matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-SonstigesRunge Kutta Verfahren
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Uni-Sonstiges" - Runge Kutta Verfahren
Runge Kutta Verfahren < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Runge Kutta Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Mi 08.09.2021
Autor: Leon33

Aufgabe
Hallo alle zusammen

Hier die Aufgabe:

Gegeben sei folgendes Butcher Tableau

7/10.  7/10

        1

Wusste nicht wie ich anders die Tabelle darstellen soll

i) Wie lautet die Verfahrensvorschrift des zugehörigen impliziten Runge Kutta Verfahrens für das allgemeine Problem
y`(t) = f(t,y(t)) um eine Näherung [latex] [mm] u_{j+1} [/mm] [/latex]

an[latex] [mm] y(t_{j+1}) [/mm] [/latex] von [mm] u_j [/mm] ungefähr [mm] j(t_j) [/mm] aus zu berechnen ?

ii) Es sei das Anfangswertproblem

y`(t) = sin(t) *y(t) , y(pi) = 2

gegeben . Berechnen sie unter Verwendung des durch das Butcher Tableau gegebenen Runge Kutta Verfahrens für die Schrittweite h = pi/4  eine Näherung an[latex] y(3/2*pi) [/latex]

iii) Berechnen sie den Fehler zur exakten Lösung  y(3/2*pi) = - 2/e
Hinweis :
Die hier berechnete Näherung muss nicht unbedingt eine gute sein


Habt ihr tipps wie ich bei der i) vorgehen soll?

Habe die frage nicht gestellt .

        
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:18 Do 09.09.2021
Autor: meili

Hallo Leon33,

> Hallo alle zusammen
>
> Hier die Aufgabe:
>  
> Gegeben sei folgendes Butcher Tableau
>  
> 7/10.  7/10
>  
> 1
>  
> Wusste nicht wie ich anders die Tabelle darstellen soll
>  
> i) Wie lautet die Verfahrensvorschrift des zugehörigen
> impliziten Runge Kutta Verfahrens für das allgemeine
> Problem
> y'(t) = f(t,y(t)) um eine Näherung [latex] [mm]u_{j+1}[/mm]
> [/latex]
>  
> an[latex] [mm]y(t_{j+1})[/mm] [/latex] von [mm]u_j[/mm] ungefähr [mm]j(t_j)[/mm] aus
> zu berechnen ?
>  
> ii) Es sei das Anfangswertproblem
>
> y'(t) = sin(t) *y(t) , y(pi) = 2
>  
> gegeben . Berechnen sie unter Verwendung des durch das
> Butcher Tableau gegebenen Runge Kutta Verfahrens für die
> Schrittweite h = pi/4  eine Näherung an[latex] y(3/2*pi)
> [/latex]
>  
> iii) Berechnen sie den Fehler zur exakten Lösung  
> y(3/2*pi) = - 2/e
>  Hinweis :
>  Die hier berechnete Näherung muss nicht unbedingt eine
> gute sein
>
>
> Habt ihr tipps wie ich bei der i) vorgehen soll?

Die Definition der Runge-Kutta-Verfahren heraussuchen.
Da findet sich dann hoffentlich auch eine Verfahrensvorschrift bzw.
verschiedene Teile, die zu einer  Verfahrensvorschrift zusammengebaut
werden können.

Mit den Bezeichnungen aus der Aufgabe:
[mm] $u_{j+1} [/mm] = [mm] u_j [/mm] + h [mm] \summe_{n=1}^{s} b_n k_n$ [/mm]
[mm] $k_i [/mm] = f  [mm] \left(t_j +h c_i, u_j + h \summe_{l=1}^{s} a_{il}k_l \right) \quad [/mm] i=1 , [mm] \ldots [/mm] , s$

Wenn ich deine Butcher-Tabelle richtig interpretiere,
ist $c = [mm] c_1 [/mm] = [mm] \bruch{7}{10}, [/mm] A = [mm] a_{1,1} [/mm] = [mm] \bruch{7}{10}, [/mm] b = [mm] b_1 [/mm] = 1$ für ein 1-stufiges, implizites Runge-Kutta-Verfahren (s=1).

>  Habe die frage nicht gestellt .

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Berechnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:05 Do 09.09.2021
Autor: Leon33

Aufgabe
[latex] [mm] u_{j+1} [/mm] = [mm] u_j +h*b_1*k_1 [/mm] [/latex]

[latex] [mm] u_{j+1} [/mm] = [mm] u_j +h*k_1 [/mm] [/latex]


Ich hoffe das ich es korrekt angewendet hab.

[latex] [mm] k_{1} [/mm] = [mm] (t_j [/mm] +h*7/10; [mm] u_{j} [/mm] +h*7/10* [mm] k_1) [/mm] [/latex]




Hast du auch tipps für die ii) ?

