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| Aufgabe | Wir betrachten die Differentialgleichung y'=f(x,y). Sei f Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante L. Zeigen Sie, dass für ein explizites, m-stufiges Runge-Kutta-Verfahren die Inkrementfunktion [mm] \Phi(x,y,h) [/mm] mit [mm] y_{i+1}=y_{i}+h\Phi(x_{i},y_{i},h) [/mm] Lipschitz-stetig ist. Verifizieren Sie, dass für die Lipschitz-Konstante M von [mm] \Phi [/mm] gilt:
[mm] M=L(\summe_{i=1}^{m}|\alpha_{i}|+hL \summe_{i=1}^{m} \summe_{j=1}^{i-1}|\alpha_{i} \beta_{ij}|+ O(h^{2}))
[/mm]
(Mit O ist das Landausymbol gemeint) |
Nun mein Ansatz:
[mm] \Phi(x,y,h) [/mm] ist lipshitz-stetig, d.h es existiert ein [mm] L_{\Phi}>0, [/mm] s.d: [mm] |\Phi(x,y,h)-\Phi(x,\hat y,h)|\le L_{\Phi}|y- \hat y| [/mm]
und dann hört es auch schon auf.
Nun L ist Lischitz-Konstante von f und M ist Lipschitz-Konstante von [mm] \Phi, [/mm] die [mm] \alpha_{i} [/mm] und [mm] \beta_{i} [/mm] repräsentieren die Koeffizienten im Butcher-Tableau?
Und ich habe überhaupt keine Idee, was ich tun muss.
Es wäre toll, wenn mir jemand die Schritte, die ich durchführen muss, erklären könnte. Ich bin schon so lange an dieser Aufgabe dran.
Vielen Dank und mfg... :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:36 So 07.10.2012 | | Autor: | unibasel |
Hat niemand eine Idee? :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 08.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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