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| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(6,0,0), B(0,6,0), C(0,0,8) und D(3,-3,8) gegeben.
Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Innenwinkenhalbierenden w des Winkels BCA, den Schnittpunkt S von w mit der Geraden AB sowie den Winkel von w mit AB!
Zeichnen Sie w und S in das Koordinatensystem von Teilaufgabe 1b und deuten Sie das Ergebnis geometrisch! |
ges. Innenwinkelhalbierende w vom Winkel BCA
Schnittpunkt S von w mit der Geraden AB
Winkel von w mit A
Könnt ihr mir wieder einen Ansatz geben?
Gruß Steffie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Do 23.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Dass der Winkel BCA 50,2° groß ist, haben wir ja schon rausgekriegt. Den Rest der Aufgabe rechne ich mal bis morgen durch...
Viele Grüße,
Markus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:53 Do 23.10.2008 | | Autor: | Steffie90 |
Danke! Danke! Danke!
Ich probier es ebenfalls! Bis morgen...
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Hallo Steffie90,
> In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
> A(6,0,0), B(0,6,0), C(0,0,8) und D(3,-3,8) gegeben.
>
> Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der
> Innenwinkenhalbierenden w des Winkels BCA, den Schnittpunkt
> S von w mit der Geraden AB sowie den Winkel von w mit AB!
> Zeichnen Sie w und S in das Koordinatensystem von
> Teilaufgabe 1b und deuten Sie das Ergebnis geometrisch!
> ges. Innenwinkelhalbierende w vom Winkel BCA
> Schnittpunkt S von w mit der Geraden AB
> Winkel von w mit A
>
> Könnt ihr mir wieder einen Ansatz geben?
>
voilà!
Du kennst die Richtungen der beiden Schenkel dieses Winkels [mm] \gamma=Winkel(CA,CB), [/mm] also Winkel bei C.
Wenn du beide Vektoren auf  Einheitsvektoren normierst, ergeben sie aneinandergesetzt und ergänzt eine Raute (nur so als Vorstellung).
Die Diagonale dieser Raute ist zugleich die Winkelhalbierende von [mm] \gamma.
[/mm]
Es gilt also: [mm] \vec{w}=\overrightarrow{CA}^0+\overrightarrow{CB}^0=\bruch{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}+\bruch{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|}
[/mm]
Nun rechnet mal schön - hier nachvollziehbar bitte!
Gruß informix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Fr 24.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Mein Ansatz:
Die Winkelhalbierende w schneidet AB in S.
Geradengleichung g(AB):
[mm] g(AB):\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{6\\0\\0} [/mm] + t * [mm] \vektor{-6\\6\\0}
[/mm]
S liegt auf g, aber es muss auch gelten (nach Skalarprodukt):
[mm] \overrightarrow{CS} [/mm] * [mm] \overrightarrow{CB} [/mm] = [mm] |\overrightarrow{CS}| [/mm] * [mm] |\overrightarrow{CB}| [/mm] * [mm] \cos{25,1°}
[/mm]
S hat die Koordinaten (6-6t,6t,0).
Die habe ich in die Gleichung eingesetzt und hatte dann eine ewiglange quadratische Gleichung mit komplizierter Mitternachtsformel, und kam auf die Lösung t = 0,5.
Das ist auch logisch, denn CB ist gleichlang wie CA, und damit ist w gleich der Mittelsenkrechten... (meine komplizierte Gleichung wäre also gar nicht nötig gewesen, wenn ich kurz nachgedacht hätte - aber ich liebe ja die Herausforderungen :D)
Schnittpunkt ist also S(3,3,0).
Winkel zwischen AB und SC lässt sich einfach mit dem Skalarprodukt ausrechnen...
Viele Grüße,
Markus
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Hallo Markus,
das ist soweit alles ok.
Aber dass du den Winkel einfach als die Hälfte eines gerundeten Winkels annimmst, ist nicht besonders glücklich.
Wahrscheinlich ist t=0,5 auch nur eine gerundete Zahl?
