Runder Tisch 12 Plätze < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 So 26.11.2017 | | Autor: | Gregor96 |
| Aufgabe | Aufgabe
(1) Gegeben sei ein runder Tisch mit 12 Plätzen.
(i) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs Personen so anzuordnen, dass stets ein Platz zwischen zwei Personen frei bleibt?
(ii) Wie viele Möglichkeiten gibt es, fünf Personen so anzuordnen, dass stets ein Platz zwischen zwei Personen frei bleibt?
(2) Gegeben sei ein langer Tisch mit 12 benachbarten Plätzen
(i) Wie viele Möglichkeiten gibt es, fünf Personen so anzuordnen, dass stets ein Platz zwischen zwei Personen frei bleibt? |
Das "Probleme des menges"
Dies war der Titel in der Vorlesung zu dieser Aufgabenstellung.
Ich verstehe das nicht recht und kann mir daraus nichts zur Hilfe nehmen.
Ich würde mich freuen wenn ihr dazu Lösungsansätze hättet.
Vielen Dank im Voraus :D
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> (1) Gegeben sei ein runder Tisch mit 12 Plätzen.
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> (i) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs Personen so
> anzuordnen, dass stets ein Platz zwischen zwei Personen
> frei bleibt?
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> (ii) Wie viele Möglichkeiten gibt es, fünf Personen so
> anzuordnen, dass stets ein Platz zwischen zwei Personen
> frei bleibt?
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> (2) Gegeben sei ein langer Tisch mit 12 benachbarten
> Plätzen
>
> (i) Wie viele Möglichkeiten gibt es, fünf Personen so
> anzuordnen, dass stets ein Platz zwischen zwei Personen
> frei bleibt?
> Das "Probleme des menges"
>
> Dies war der Titel in der Vorlesung zu dieser
> Aufgabenstellung.
Der Titel sollte heißen "Problème des ménages".
Für die Bearbeitung ist noch wichtig zu wissen, ob es(an dem
runden Tisch) nur auf die relative Anordnung der Personen
untereinander ankommen soll oder auf ihre Anordnungen
auf (quasi) "nummerierten Plätzen".
Nehmen wir mal die Aufgabe (1)(i) (mit absoluter Platz-
zuweisung für jede Person).
Die 6 beteiligten Personen seien A,B,C,D,E,F.
Dann können wir zunächst der ersten Person A irgendeinen
der 12 Sitzplätze zuweisen: dazu gibt es 12 Möglichkeiten.
Die 5 durch die übrigen 5 Personen zu besetzenden Stühle
sind dann schon festgelegt, und für die Verteilung dieser 5
Personen auf 5 noch freie Plätze gibt es natürlich 5! = 120
Möglichkeiten (Permutationen für 5 Elemente). Insgesamt
kommen wir also auf 12 * 5! Möglichkeiten.
Betrachten wir noch (1)(ii) (mit relativer Betrachtung;
d.h. zwei Anordnungen, von denen die eine durch eine
simple Rotation in die andere übergeht, sollen als identisch
betrachtet werden).
Damit keine der 5 Personen einen unmittelbaren Nachbarn
bekommt, reservieren wir im Folgenden für jede Person
nicht nur den Sitz, auf dem sie Platz nehmen soll, sondern
auch den unmittelbar rechts davon.
Die erste Person (A) darf sich irgendwohin setzen. Erst dann
beginnt die Rechnung. 2 Stühle sind nun besetzt, es bleibt
eine Reihe von 10 Stühlen frei. Diese Reihe muss nun zerlegt
werden in 4 Stuhlpaare (P,P,P,P) und 2 zusätzliche "Lücken" (L,L),
die aus je einem Stuhl bestehen. Nun überlegt man sich zuerst,
auf wie viele Arten diese "Zusatzlücken" zwischen (oder auch
neben) den Stuhlpaaren plaziert werden können.
Weiter kann man dann noch die verbliebenen Personen
(B,C,D,E) auf 4! Arten auf die Stuhlpaare P,P,P,P verteilen.
Durch Multiplikation der bereitgestellten Faktoren kommt
man dann auf die Gesamtzahl der Möglichkeiten.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 So 26.11.2017 | | Autor: | Gregor96 |
Vielen Dank Al-Chwarizmi,
du hast mir wirklich sehr weitergeholfen !
Fällt dir eventuell auch zur Aufgabe 2 etwas ein?
Ansonsten reicht mir deine Antwort auch so vollkommen aus !!
Ich weiß deine Mühe und deine Aufmerksamkeit sehr zu schätzen.
Schönen Abend wünsche ich dir :)
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Hallo Gregor
danke für die freundliche Antwort !
(2) Gegeben sei ein langer Tisch mit 12 benachbarten Plätzen
(ich vermute, dass alle 12 Plätze an einer Längsseite des Tisches
aufgereiht sind, so in der Art einer Stehbar ...)
