Runge Kutta 2.O < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Mo 16.11.2009 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Lösen Sie die Differenzialgleichung $y'=1-t+4y$ mit $y(0)=1$ näherungsweise mit dem Runge-Kutta Verfahren 2. Ordnung. Wählen Sie als Schrittweite h=0.1 und berechnen sie y(0.3). |
Hi,
das Runge Kutta 2.O verläuft ja ähnlich wie das Eulerverfahren, nur eben dass man noch ein rechtes y' hat. Wie finde ich dieses heraus?
bei diesem Beispiel wäre ja:
[mm] $t_{1}= [/mm] 0$ , $y(t)=1$, $y'(links)=y'(t)*h=0.1$, $y'(rechts)=???$, Mittelwert
Wie rechne ich also y'(rechts) aus und wie gelangt man durch die Zahl die man ja schlussendlich erhält bei der numerischen Integration auf die Lösung der Differentialgleichung ?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mo 16.11.2009 | | Autor: | kushkush |
Rechnet man den rechten Punkt indem man rechnet
$y'(t)+y'(t) [mm] \cdot [/mm] h$
also insgesamt
[mm] $y_{t+1}=y(t)+ \frac{y'(t)+y'(t)+y'(t)\cdot h}{2} \cdot [/mm] h$ ?
Danke
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Hallo kushkush,
> Rechnet man den rechten Punkt indem man rechnet
>
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> [mm]y'(t)+y'(t) \cdot h[/mm]
>
Hier muß doch stehen:
[mm]y'(t)+y'\red{'}(t) \cdot h[/mm]
>
> also insgesamt
>
>
> [mm]y_{t+1}=y(t)+ \frac{y'(t)+y'(t)+y'(t)\cdot h}{2} \cdot h[/mm] ?
>
>
>
> Danke
Gruss
MathePower
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Hallo kushkush,
> Lösen Sie die Differenzialgleichung [mm]y'=1-t+4y[/mm] mit [mm]y(0)=1[/mm]
> näherungsweise mit dem Runge-Kutta Verfahren 2. Ordnung.
> Wählen Sie als Schrittweite h=0.1 und berechnen sie
> y(0.3).
> Hi,
>
>
> das Runge Kutta 2.O verläuft ja ähnlich wie das
> Eulerverfahren, nur eben dass man noch ein rechtes y' hat.
> Wie finde ich dieses heraus?
>
> bei diesem Beispiel wäre ja:
>
> [mm]t_{1}= 0[/mm] , [mm]y(t)=1[/mm], [mm]y'(links)=y'(t)*h=0.1[/mm], [mm]y'(rechts)=???[/mm],
> Mittelwert
>
>
> Wie rechne ich also y'(rechts) aus und wie gelangt man
> durch die Zahl die man ja schlussendlich erhält bei der
> numerischen Integration auf die Lösung der
> Differentialgleichung ?
>
Ich denke, die Ableitung an der rechten Stelle ersetzt man wieder
durch das lineare Taylorpolynom um y'(links)
Dann ist
[mm]y'\left(\operatorname{rechts}\right) \approx y'\left(\operatorname{links}\right) + h* y''\left(\operatorname{links}\right)[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und
> bin für jede Antwort dankbar.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mo 16.11.2009 | | Autor: | kushkush |
Hi,
ich kann aus deiner Antwort nicht herauslesen, wie ich konkret vorgehen sollte... ich habe diese Formel gefunden:
[mm] $y_{t_{i+1}} [/mm] = [mm] y(t_{i}) [/mm] + [mm] \frac{f(t_{i},y(t_{i}))+f(t_{i+1},y(t_{i})+f(t_{i},y(t_{i})) \cdot h)}{2} \cdot [/mm] h$
und dazu diesen Text:
"Man rechnet also zuerst einen normalen Euler-Schritt [mm] $y(t_{i})$ [/mm] + [mm] $f(t_{i}$, $y(t_{i})) \cdot [/mm] h$ und braucht das Ergebnis, um die Tangentensteigung am rechten Rand des aktuellen Intervalls zu berechnen. Anschliessend wird der Mittelwert der beiden Tangentensteigungen gebildet und ein zweiter (verbesserter) Eulerschritt ausgeführt."
ich habe versucht konkret einzusetzen und $v(0.3)$ für die Gleichung $v'(t)=10-0.8v(t)$ die numerische Gleichung durch RK 2 zu ermitteln...
[mm] $x_{0}=0; v_{0}=0; [/mm] v'(x)=10; [mm] v'\cdot [/mm] h = 1; EULERPUNKT: 0+1= 1$
wie ermittle ich den rechten Punkt also in meinem Fall?
danke
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Hallo kushkush,
> Hi,
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>
> ich kann aus deiner Antwort nicht herauslesen, wie ich
> konkret vorgehen sollte... ich habe diese Formel gefunden:
>
> [mm]y_{t_{i+1}} = y(t_{i}) + \frac{f(t_{i},y(t_{i}))+f(t_{i+1},y(t_{i})+f(t_{i},y(t_{i})) \cdot h)}{2} \cdot h[/mm]
>
> und dazu diesen Text:
>
> "Man rechnet also zuerst einen normalen Euler-Schritt
> [mm]y(t_{i})[/mm] + [mm]f(t_{i}[/mm], [mm]y(t_{i})) \cdot h[/mm] und braucht das
> Ergebnis, um die Tangentensteigung am rechten Rand des
> aktuellen Intervalls zu berechnen. Anschliessend wird der
> Mittelwert der beiden Tangentensteigungen gebildet und ein
> zweiter (verbesserter) Eulerschritt ausgeführt."
>
> ich habe versucht konkret einzusetzen und [mm]v(0.3)[/mm] für die
> Gleichung [mm]v'(t)=10-0.8v(t)[/mm] die numerische Gleichung durch
> RK 2 zu ermitteln...
>
> [mm]x_{0}=0; v_{0}=0; v'(x)=10; v'\cdot h = 1; EULERPUNKT: 0+1= 1[/mm]
>
> wie ermittle ich den rechten Punkt also in meinem Fall?
>
Berechne zunächst
[mm]k_{1}:=f\left(x_{n},v_{n}\right)[/mm]
[mm]k_{2}:=f\left(\ x_{n}+h, \ v_{n}+h*k_{1} \ \right)[/mm]
Dann ist
[mm]v_{n+1}=v_{n}+\bruch{1}{2}*\left(k_{1}+k_{2}\right)*h[/mm]
[mm]x_{n+1}=x_{n}+h[/mm]
>
>
> danke
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:59 So 20.12.2009 | | Autor: | kushkush |
Danke Mathepower!
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