Ich hatte in meinem Ansatz schon den Weg über die Raute mit Hilfe von Einheitsvektoren beschrieben; versuch' meinen Weg mal durchzurechnen - einfach als Übung.
> Mein Ansatz:
> Die Winkelhalbierende w schneidet AB in S.
> Geradengleichung g(AB):
> [mm]g(AB):\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{6\\0\\0}[/mm] + t * [mm]\vektor{-6\\6\\0}[/mm]
> S liegt auf g, aber es muss auch gelten (nach
> Skalarprodukt):
> [mm]\overrightarrow{CS}[/mm] * [mm]\overrightarrow{CB}[/mm] =
> [mm]|\overrightarrow{CS}|[/mm] * [mm]|\overrightarrow{CB}|[/mm] *
> [mm]\cos{25,1°}[/mm]
> S hat die Koordinaten (6-6t,6t,0).
dein Rechenweg würde mich interessieren... 
.. die wesentlichen Schritte... nicht die Riesenrechnung, die m.E. nicht nötig ist.
> Die habe ich in die Gleichung eingesetzt und hatte dann
> eine ewiglange quadratische Gleichung mit komplizierter
> Mitternachtsformel, und kam auf die Lösung t = 0,5.
wohl nur gerundet?
> Das ist auch logisch, denn CB ist gleichlang wie CA, und
> damit ist w gleich der Mittelsenkrechten...
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") das glaube ich so nicht, Nachweis?
> (meine
> komplizierte Gleichung wäre also gar nicht nötig gewesen,
> wenn ich kurz nachgedacht hätte - aber ich liebe ja die
> Herausforderungen :D)
> Schnittpunkt ist also S(3,3,0). ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
das habe ichauch.
> Winkel zwischen AB und SC lässt sich einfach mit dem
> Skalarprodukt ausrechnen...
>
> Viele Grüße,
> Markus
Gruß informix
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Hallo Infomix,
habe jetzt in deine vorgegebene Gleichung von w eingesetzt!
[mm] \vec{w}=\overrightarrow{CA}^0+\overrightarrow{CB}^0=\bruch{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}+\bruch{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|} [/mm]
[mm] \vec{w}=\overrightarrow{CA}^0+\overrightarrow{CB}^0=\bruch{\vektor{6 \\ 0\\-8}}{10}+\bruch{\vektor{0 \\ 6\\-8}}{10} [/mm]
Wie addiere ich das?
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Hallo Steffie90,
> Hallo Infomix,
> habe jetzt in deine vorgegebene Gleichung von w
> eingesetzt!
>
> [mm]\vec{w}=\overrightarrow{CA}^0+\overrightarrow{CB}^0=\bruch{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}+\bruch{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|}[/mm]
>
> [mm]\vec{w}=\overrightarrow{CA}^0+\overrightarrow{CB}^0=\bruch{\vektor{6 \\ 0\\-8}}{10}+\bruch{\vektor{0 \\ 6\\-8}}{10}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Wie addiere ich das?
zunächst den gemeinsamen Faktor ausklammern und dann in der Klammer die beiden Vektoren addieren - ganz normal: [mm] r*\vec{a}+r*\vec{b}=r*(\vec{a}+\vec{b})
[/mm]
Gruß informix
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[mm]\vec{w}=\overrightarrow{CA}^0+\overrightarrow{CB}^0=\bruch{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}+\bruch{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|}[/mm]
[mm]\vec{w}=\overrightarrow{CA}^0+\overrightarrow{CB}^0=\bruch{\vektor{6 \\ 0\\-8}}{10}+\bruch{\vektor{0 \\ 6\\-8}}{10}[/mm]
[mm] r*\vec{a}+r*\vec{b}=r*(\vec{a}+\vec{b}) [/mm]
Und dann?
Gruß Steffie
[mm] r*\vektor{6 \\ 0\\-8}+r*\vektor{0 \\ 6\\-8}=r*(\vektor{6 \\ 0\\-8}+\vektor{0 \\ 6\\-8})= r*\vektor{6 \\ 6\\-16}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 So 26.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
r ist in diesem Fall = 1.