(i) Wie viele Möglichkeiten gibt es, fünf Personen so anzuordnen, dass
zwischen zwei Personen stets mindestens ein Platz frei bleibt?
Die Lösungsidee wäre exakt dieselbe wie schon in Aufgabe (1), mit
dem kleinen Unterschied, dass der rechts außen Sitzende keinen
freien Platz rechts von sich haben muss.
Also reservieren wir für diesen Gast bloß einen Platz (R), für die
ersten vier aber je zwei (P,P,P,P). Das macht zusammen mal 9
Plätze, also bleiben noch 3 einzelne Lücken-Stühle (L,L,L).
Jetzt lösen wir zunächst die Aufgabe, die man ähnlich in vielen
Schulbüchern findet: Wieviele "Wörter" kann man bilden, welche
aus genau 4 "P", einem "R" und 3 "L" bestehen, wobei aber das
"R" hinter allen "P" des Wortes stehen muss ?
Anschliessend müssen wir noch die 5 Gäste auf die 5 für sie
bestimmten (nun Einzel-) Plätze verteilen.
Beachte dabei, dass das "R" bisher noch für keinen bestimmten
der 5 Gäste reserviert wurde, sondern nur für den "Platz rechts
außen" gedacht war - wobei es zum Schluss durchaus etwa so
aussehen darf:
P L P P P R L L (symbolische Verteilung der P,R,L)
X _ _ X _ X _ X _ X _ _ (X für Sitzplatz, _ für leeren Platz)
B _ _ E _ C _ A _ D _ _ (Sitzplätze durch Personen A,B,C,D,E besetzt)
So, jetzt bleiben nur noch die Rechnungen durchzuführen.
Hinweis für Unterrichtende, die hier reingucken:
Für die Demonstration der Grundidee hinter diesem Lösungsweg
würden sich durchaus solche farbigen Klötzchen eignen, wie man
sie seit Jahrzehnten etwa in Kindergärten und Grundschulen
benützt !
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:29 Mo 27.11.2017 | | Autor: | Chris84 |
Huhu,
Ich habe da 'mal eine Frage zu 1ii):
Wie ist das Wort "stets" zu verstehen? Fuer mich hoert es sich wie "immer" an, was doch bedeuten wuerde "genau ein Platz". Gibt es dann bei 1ii) nicht genau 0 Moeglichkeiten (im Gegensatz zu 1i) )?
Wenn ich einen Tisch mit 12 Sitzen habe (ich nummeriere die Plaetz wie bei einer Uhr) und fuenf Personen, kann man ja beispielsweise eine Person auf 12,2,4,6 und 8 Uhr setzen. Dann sind aber 3 Plaetze zwischen 8 und 12 Uhr frei und eben nicht einer, so dass die Bedingung "stets ein Platz zwischen zwei Personen" nicht erfuellt ist. Und da das ganze Problem rotationssymmetrisch ist, ist es egal, wo man anfaengt.
Oder uebersehe ich hier irgendwas?
Gruss,
Chris
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> Huhu,
> Ich habe da 'mal eine Frage zu 1ii):
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> Wie ist das Wort "stets" zu verstehen? Fuer mich hoert es
> sich wie "immer" an, was doch bedeuten wuerde "genau ein
> Platz". Gibt es dann bei 1ii) nicht genau 0 Moeglichkeiten
> (im Gegensatz zu 1i) )?
>
> Wenn ich einen Tisch mit 12 Sitzen habe (ich nummeriere die
> Plaetz wie bei einer Uhr) und fuenf Personen, kann man ja
> beispielsweise eine Person auf 12,2,4,6 und 8 Uhr setzen.
> Dann sind aber 3 Plaetze zwischen 8 und 12 Uhr frei und
> eben nicht einer, so dass die Bedingung "stets ein Platz
> zwischen zwei Personen" nicht erfuellt ist. Und da das
> ganze Problem rotationssymmetrisch ist, ist es egal, wo man
> anfaengt.
>
>
> Oder uebersehe ich hier irgendwas?
>
> Gruss,
> Chris
Hallo Chris,
ich habe mir beim Lesen der Aufgabe diese Frage auch gestellt,
habe dann (ohne Rückfrage) den Satz so interpretiert:
(ii) Wie viele Möglichkeiten gibt es, fünf Personen so anzuordnen,
dass stets mindestens ein Platz zwischen zwei Personen frei bleibt?
Auf dieser Annahme beruht dann auch mein angegebener Lösungsvorschlag.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Mo 27.11.2017 | | Autor: | Chris84 |
Hallo Al
Dank fuer deine Antwort. Sowas dachte ich mir schon, aber auf jeden Fall haette die Aufgabe praeziser gestellt werden koennen ;)
Gruss,
Chris
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