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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - S-Bahn und Pünktlichkeit
S-Bahn und Pünktlichkeit < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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S-Bahn und Pünktlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Sa 07.09.2019
Autor: hase-hh

Aufgabe
Ein Schüler nimmt an 90% aller Schultage die S-Bahn. Er ist damit zu 60% pünktlich. Insgesamt ist er zu 80% pünktlich.

An diesem Morgen kommt der Schüler pünktlich zur Schule. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die S-Bahn genommen hat?

Moin Moin!

Bei meinem Lösungsversuch entsteht ein Widerspruch!  Was mache ich falsch?

[a]Datei-Anhang

Im Anhang habe ich die gegebenen Größen gelb markiert.

Zunächst definiere ich

S:  Schüler kommt mit der S-Bahn
[mm] \overline{S}: [/mm]  Schüler kommt nicht mit der S-Bahn

P:  Der Schüler ist pünktlich
[mm] \overline{P}: [/mm]  Der Schüler ist nicht pünktlich


Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit  [mm] P_P(S) [/mm] = [mm] \bruch{P(P \cap S)}{P(P)} [/mm]


Ich habe zunächst ein Baumdiagramm erstellt..., s. Anhang oberes Baumdiagramm.

Daraus ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit für  P(S [mm] \cap [/mm] P) = 0,54  

0,9 - S - 0,6 - P   0,54.


Ich weiß außerdem, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Schüler pünktlich ist, insgesamt 80% beträgt.    


Ich habe hierfür ein zweites Baumdiagramm erstellt, s. Anhang unteres Baumdiagramm.

Daraus ergibt sich  

0,8 - P - x - S   0,54.  Dabei habe ich die Wahrscheinlichkeit für P(P [mm] \cap [/mm] S) = 0,54 aus dem anderen Baumdiagramm übertragen.

Es ergibt sich somit eine bedingte Wahrscheinlichkeit  [mm] P_P(S) [/mm] = [mm] \bruch{0,54}{0,8} [/mm] = 0,675

Dies stimmt mit der Musterlösung [mm] \bruch{0,9*0,6}{0,8} [/mm] überein; das war die vollständige Musterlösung!!  


Ich habe ferner eine Vierfeldertafel erstellt, in der allerdings ein Widerspruch auftritt. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Zeile ist größer als 0,1  Und die Summe der Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Spalte ist größer als 0,2 !!

Was mache ich falsch?



Danke & Gruß!!






Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
        
Bezug
S-Bahn und Pünktlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 Sa 07.09.2019
Autor: chrisno

Hallo,

ich zweifele an der Lösbarkeit der Aufgabe. Vielleicht verstehe ich sie auch nicht richtig.
Ich nehme 100 Schultage an.
Dann nimmt S am 90 Tagen die Bahn.
Dann kommt er an $90 * 0,6 = 54$ Tagen pünktlich.
An den restlichen 10 Tagen geht er zu Fuß und ist deshalb immer pünktlich.
Insgesamt ist er dann an 64 Tagen pünktlich und schafft also nie die 80 Tage für 80 %.

Bezug
                
Bezug
S-Bahn und Pünktlichkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:46 Sa 07.09.2019
Autor: statler

Jaja, das paßt in mein Weltbild aus vielen Jahren Nachhilfe: Auch die Qualität der Aufgaben wird immer schlechter.
Gruß aus HH
Dieter

Bezug
                
Bezug
S-Bahn und Pünktlichkeit: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 20:13 Sa 07.09.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

du hast völlig recht, die Aufgabe ist fehlerhaft gestellt.
Er kann bei den Vorgaben die 80% Pünktlichkeitsquote nie erreichen.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
S-Bahn und Pünktlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:21 Sa 07.09.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

um die Aufgabe auch mal formal zu einem Widerspruch zu führen:

Es ist mit den von dir verwendenten Bezeichnern und den Werten aus der Aufgabe:
[mm] $\mathbb{P}(S) [/mm] = 0.9$
[mm] $\mathbb{P}(P) [/mm] = 0.8$
[mm] $\mathbb{P}_P(S) [/mm] = [mm] \mathbb{P}(P|S) [/mm] = 0.6$

Daraus folgt:
[mm] $\mathbb{P}(\overline{S}) [/mm] = 0.1$


Nun gilt:
[mm] $\mathbb{P}(P) [/mm] = [mm] \mathbb{P}(P \cap [/mm] S) + [mm] \mathbb{P}(P\cap \overline{S}) [/mm] = [mm] \mathbb{P}_P(S)*\mathbb{P}(S) [/mm] + [mm] \mathbb{P}_P(\overline{S})*\mathbb{P}(\overline{S})$ [/mm]

Einsetzen liefert:
$0.8 = 0.6*0.9 + [mm] \mathbb{P}_P(\overline{S})*0.1 \quad \gdw \quad \mathbb{P}_P(\overline{S}) \approx [/mm] 2.6$
was ein Widerspruch ist, da [mm] $\mathbb{P}_P(\overline{S}) \le [/mm] 1$ gelten muss.

Gruß,
Gono


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