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Forum "Differentialgleichungen" - Runge- Kutta Verfahren
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Runge- Kutta Verfahren: Aufgabenhilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Do 15.04.2010
Autor: Ultio

Hallo,
ich habe da mal eine Frage, wäre schön wenn mir die bitte jemand beantworten kann:
Also ich habe ein Anfangswertproblem das sieht folgendermaßen aus:
[mm] y_{n+1}(t) [/mm] = [mm] y_0 [/mm] + [mm] \integral_{0}^{x}{f(t,y(t)) dt} [/mm]
wobei f(t, y(t)) = [mm] \bruch{1}{1+t^{2}} [/mm]
also
[mm] y_{n+1}(t) [/mm] = [mm] y_0 [/mm] + [mm] \integral_{0}^{x}{\bruch{1}{1+t^{2}} dt} [/mm]

so nun soll ich das klassische Runge Kutta Verfahren anwenden:

[mm] K_1 [/mm] = [mm] f(t_n, y_n) [/mm]
[mm] K_2 [/mm] = [mm] f(t_n [/mm] + h/2, [mm] y_n+h/2 [/mm] k1)
[mm] K_3 [/mm] = [mm] f(t_n [/mm] + h/2, [mm] y_n+h/2 [/mm] k2)
[mm] K_4 [/mm] = [mm] f(t_n [/mm] + h/2, [mm] y_n+h/2 [/mm] k3)

[mm] Y_n+1 [/mm] = [mm] y_n [/mm] + h/6 (k1 + 2k2+ 2k3 + k4)

Meine Frage ist nun, ob folgende Gleichungen richtig sind?

[mm] k_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+t_{n}^{2}} [/mm]

[mm] k_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+(t_{n}+h/2)^{2}} [/mm] + h/2 [mm] \bruch{1}{1+t_{n}^{2}} [/mm]

[mm] k_3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+(t_{n}+h/2)^{2}} [/mm] + h/2 [mm] \bruch{1}{1+(t_{n}+ h/2)^{2}} [/mm] + [mm] h^{2}/4 \bruch{1}{1+t_{n}^{2}} [/mm]

[mm] k_4 [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+(t_{n}+h)^{2}} [/mm] + h/2 [mm] \bruch{1}{1+(t_{n}+ h/2)^{2}} [/mm] +   [mm] h^{2}/4 \bruch{1}{1+(t_{n}+ h/2)^{2}} [/mm] +  [mm] h^{3}/8 \bruch{1}{1+t_{n}^{2}} [/mm]

naja und dann einsetzen, aber dies muss ja ersteinmal richtig formuliert werden.
Vielen dank im Voraus!
Gruß
Felix


        
Bezug
Runge- Kutta Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:58 Do 15.04.2010
Autor: MathePower