Bezug
                        
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:33 Do 09.09.2021
Autor: fred97


> [latex] [mm]u_{j+1}[/mm] = [mm]u_j +h*b_1*k_1[/mm] [/latex]

Das stimmt.

>  
> [latex] [mm]u_{j+1}[/mm] = [mm]u_j +h*k_1[/mm] [/latex]

Auch das stimmt, denn [mm] b_1=1. [/mm]

>  
>
> Ich hoffe das ich es korrekt angewendet hab.
>  
> [latex] [mm]k_{1}[/mm] = [mm](t_j[/mm] +h*7/10; [mm]u_{j}[/mm] +h*7/10* [mm]k_1)[/mm] [/latex]

Das stimmt nicht. Du hast die Funktion f verschlampert !

Richtig ist

     [mm] $k_1=f(t_j+ \frac{7}{10}h, u_j+\frac{7}{10}hk_1)$ [/mm]

>  
>
>
> Hast du auch tipps für die ii) ?

Hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Runge-Kutta-Verfahren

findest Du alles.


Bezug
                                
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:42 Do 09.09.2021
Autor: Leon33

Den Artikel habe ich bereits vor dem posten der Frage schon gelesen ,aber richtig schlau bin ich davon nicht genommen :)

Kann jemand so einen kleinen Schritt geben bitte ?

Bezug
                                        
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:30 Fr 10.09.2021
Autor: meili

Hallo Leon33,

Tipps für ii):

$f(t, y(t)) = sin(t)*y(t)$

$h =  [mm] \bruch{\pi}{4}$ [/mm]

[mm] $t_0 [/mm] = [mm] \pi$ [/mm]
[mm] $t_1 [/mm] = [mm] t_0 [/mm] + h = [mm] \pi [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{4}$ [/mm]
[mm] $t_2 [/mm] = [mm] t_0 [/mm] + 2*h = [mm] \bruch{3}{2}*\pi$ [/mm]

[mm] $u_0 [/mm] = [mm] y(t_0) [/mm] = [mm] y(\pi) [/mm] = 2$
[mm] $u_2$ [/mm] ist die gesuchte Näherung an $y( [mm] \bruch{3}{2}*\pi [/mm] )$

In [mm] $k_1 [/mm] = [mm] f(t_j [/mm] + [mm] \bruch{7}{10}*h, u_j [/mm] +  [mm] \bruch{7}{10}*h*k_1)$ [/mm]  
für j=0  alles einsetzen und danach nach [mm] $k_1$ [/mm] auflösen.
Dann kann man für den ersten Schritt [mm] $u_1 [/mm] = [mm] u_0 [/mm] +  [mm] \bruch{\pi}{4}*k_1$ [/mm]
berechnen.
Das gleiche nochmal für j=1, wieder [mm] $k_1$ [/mm] berechnen und dann [mm] $u_2$. [/mm]


Gruß
meili

Bezug
                                                
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Sa 11.09.2021
Autor: Leon33

f(t,y(t)) = sin(t)*y(t)

f(t,y(t)) = sin( 47pi/40 ) *y( (80+7pi)/40 *k1)

wie soll ich die Gleichung nach k1 auflösen ?


k1 = sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 ) * ( [mm] u_j [/mm]  + h* 7/10 * [mm] k_1 [/mm] )



Bezug
                                                        
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:40 Sa 11.09.2021
Autor: meili

Hallo Leon33,

> f(t,y(t)) = sin(t)*y(t)
>  
> f(t,y(t)) = sin( 47pi/40 ) *y( (80+7pi)/40 *k1)
>  
> wie soll ich die Gleichung nach k1 auflösen ?
>  

Wie löst man Gleichungen?
Mit Äquivalenz- und Termumformungen.

>
> k1 = sin( [mm]t_j[/mm]  + h* 7/10 ) * ( [mm]u_j[/mm]  + h* 7/10 * [mm]k_1[/mm] )

ausmultiplizieren (ausserdem habe ich die Faktoren vertauscht):
$ [mm] k_1 [/mm] = [mm] u_j [/mm] * sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 )   +( h* 7/10 * [mm] k_1 [/mm] ) * sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 )$  

Äquivalenzumformung $| -( h* 7/10 * [mm] k_1 [/mm] ) * sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 )$:
$ [mm] k_1 [/mm]  -( h* 7/10 * [mm] k_1 [/mm] ) * sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 ) =  [mm] u_j [/mm] * sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 )$

[mm] $k_1$ [/mm] ausklammern:
[mm] $k_1*(1 [/mm] -  h* 7/10  * sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 ) ) =  [mm] u_j [/mm] *sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 )$

Vorausgesetzt oder besser nachgeprüft, dass $1 -  h* 7/10  * sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 ) [mm] \not= [/mm] 0$, dann  $| :  1 -  h* 7/10  * sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 )$:

