})= \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > [mm]=\bruch{\vektor{0 \\ -6\\ 8}*\vektor{-6 \\ 0\\ 8}}{\wurzel{100}*\wurzel{100}}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > [mm]=\bruch{64}{100}[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]\cos\alpha=[/mm] 0,65[notok]
>  >  du berechnest den Winkel bei C, und der heißt nun mal
> > [mm]\gamma.[/mm]
>  >  [mm]\bruch{64}{100}\ne0,65[/mm]
>  >  >  [mm]\alpha=50,2°[/mm]
>  >  also: [mm]\gamma=50,2°[/mm] ist richtig, weil du es von früher
> > übernommen hast.
>  >  >  
> > > Trotzdem weiß ich nicht wie ich das Volumen errechnen
> > > könnte!
>  >  Berechne doch, wie die anderen dir schon mehrfach
> geraten
> > haben, zunächst die Grundfläche G des Dreiecks:
>  >  mathemak schrieb:
>  >  [mm]A_\triangle = 1/2 \cdot a \cdot c \cdot \sin(\gamma)[/mm]
> >
> > angewandt auf unsere Gegebenheiten:
>  >  [mm]a=|\vec{a}|[/mm] und [mm]b=|\vec{b}|[/mm]  -> bitte ausrechnen!

>  >  
> > Der Winkel, den du oben ausgerechnet hast, ist nicht
> > [mm]\alpha,[/mm] sondern [mm]\gamma[/mm]  !!
>  >  Damit kannst du die Dreiecksfläche berechnen - zeige
> uns
> > deinen Rechenweg hier!
>  >  
> > wenn du antwortest, kannst du mit einem Klick auf
>  > "Zitieren" (ganz unten!) alle Formeln etc. in das neue

>  > Fenster holen und dann gleich zwischen meinen

> Anmerkungen
>  > losrechnen.

>  >  
> >
> > Gruß informix
>
>
>
>
>
> 4x+4y+3z=24
> Ursprung P(0,0,0 )
> Ich habe jetzt die Formel:
> [mm]G=\bruch{1}{2}a*b*sin\gamma[/mm]
>
> [mm]a=\overrightarrow{BC}[/mm]
> [mm]b=\overrightarrow{AC}[/mm]
>
> [mm]a=\vektor{0 \\ -6\\8}[/mm]
> [mm]b=\vektor{-6 \\ 0\\8}[/mm]

Du benötigst für die nachfolgende Rechnung die BETRÄGE der Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}. [/mm]
Gruß Abakus

>
> [mm]\bruch{1}{2}*a=\vektor{0 \\ -6\\8}*b=\vektor{-6 \\ 0\\8}*sin\gamma[/mm]
>
> [mm]\gamma[/mm] war 50,2°
>
> also G= 24,589
>
> dann [mm]V=\bruch{1}{3}G*h[/mm]
>
> h war der Abstand d(P,E)= 3,748
>
> V= 30,715
>
> Stimmt das?
> Gruß Steffie
>
>
>  


Bezug
                                
Bezug
Rund um eine Pyramide: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Mi 22.10.2008
Autor: Steffie90

4x+4y+3z=24
> Ursprung P(0,0,0 )
> Ich habe jetzt die Formel:
> [mm]G=\bruch{1}{2}a*b*sin\gamma[/mm]
>
> [mm]a=|\overrightarrow{BC}[/mm]|
> [mm]b=|\overrightarrow{AC}[/mm]|
>
> [mm]a=|\vektor{0 \\ -6\\8}[/mm]|   a= 10
> [mm]b=|\vektor{-6 \\ 0\\8}[/mm] |  b=10


G= [mm]\bruch{1}{2}*a*b*sin\gamma[/mm]

>
> [mm]\gamma[/mm] war 50,2°
>
> also G= 38,414
>
> dann [mm]V=\bruch{1}{3}G*h[/mm]
>
> h war der Abstand d(P,E)= 3,748
>
> V= 47,99
>
> Stimmt das?
> Gruß Steffie
>


Bezug
                                        
Bezug
Rund um eine Pyramide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Mi 22.10.2008
Autor: MarkusF

Ja, das stimmt. (siehe auch andere Diskussion)

Viele Grüße,
Markus

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