Sammellinse Rotationskörper < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Sa 20.12.2014 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Im 1. Quadranten ist die Krümmung der Sammellinse gegeben mit
f(x) = [mm] 16,25*\wurzel(0,41-x)
[/mm]
Die Dicke der Linse in der Mitte beträgt 0,82 cm, die Breite 0,5 cm. Ferner ist die Linse oben und unten glatt (Steigung = 0) abgeschliffen.
Maßstab für x- und y-Achse können unterschiedlich sein.
a) Definitionsbereich ?
b) Querschnittsfläche ? (Substitutionsmethode)
c) Rotationsvolumen ? (Substitutionsmethode) |
Moin Moin!
zunächst habe ich Schwierigkeiten mir das Ganze vorzustellen.
Ist es richtig, dass die Linse "quer" gelegt ist, d.h. der Abstand auf der x-Achse beträgt hier 0,5 cm; d.h. -0,25 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0,25... bzw. da dies offenbar maßstäblich verzerrt ist... -0,41 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0,41
und der Funktionswert 0,41 auf der y-Achse beträgt?
Oder ist die Breite der Linse auf der x-Achse 0,82 cm, d.h. - 0,41 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0,41 und die Dicke der Linse 0,5 cm... d.h. (0 / 10,4) also umzurechnen auf 0,25 cm ???
Lösungsidee...
a) 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0,41
b) A = [mm] \integral_{0}^{0,41}{(16,25*\wurzel{0,41-x}) dx}
[/mm]
und dann anschließend mal 4 nehmen...
c) [mm] \pi*\integral_{0}^{0,41}{(16,25*\wurzel{0,41-x}]^2 dx}
[/mm]
und dann anschließend mal 2 nehmen...
Ist das so richtig?
Als Lösungshinweis steht da zweifach "Substitutionsmethode", ich frage mich wo und was ich da substituieren soll???
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Ggf. hilft auch eine ähnliche Aufgabe mit Lösung... ^^
Danke & Gruß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:15 So 21.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo hase-hh!
> f(x) = [mm]16,25*\wurzel(0,41-x)[/mm]
> a) Definitionsbereich ?
> a) 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 0,41
Nein. [mm] $0{,}41-x\ge [/mm] 0$, also [mm] $0{,}41\ge [/mm] x$ und somit [mm] D_f:=\{x\in\IR\mid x\le 0{,}41\}.
[/mm]
Negative [mm] $x\$ [/mm] machen hier keine Probleme (Wieso?)
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 So 21.12.2014 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
ok, aber die anderen Fragen sind nach wie vor offen!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 So 21.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
du kannst beide Male $u:=0.41-x$ substituieren, wobei das bei c) nicht wirklich nötig ist.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 So 21.12.2014 | | Autor: | chrisno |
Ich versuche die Aufgabe zu verstehen. Da habe ich Schwierigkeiten.
> Im 1. Quadranten ist die Krümmung der Sammellinse gegeben
> mit
>
> f(x) = [mm]16,25*\wurzel(0,41-x)[/mm]
>
> Die Dicke der Linse in der Mitte beträgt 0,82 cm, die
> Breite 0,5 cm. Ferner ist die Linse oben und unten glatt
> (Steigung = 0) abgeschliffen.
Ich sehe vor mir eine Linse, dargestellt im Querschnitt. Die x-Achse ist die optische Achse und Achse der Rotationssymmetrie. Angegeben sind die Werte für den ersten Quadranten, der Rest ergibt sich aus der Symmetrie an x- und y-Achse.
Die Dicke ist der Bereich, den die Linse auf der x-Achse überdeckt, [-0,41; 0,41] zusammen 0,82 cm.
Was ist nun mit Breite gemeint? Das Einzige, was ich mir vorstellen kann, ergibt sich aus einem Bezug auf die Angabe "abgeschliffen". Dann wäre die Breite der maximale Durchmesser, wenn man die optische Achse entlang sieht.
Damit wird die Berandungsfunktion für den ersten Quadranten beschrieben:
f(x) = 0,25 für x zwischen 0 und dem noch zu bestimmenden Intervallende und
f(x) wie oben, von diesem Intervallende bis 0,41.