Viele Grüße,
Markus
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Hallo Steffie90,
>
> [mm]\vec{w}=\overrightarrow{CA}^0+\overrightarrow{CB}^0=\bruch{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}+\bruch{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|}[/mm]
>
> [mm]\vec{w}=\overrightarrow{CA}^0+\overrightarrow{CB}^0=\bruch{\vektor{6 \\ 0\\-8}}{10}+\bruch{\vektor{0 \\ 6\\-8}}{10}[/mm]
>
>
> [mm]r*\vec{a}+r*\vec{b}=r*(\vec{a}+\vec{b})[/mm]
>
> Und dann?
>
> [mm]r*\vektor{6 \\ 0\\-8}+r*\vektor{0 \\ 6\\-8}=r*(\vektor{6 \\ 0\\-8}+\vektor{0 \\ 6\\-8})= r*\vektor{6 \\ 6\\-16}[/mm]
Damit hast du die Richtung der Innenwinkelhalbierenden w.
Da sie durch C gehen muss, kann du für die entsprechende Gerade die Punkt-Richtungs-Form aufstellen.
Anschließend bestimmst du den Schnittpunkt der Geraden w mit der Geraden g(A,B).
Du solltest (wie schon Markus) S(3;3;0) erhalten.
Gruß informix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Sa 25.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
> Hallo Markus,
>
> das ist soweit alles ok.
> Aber dass du den Winkel einfach als die Hälfte eines
> gerundeten Winkels annimmst, ist nicht besonders
> glücklich.
> Wahrscheinlich ist t=0,5 auch nur eine gerundete Zahl?
Ja, das ist gerundet; der Taschenrechner gab = 0,499... aus
>
> Ich hatte in meinem Ansatz schon den Weg über
> die Raute mit Hilfe von Einheitsvektoren
> beschrieben; versuch' meinen Weg mal durchzurechnen -
> einfach als Übung.
>
> > Mein Ansatz:
> > Die Winkelhalbierende w schneidet AB in S.
> > Geradengleichung g(AB):
> > [mm]g(AB):\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{6\\0\\0}[/mm] + t *
> [mm]\vektor{-6\\6\\0}[/mm]
> > S liegt auf g, aber es muss auch gelten (nach
> > Skalarprodukt):
> > [mm]\overrightarrow{CS}[/mm] * [mm]\overrightarrow{CB}[/mm] =
> > [mm]|\overrightarrow{CS}|[/mm] * [mm]|\overrightarrow{CB}|[/mm] *
> > [mm]\cos{25,1°}[/mm]
> > S hat die Koordinaten (6-6t,6t,0).
> dein Rechenweg würde mich interessieren...
> .. die wesentlichen Schritte... nicht die Riesenrechnung,
> die m.E. nicht nötig ist.
>
Mein Rechenweg:
Ich habe in die obige Skalarprodukt-Gleichung den Punkt C, den Punkt S, den Punkt B und den halben Winkel BCA eingesetzt. Das ergab dann:
[mm] \vektor{6\\0\\-8} [/mm] * [mm] \vektor{6-6t\\6t\\-8} [/mm] = [mm] \cos{25,1°} [/mm] * [mm] |\vektor{6\\0\\-8}| [/mm] * [mm] |\vektor{6-6t\\6t\\-8}|
[/mm]
Und nach einigen Umformungen ergab sich dann eine quadratische Gleichung...
> > Die habe ich in die Gleichung eingesetzt und hatte dann
> > eine ewiglange quadratische Gleichung mit komplizierter
> > Mitternachtsformel, und kam auf die Lösung t = 0,5.
> wohl nur gerundet?
> > Das ist auch logisch, denn CB ist gleichlang wie CA,
> und
> > damit ist w gleich der Mittelsenkrechten...
> das glaube ich so nicht, Nachweis?
