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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:55 Di 06.11.2007 | | Autor: | Franzie |
| Aufgabe | Gegeben sei für x [mm] \in [/mm] [-1,1] die Runge- Funktion f(x)= [mm] \bruch{1}{1+25*x^{2}} [/mm] und Gitterpunkte [mm] x_{0}=-1< x_{1}
Man zeige [mm] \overline{\limes_{N\rightarrow\infty}}\bruch{1}{(N+1)!}max|f^{(N+1}(psi)max |\produkt_{j=0}^{N}(x-x_{i})| \to \infty
[/mm]
(x aus [-1,1] und psi aus (-1,1) |
Hallo alle miteinander!
Hab nochmal eine Frage zu obiger Aufgabe. Den Teil mit dem Produkt kann man doch mit Tschebyscheff abschätzen, denn wir haben in der Übung gezeigt, dass diese [mm] \ge 2^{-n} [/mm] sind. Dann hab ich mir den Teil mit den Ableitungen angeschaut. Die geraden Ableitungen laufen dabei Richtung unendlich (habe dabei als Zwischenstelle psi=0 eingesetzt. Kann man das überhaupt so machen?). Dann bleibt ja nur noch der lim superior ganz am Anfang und der müsste doch eigentlich 1 sein für N=0. Liege ich hier komplett falsch mit meinen Vermutungen?
liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Mi 07.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Schau dir nochmal genau die Aufgabe mit dem Tschebbyscheff-Polynom an.
Das Produkt geht dabei nicht gegen [mm] 2^{-n}, [/mm] sondern das Maximum des Polynoms ist größer als [mm] 2^{-n}. [/mm] In der Übungsaufgabe waren [mm] x_{i} [/mm] Nullstellen, aber in diesem Fall sind das Stützstellen.
Ich würde nicht sagen dass uns Tschebbyscheff hier weiter hilft.
Ich kann dir nur einen Hinweis zum 1. Teil geben, weil ich glaube ich habe diesen raus.
Entwickle f(x) in Entwicklungsstelle 0 mit Taylor und stelle nach dem Restglied um. Die 1. Ableitung in x=0 der Rungefunktion ist übrigens 0, alle anderen 50 (hab ich zumindest durch etwas probieren raus).
Ich komme dann auf:
[mm] \bruch{1}{(N+1)!}max_{\xi\in[-1,1]}|f^{(N+1)}(\xi)|=max_{x\in[-1,1]}|x^{-(n+1)}(f(x)-1+50\summe_{k=2}^{N}\bruch{x^k}{k!})|
[/mm]
Die Summe hab ich jetzt noch so ergänzt, dass ich auf die exp-Funktion gekommen bin, jedenfalls wird alles in der Klammer endlich und [mm] x^{-(n+1)}\rightarrow\infty [/mm] für [mm] x\rightarrow0.
[/mm]
Somit ist der 1. Teil schonmal unendlich.
Aber bei dem Produkt weiß ich auch nicht weiter.
Gruß
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Franzie |
Aber unser Übungsleiter hat uns extra nochmal auf den Tschebyscheff und die zugehörige Übungsaufgabe hingewiesen, deswegen dachte ich eigentlich schon, dass man das mit einbeziehen muss. Das hat ja im Prinzip auch nicht mehr so viel Einfluss auf den Rest, wenn dieser schon gegen unendlich geht.Ich komme auch nur bei der 2. Ableitung auf 50, jede andere gerade Ableitung wird immer größer an der Stelle 0.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Mi 07.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Ich habs nur mal in Mathematica eingegeben und da kommt immer ne 50 raus.
Ich versuche mal eine Rekursionsformel für die Ableitungen aufzustellen.
Aber das wird heute nix mehr.
Ich poste es, sobald ich was habe.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Do 08.11.2007 | | Autor: | AlbertF. |
Wieso wird der Limes superior am Anfang nicht 0 ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Sa 10.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Ich hab jetzt mal ein bisschen gerechnet und bin jetzt so weit gekommen:
um das [mm] \bruch{1}{N+1}max|f^{(N+1)}(\xi)| [/mm] abzuschätzen entwickelt man mal f nach Taylor an der Stelle 0.
