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| Aufgabe | Für Eingabedaten [mm]x,x' \in X[/mm] sei [mm]k(x,x')[/mm] ein Kernel auf [mm]X \times X \rightarrow \mathbb{R}[/mm]. Für [mm]a \in \mathbb{R}^+[/mm] zeige, daß [mm]a*k(x,x')[/mm] Kernel ist.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Die Angabe wurde ins Deutsche übersetzt.
Ich habe diese Frage ins Programmierforum gestellt, da Kernelkombination unmittelbar praktisch eingesetzt wird um neue Kernels zu erstellen. Der Frage folgen in der konkreten Aufgabenstellung noch andere gleichen Typs, ich erhoffe mir hier Hilfe für den Ansatz im simpelsten Fall.
Die Frage bezieht sich auf Kernelfunktionen im Kontext von Support Vektor Maschinen.
Ich verstehe, dass ein Kernel positiv-semidefinit sein muss, und bei einem endlich-dimensionalen Feature mapping [mm]k(x,x')=<\Phi(x),\Phi(x')>[/mm] ist, also das Skalarprodukt im Featureraum. Somit ist [mm]a*k(x,x')=a*<\Phi(x),\Phi(x')> =^{bilinear}[/mm]. Somit kann ich ein neues mapping [mm]a*\Phi = \Phi'[/mm] angeben womit k wieder ein Kernel im Eingaberaum ist. Aber wie ich die pos. sem. Def. zeige ist mir leider absolut unklar.
Und habe ich mit dieser Aussage wirklich ein neues gültiges Mapping in den feature-Raum? Mir ist nicht klar ob dieser Ansatz funktionieren kann.
Nachtrag: Ein Ansatz über die Def. der pos. sem. Def.
Diese ergibt ja den Zusammenhang:
[mm]\sum_{i,j}^m (c_i*c_j*K_{i,j}) >= 0 \quad\forall c_k \in \mathbb{R}[/mm] wobei [mm]K_{i,j}=k(x_i,x_j)[/mm]. Aus [mm]a*\sum_{i,j}^m (c_i*c_j*K_{i,j}) = \sum_{i,j}^m (a*c_i*c_j*K_{i,j}) >= 0 \Rightarrow[/mm] pos. semidef.
Die Symmetrie folgt unmittelbar aus der Symmetrie von [mm]k[/mm].
Vielen Dank,
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 29.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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