[mm] |\overrightarrow{CB}| [/mm] = [mm] |\vektor{0\\-6\\8}| [/mm] = 10
[mm] |\overrightarrow{CA}| [/mm] = [mm] |\vektor{-6\\0\\8}| [/mm] = 10
damit liegt ein gleichschenkliges Dreieck vor, und w ist identisch mit der Mittelsenkrechten. S liegt also genau zwischen A und B und damit t = 0,5.
Wäre das Dreieck nicht gleichschenklig, könnte man doch auch keine Raute konstruieren - so wie du vorgeschlagen hast, sondern nur ein Parallelogramm... ;)
> > (meine
> > komplizierte Gleichung wäre also gar nicht nötig gewesen,
> > wenn ich kurz nachgedacht hätte - aber ich liebe ja die
> > Herausforderungen :D)
> > Schnittpunkt ist also S(3,3,0).
> das habe ichauch.
> > Winkel zwischen AB und SC lässt sich einfach mit dem
> > Skalarprodukt ausrechnen...
> >
> > Viele Grüße,
> > Markus
>
>
> Gruß informix
Viele Grüße,
Markus
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Hallo MarkusF,
> > Aber dass du den Winkel einfach als die Hälfte eines
> > gerundeten Winkels annimmst, ist nicht besonders
> > glücklich.
> > Wahrscheinlich ist t=0,5 auch nur eine gerundete Zahl?
> Ja, das ist gerundet; der Taschenrechner gab = 0,499...
> aus
>
> > Ich hatte in meinem Ansatz schon den Weg über
> > die Raute mit Hilfe von Einheitsvektoren
> > beschrieben; versuch' meinen Weg mal durchzurechnen -
> > einfach als Übung.
> >
> > > Mein Ansatz:
> > > Die Winkelhalbierende w schneidet AB in S.
> > > Geradengleichung g(AB):
> > > [mm]g(AB):\vec{x}= \vektor{6\\0\\0}+ t *\vektor{-6\\6\\0}[/mm]
> > > S liegt auf g, aber es muss auch gelten (nach Skalarprodukt):
> > > [mm]\overrightarrow{CS}[/mm] * [mm]\overrightarrow{CB}[/mm] =
> > > [mm]|\overrightarrow{CS}|[/mm] * [mm]|\overrightarrow{CB}|[/mm] *
> > > [mm]\cos{25,1°}[/mm]
> > > S hat die Koordinaten (6-6t,6t,0).
> > dein Rechenweg würde mich interessieren...
> > .. die wesentlichen Schritte... nicht die
> Riesenrechnung,
> > die m.E. nicht nötig ist.
> >
> Mein Rechenweg:
> Ich habe in die obige Skalarprodukt-Gleichung den Punkt C,
> den Punkt S, den Punkt B und den halben Winkel BCA
> eingesetzt. Das ergab dann:
> [mm]\vektor{6\\0\\-8}[/mm] * [mm]\vektor{6-6t\\6t\\-8}[/mm] = [mm]\cos{25,1°}[/mm] *
> [mm]|\vektor{6\\0\\-8}|[/mm] * [mm]|\vektor{6-6t\\6t\\-8}|[/mm]
> Und nach einigen Umformungen ergab sich dann eine
> quadratische Gleichung...
wie oben schon gesagt, ist das Rechnen mit gerundeten Zahlen nicht die Aufgabe.
Im Abitur würde so etwas zu Punktabzug führen... 
>
>
> > > Die habe ich in die Gleichung eingesetzt und hatte dann
> > > eine ewiglange quadratische Gleichung mit komplizierter
> > > Mitternachtsformel, und kam auf die Lösung t = 0,5.
> > wohl nur gerundet?
> > > Das ist auch logisch, denn CB ist gleichlang wie CA,
> > und
> > > damit ist w gleich der Mittelsenkrechten...
> > das glaube ich so nicht, Nachweis?
> [mm]|\overrightarrow{CB}|[/mm] = [mm]|\vektor{0\\-6\\8}|[/mm] = 10
> [mm]|\overrightarrow{CA}|[/mm] = [mm]|\vektor{-6\\0\\8}|[/mm] = 10
> damit liegt ein gleichschenkliges Dreieck vor, und w ist
> identisch mit der Mittelsenkrechten. S liegt also genau
> zwischen A und B und damit t = 0,5.