Hallo Ultio,

> Hallo,
>  ich habe da mal eine Frage, wäre schön wenn mir die
> bitte jemand beantworten kann:
>  Also ich habe ein Anfangswertproblem das sieht
> folgendermaßen aus:
>  [mm]y_{n+1}(t)[/mm] = [mm]y_0[/mm] + [mm]\integral_{0}^{x}{f(t,y(t)) dt}[/mm]
>  wobei
> f(t, y(t)) = [mm]\bruch{1}{1+t^{2}}[/mm]
>  also
>  [mm]y_{n+1}(t)[/mm] = [mm]y_0[/mm] + [mm]\integral_{0}^{x}{\bruch{1}{1+t^{2}} dt}[/mm]
>  
> so nun soll ich das klassische Runge Kutta Verfahren
> anwenden:
>  
> [mm]K_1[/mm] = [mm]f(t_n, y_n)[/mm]
>  [mm]K_2[/mm] = [mm]f(t_n[/mm] + h/2, [mm]y_n+h/2[/mm] k1)
>  [mm]K_3[/mm] = [mm]f(t_n[/mm] + h/2, [mm]y_n+h/2[/mm] k2)
>  [mm]K_4[/mm] = [mm]f(t_n[/mm] + h/2, [mm]y_n+h/2[/mm] k3)
>  
> [mm]Y_n+1[/mm] = [mm]y_n[/mm] + h/6 (k1 + 2k2+ 2k3 + k4)
>  
> Meine Frage ist nun, ob folgende Gleichungen richtig sind?
>
> [mm]k_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{1+t_{n}^{2}}[/mm]
>  
> [mm]k_2[/mm] = [mm]\bruch{1}{1+(t_{n}+h/2)^{2}}[/mm] + h/2
> [mm]\bruch{1}{1+t_{n}^{2}}[/mm]
>  
> [mm]k_3[/mm] = [mm]\bruch{1}{1+(t_{n}+h/2)^{2}}[/mm] + h/2
> [mm]\bruch{1}{1+(t_{n}+ h/2)^{2}}[/mm] + [mm]h^{2}/4 \bruch{1}{1+t_{n}^{2}}[/mm]
>  
> [mm]k_4[/mm] = [mm]\bruch{1}{1+(t_{n}+h)^{2}}[/mm] + h/2 [mm]\bruch{1}{1+(t_{n}+ h/2)^{2}}[/mm]
> +   [mm]h^{2}/4 \bruch{1}{1+(t_{n}+ h/2)^{2}}[/mm] +  [mm]h^{3}/8 \bruch{1}{1+t_{n}^{2}}[/mm]


Da f nicht von y abhängt, ist  hier nur der erste Summand zu  berücksichtigen.

Demnach:

[mm]k_{1} = \bruch{1}{1+t_{n}^{2}}[/mm]
  
[mm]k_{2} = \bruch{1}{1+(t_{n}+h/2)^{2}}[/mm]

[mm]k_{3} = \bruch{1}{1+(t_{n}+h/2)^{2}}[/mm]

[mm]k_{4} = \bruch{1}{1+(t_{n}+h)^{2}}[/mm]


>  
> naja und dann einsetzen, aber dies muss ja ersteinmal
> richtig formuliert werden.
>  Vielen dank im Voraus!
>  Gruß
>  Felix
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Runge- Kutta Verfahren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:05 Do 15.04.2010
Autor: Ultio

Dankeschön.
Gruß
Felix

Bezug
                
Bezug
Runge- Kutta Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:43 Fr 16.04.2010
Autor: Ultio

Hi,
und was muss ich machen wenn ich zum Beispiel
y' = x+y
also f(t,y(t)) = x+y habe wie sehen dabei [mm] k_1 [/mm] und [mm] k_2 [/mm] aus?
Danke schon mal.
Gruß
Felix

Bezug
                        
Bezug
Runge- Kutta Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:13 Fr 16.04.2010
Autor: MathePower

Hallo Ultio,

> Hi,
>  und was muss ich machen wenn ich zum Beispiel
>  y' = x+y
>  also f(t,y(t)) = x+y habe wie sehen dabei [mm]k_1[/mm] und [mm]k_2[/mm]
> aus?


[mm]k_{1}=t_{n}+y_{n}[/mm]

[mm]k_{2}=\left(t_{n}+\bruch{h}{2}\right)+\left(y_{n}+\bruch{h}{2}k_{1}\right)=\left(t_{n}+\bruch{h}{2}\right)+\left(y_{n}+\bruch{h}{2} \ \left(t_{n}+y_{n}\right) \ \right)[/mm]

[mm]=\bruch{h}{2}+\left(1+\bruch{h}{2}\right)*t_{n}+\left(1+\bruch{h}{2}\right)*y_{n}[/mm]


>  Danke schon mal.
>  Gruß
>  Felix


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Runge- Kutta Verfahren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:37 So 18.04.2010
Autor: Ultio

Danke danke danke, du weißt gar nicht wie sehr du mir damit geholfen hast.
Gruß

Bezug
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