[mm] $k_1 [/mm] = [mm] \bruch{ u_j * sin( t_j + h* 7/10 )}{ 1 - h* 7/10 * sin( t_j + h* 7/10 )}$ [/mm]

>  
>  

Gruß
meili

Bezug
                                                                
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:56 Sa 11.09.2021
Autor: Leon33


> Hallo Leon33,
>  
> > f(t,y(t)) = sin(t)*y(t)
>  >  
> > f(t,y(t)) = sin( 47pi/40 ) *y( (80+7pi)/40 *k1)
>  >  
> > wie soll ich die Gleichung nach k1 auflösen ?
>  >  
> Wie löst man Gleichungen?
>  Mit Äquivalenz- und Termumformungen.
>  >

> > k1 = sin( [mm]t_j[/mm]  + h* 7/10 ) * ( [mm]u_j[/mm]  + h* 7/10 * [mm]k_1[/mm] )
>  
> ausmultiplizieren (ausserdem habe ich die Faktoren
> vertauscht):
>  [mm]k_1 = u_j * sin( t_j + h* 7/10 ) +( h* 7/10 * k_1 ) * sin( t_j + h* 7/10 )[/mm]
>  
>
> Äquivalenzumformung [mm]| -( h* 7/10 * k_1 ) * sin( t_j + h* 7/10 )[/mm]:
>  
> [mm]k_1 -( h* 7/10 * k_1 ) * sin( t_j + h* 7/10 ) = u_j * sin( t_j + h* 7/10 )[/mm]
>  
> [mm]k_1[/mm] ausklammern:
>  [mm]k_1*(1 - h* 7/10 * sin( t_j + h* 7/10 ) ) = u_j *sin( t_j + h* 7/10 )[/mm]
>  
> Vorausgesetzt oder besser nachgeprüft, dass [mm]1 - h* 7/10 * sin( t_j + h* 7/10 ) \not= 0[/mm],
> dann  [mm]| : 1 - h* 7/10 * sin( t_j + h* 7/10 )[/mm]:
>  
> [mm]k_1 = \bruch{ u_j * sin( t_j + h* 7/10 )}{ 1 - h* 7/10 * sin( t_j + h* 7/10 )}[/mm]
>  
> >  

> >  

> Gruß
>  meili

ausmultiplizieren (ausserdem habe ich die Faktoren

> vertauscht):
>  [mm]k_1 = u_j * sin( t_j + h* 7/10 ) +( h* 7/10 * k_1 ) * sin( t_j + h* 7/10 )[/mm]

Wie multiplizierst du das genau aus ,das du dazu kommst ?
Ich komme net darauf :)


Bezug
                                                                        
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:35 So 12.09.2021
Autor: meili

Hallo Leon33,

>
> ausmultiplizieren (ausserdem habe ich die Faktoren
> > vertauscht):
>  >  [mm]k_1 = u_j * sin( t_j + h* 7/10 ) +( h* 7/10 * k_1 ) * sin( t_j + h* 7/10 )[/mm]
>
> Wie multiplizierst du das genau aus ,das du dazu kommst ?
>  Ich komme net darauf :)

Mit Distributivgesetz: $a*(b+c) = a*b+a+c$.

Dabei ist:
$a= sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 )$
$b= [mm] u_j$ [/mm]
$c=  h* 7/10 * [mm] k_1$ [/mm]

Dann habe ich aber ohne Zwischenschritt auch gleich das
Kommutativgesetz der Multiplikation angewendet:
$a*b+a*c = b*a + c*a$

>  

Gruß
meili

Bezug
                                
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:07 Do 09.09.2021
Autor: Leon33

sin( [mm] t_j [/mm] + h* 7/10 ) ( [mm] u_j [/mm] + h * 7/10 *k1 )

sin ( pi + pi/4 * 7/10) ( 2 + pi/4 * 7/10 [mm] *k_1) [/mm]

sin ( 47pi/40 ) *( 2 +  [mm] 7pi/40*k_1 [/mm] )

sin ( 47pi/40 ) *( [mm] (80+7pi)/40*k_1 [/mm] )

sin( [mm] t_1 [/mm] + h* 7/10 ) ( [mm] u_1 [/mm] + h * 7/10 *k1 )

Was setze ich für [mm] t_1 [/mm] und [mm] u_1 [/mm] ein?

Bezug
                                        
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:40 Fr 10.09.2021
Autor: meili

Hallo Leon33,

> sin( [mm]t_j[/mm] + h* 7/10 ) ( [mm]u_j[/mm] + h * 7/10 *k1 )

Es fehlt: [mm] $k_1 [/mm] = [mm] \sin \ldots [/mm] $

>  
> sin ( pi + pi/4 * 7/10) ( 2 + pi/4 * 7/10 [mm]*k_1)[/mm]

Dies ist als rechte Seite für j=0 der Gleichung ok, aber linke Seite der Gleichung [mm] $k_1$ [/mm] fehlt.