Dazu die Ableitungen:
[mm] f'(x)=-\bruch{50x}{1+25x^2}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{5000x^2}{(1+25x^2)^3}-\bruch{50}{(1+25x^2)^2}=\bruch{5000x^2}{(1+28x^2)^3}+f'(x)
[/mm]
Damit ergibt sich für die k-te Ableitung eine Form
[mm] f^{(k)}=A_{k}-\bruch{50}{(1+25x^2)^2}
[/mm]
Außerdem ist für x=0 [mm] A_{k}=0 [/mm] für k>2, da im Zähler immer ein Polynom steht, wo kein Absolutglied drin vorkommt.
Also nach Taylor entwickelt:
[mm] f(x)=1+\summe_{k=2}^{N}\bruch{x^k}{k!}*f^{(k)}(0)+R_{N+1}(\xi)
[/mm]
Das ganze nach R umstellen
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{1}{N+1}f^{(N+1)}(\xi)=\bruch{1}{x^(N+1)}(f(x)-1-50(\summe_{k=0}^{N}\bruch{x^k}{k!}-1-x)
[/mm]
Ich hab sozusagen die Summe etwas ergänzt, so dass ich dann für [mm] N\rightarrow\infty [/mm] die Exponentialreihe dastehen habe.
Den Grenzwert konnte ich leider nicht berechnen.
Ich hab es nur mit Mathematica begründet (was ja eigentlich in der Numerik erlaubt sein sollte).
Das ganze wird [mm] \infty.
[/mm]
Jetzt bin ich an der Stelle, wo ich
[mm] max|\produkt_{j=0}^{N}(x-x_j)| [/mm] ermitteln muss.
Dafür habe ich aber absolut keine Idee.
Wenn jemand eine hat, bitte posten.
Gruß
Max
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Die Aufgabe bewegt sich doch nur im Intervall [-1,1].
Dann wäre doch [mm] x-x_{j} [/mm] doch im Höchstfall =2, nämlich wenn x=1 und die Stützstelle [mm] x_{j}=-1 [/mm] betrachtet werden.
Dadurch kann man abschätzen:
[mm] \produkt_{j=0}^{N}(x-x_{j}) \le 2^{N+1}
[/mm]
Oder hab ich einen Fehler?
Edit: Das war eine doofe Idee. Man braucht für Grenzwert gegen [mm] \infty [/mm] keine Abschätzung nach oben sondern eine nach unten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 So 11.11.2007 | | Autor: | penny_lane |
nur so als frage
f´(x) [mm] \not= \bruch{50}{(1+25x^2)^2}
[/mm]
ist das beabsichtigt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Mo 12.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Ja das ist beabsichtigt. So wird f'(0)=0
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Mo 12.11.2007 | | Autor: | sunmysky |
Bist du sicher,dass das so sein muß? Warum denn?
Kannst du dir mal deine 2.Ableitung ansehen?Ich glaub,da ist ein Fehler im Nenner drin...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mo 12.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Ich hab das eigentlich mit Mathematica nachgeprüft und das stimmt eigentlich alles so, wie ich das hingeschrieben hab.
In der 2. ist nur ein kleiner Fehler.
Statt f''(x)=...+f'(x) soll es heißen
[mm] f''(x)=...+\bruch{f'(x)}{x}
[/mm]
Meintest du das?
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Ja genau! Achso und statt 28 müsste meiner Meinung nach 25 bei f(x) im Nenner stehen.
Kannst du mir erklären,warum es diese Eigenschaft für die erste Ableitung gibt?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:22 Mi 14.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Ich hab mich geirrt mit den Ableitungen.
Hab in Mathematica vergessen die Klammern drumzumachen.
Kann vielleicht noch irgendjemand auf die Schnelle weiterhelfen?
Ich hab jetzt wieder gar nix und morgen ist Abgabetermin.
Gruß
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Fr 16.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:29 Mi 14.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 13.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Mi 14.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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