Das habe ich inzwischen auch schon nachgerechnet.
> Wäre das Dreieck nicht gleichschenklig, könnte man doch
> auch keine Raute konstruieren - so wie du vorgeschlagen
> hast, sondern nur ein Parallelogramm... ;)
>
> > > (meine
> > > komplizierte Gleichung wäre also gar nicht nötig gewesen,
> > > wenn ich kurz nachgedacht hätte - aber ich liebe ja die
> > > Herausforderungen :D)
> > > Schnittpunkt ist also S(3,3,0).
> > das habe ichauch.
> > > Winkel zwischen AB und SC lässt sich einfach mit dem
> > > Skalarprodukt ausrechnen...
> > >
Willst du nicht mal mit der Idee der Raute und der Einheitsvektoren rechnen?
Gruß informix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 So 26.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Nun gut, den Vektor [mm] \vec{w} [/mm] hat Steffie ja schon ausgerechnet.
Die Geradengleichung von w lautet dann:
w : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\8} [/mm] + t * [mm] \vektor{6\\6\\-16}
[/mm]
und
g(AB) : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{6\\0\\0} [/mm] + r * [mm] \vektor{-6\\6\\0}
[/mm]
Zur Bestimmung des Schnittpunktes S die beiden Geradengleichungen gleichsetzen, das ergibt: r = 0,5 und t = 0,5 => S(3|3|0)
Zufrieden? ;)
Wenn aber w schon gleich der Mittelsenkrechten ist, dann ist es wohl die einfachste Rechnung, einfach den Mittelpunkt zwischen A und B zu bestimmen.
Dadurch, dass w identisch mit der Mittelsenkrechten ist, ist die Bestimmung des Schnittswinkels "trivial" (wie es in der Mathematik doch so schön heisst)...
Viele Grüße,
Markus
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Hallo MarkusF,
> Nun gut, den Vektor [mm]\vec{w}[/mm] hat Steffie ja schon
> ausgerechnet.
> Die Geradengleichung von w lautet dann:
> w : [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{0\\0\\8}[/mm] + t * [mm]\vektor{6\\6\\-16}[/mm]
> und
> [mm] g(AB) : \vec{x} = \vektor{6\\0\\0} + r * \vektor{-6\\6\\0}[/mm]
> Zur Bestimmung des Schnittpunktes S die beiden
> Geradengleichungen gleichsetzen, das ergibt: r = 0,5 und t
> = 0,5 => S(3|3|0)
> Zufrieden? ;)
>
> Wenn aber w schon gleich der Mittelsenkrechten ist, dann
> ist es wohl die einfachste Rechnung, einfach den
> Mittelpunkt zwischen A und B zu bestimmen.
> Dadurch, dass w identisch mit der Mittelsenkrechten ist,
> ist die Bestimmung des Schnittswinkels "trivial" (wie es in
> der Mathematik doch so schön heisst)...
Leider weiß man das zu Beginn der Rechnung noch nicht...
Darum kommt man um diese Rechnung nicht herum.
Gruß informix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:10 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Steffie90 |
Vielen Dank für eure Hilfe, ich bin echt begeistert! Bis zum nächsten Mal (spätestens in einer Woche)...
Gruß Steffie
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Hallo Ihr beiden,
jetzt auf zu Aufgabe 3!
Bitte: wenn Ihr auf eine neue Frage klickt, benutzt den "Zitieren"-Button, um die vorherigen Schritte in die Frage zu kopieren; dann alles Überflüssige löschen und gezielt die nächsten Schritte tun...
Es hat sich bewährt, einen kurzen Kommentar zu schreiben zu dem, was man gerade vorhat - nur um die Übersicht nicht zu verlieren...
Gruß informix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:12 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Steffie90 |
Wir haben Aufgabe 3 schon erfolgreich gelöst!
Danke für die Hilfe!
Gruß Steffie
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