Vergleiche dazu Post zu vorheriger Frage.

>  
> sin ( 47pi/40 ) *( 2 +  [mm]7pi/40*k_1[/mm] )
>  
> sin ( 47pi/40 ) *( [mm](80+7pi)/40*k_1[/mm] )
>  
> sin( [mm]t_1[/mm] + h* 7/10 ) ( [mm]u_1[/mm] + h * 7/10 *k1 )
>  
> Was setze ich für [mm]t_1[/mm] und [mm]u_1[/mm] ein?

Vergleiche Post zu vorheriger Frage.

Gruß
meili

Bezug
                                                
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 So 12.09.2021
Autor: Leon33

Ich habe es jetzt bis k2 gerechnet ?

Soll ich auch k3 berechnen ?
Woher weiss ich wie weit ich berechnen soll?

Passt meine Rechnung melli?

Habe Rechnung im Anhang

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                        
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:57 So 12.09.2021
Autor: meili

Hallo Leon33,

> Ich habe es jetzt bis k2 gerechnet ?

das reicht

>  
> Soll ich auch k3 berechnen ?

nein

>  Woher weiss ich wie weit ich berechnen soll?

Für die Aufgabe braucht man [mm] $u_2$, [/mm] da eine Näherung an $ y( [mm] \bruch{3}{2}\pi [/mm] ) $ gesucht ist, und $ [mm] t_2 [/mm] = [mm] t_0 [/mm] + [mm] 2\cdot{}h [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}\pi [/mm] $ ist.

>  
> Passt meine Rechnung melli?

Bei deiner Rechnung für k ist im Nenner eine Klammer an der falschen Stelle.

Es ist:
$ k = [mm] \bruch{ u_j \cdot{} sin( t_j + h\cdot{} 7/10 )}{ 1 - h\cdot{} 7/10 \cdot{} sin( t_j + h\cdot{} 7/10 )} [/mm] $

>  

Bei sin den Rechner auf RAD stellen und nicht DEG benutzen.

> Habe Rechnung im Anhang

Ich habe folgende Werte raus:
[mm] $k_1 [/mm] = -0,4857$
[mm] $u_1 [/mm] = 1,6187$
[mm] $k_2 [/mm] = -0,5568$
[mm] $u_2 [/mm] = 1,1816$
(pi mit 3,14 gerechnet und auf 4 Nachkommastellen gerundet,
und hoffentlich nicht verrechnet; kommt auch vor)

Gruß
meili

Bezug
                                                                
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:29 Mo 13.09.2021
Autor: Leon33

Kannst du bitte auch kurz erklären was ich bei der iii) noch machen muss ? :)



Bezug
                                                                        
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Mo 13.09.2021
Autor: meili

Hallo Leon33,

> Kannst du bitte auch kurz erklären was ich bei der iii)
> noch machen muss ? :)
>  

Als Vorbereitung üben mathematische Texte zu lesen und zu verstehen.

>  

iii) Berechnen sie den Fehler zur exakten Lösung  y(3/2*pi) = - 2/e

Netterweise ist in der Aufgabe der Wert der exakten Lösung an der Stelle [mm] $\bruch{3}{2}\pi$ [/mm] angegeben. Der Wert ist $- [mm] \bruch{2}{e}$. [/mm]

Mit Hilfe des angegebenen Runge-Kutta-Verfahrens hast du eine numerische Näherung an diesen Wert, nämlich [mm] $u_2$ [/mm] berechnet.

Nun ist nach dem Fehler gefragt. Um wie viel weicht die berechnete
Näherung vom exaten Wert ab. Also Differenz bilden.

Auserdem ist in der Aufgabe noch der Hinweis:
"Die hier berechnete Näherung muss nicht unbedingt eine gute sein"
gegeben.

Mit den Werten aus dem gegebenen Butcher Tableau ist das Runge-Kutta-Verfahren nicht besonders gut,
aber es sollte wahrscheinlich nur mal das Prinzip der Runge-Kutta-Verfahren geübt werden.
Interessant ist, wann ist ein Runge-Kutta-Verfahren gut.

Gruß
meili

Bezug
                                                                                
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Mo 13.09.2021
Autor: Leon33

Das wäre dann das exakte Ergebnis :

1.1816 - 2/e = 0.4458 ?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Mo 13.09.2021
Autor: fred97


> Das wäre dann das exakte Ergebnis :
>  
> 1.1816 - 2/e = 0.4458 ?


Nein. Der exakte Wert ist -2/e.

Der Fehler ist dann  1.1816-(-2/e)=1.1816+2/e




Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]