Auf jeden Fall beginnt nach der Aufgabenstellung der Definitionsbereich von f(x) bei Null.
Allerdings ist diese Linse dann hauptsächlich zylinderförmig.
Einer "normalen Linse" würde das ähnlicher, wenn als "Breite" die Länge des Anschliffs entlang der optischen Achse gewählt wird. Bloß ist das keine Breite.
>
> Maßstab für x- und y-Achse können unterschiedlich sein.
Gibt es eine Zeichnung dazu? ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") Diese Anmerkung ist ein Rätsel.
>
> a) Definitionsbereich ?
s.o.
> b) Querschnittsfläche ? (Substitutionsmethode)
Erst einmal die Integrationsgrenzen bestimmen.
> c) Rotationsvolumen ? (Substitutionsmethode)
>
> Moin Moin!
>
> zunächst habe ich Schwierigkeiten mir das Ganze
> vorzustellen.
>
> Ist es richtig, dass die Linse "quer" gelegt ist, d.h. der
> Abstand auf der x-Achse beträgt hier 0,5 cm; d.h. -0,25
> [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 0,25... bzw. da dies offenbar maßstäblich
> verzerrt ist... -0,41 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 0,41
Was meinst Du mit "quer gelegt"?
Ansonsten sowieso: nein.
>
> und der Funktionswert 0,41 auf der y-Achse beträgt?
>
>
> Oder ist die Breite der Linse auf der x-Achse 0,82 cm, d.h.
> - 0,41 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 0,41 und die Dicke der Linse 0,5 cm...
> d.h. (0 / 10,4) also umzurechnen auf 0,25 cm ???
s.o.
>
>
> Lösungsidee...
>
> a) 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 0,41
ja, der ist sofort klar. (Blöde formulierte Aufgabe) Doch musst Du die Zuordnungsvorschrift noch zu ende formulieren.
>
>
> b) A = [mm]\integral_{0}^{0,41}{(16,25*\wurzel{0,41-x}) dx}[/mm]
>
> und dann anschließend mal 4 nehmen...
Wie gesagt, glaube ich nicht an die Grenze 0. Sonst macht die Angabe "abgeschliffen" keinen Sinn. Allerdings ist diese "Breite" für mich noch unverstanden.
Ansonsten ist so ein Integral zu berechnen.
>
>
> c) [mm]\pi*\integral_{0}^{0,41}{(16,25*\wurzel{0,41-x}]^2 dx}[/mm]
>
> und dann anschließend mal 2 nehmen...
Mit den gleichen Anmerkungen wie b).
>
>
> Ist das so richtig?
>
> Als Lösungshinweis steht da zweifach
> "Substitutionsmethode", ich frage mich wo und was ich da
> substituieren soll???
Wenn Du keine Tafel verwenden darfst, ist es bei b) zu verstehen, die Antwort steht bei andyv.
Bei c) ist es nicht u verstehen. Substituieren kannst Du natürlich auch, aber es bringt keinen Gewinn.
>
>
> Kann mir da jemand weiterhelfen?
> Ggf. hilft auch eine ähnliche Aufgabe mit Lösung... ^^
Sobald Du herausbekommst, was da mit Breite gemeint ist, wird alles klar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 So 21.12.2014 | | Autor: | hase-hh |
Danke für eure Antworten, insbesondere für Deine Chrisno!
1. Nein, ich habe keine Zeichnung. bzw. ja, ich habe bei Wikipedia eine Sammellinsenzeichnung gesehen...
2. Ich vermute, nach längerem Nachdenken, dass die x-Achse hier die Breite der Linse meint. Dann geht die Linse von -0,25 bis 0,25 und an diesen Rändern ist die Linse abgeschliffen.
3. Daraus würde dann weiter folgen, dass die Breite an der Stelle x=0 0,82 cm sein muss.
Hier spielt nun offenbar der unterschiedliche Maßstab für x- und y-Achse eine Rolle! Denke, dass die x-Richtung "unverzerrt" ist, während die y-Achse um ca. den Faktor 25 vergrößert ist. [da f(0) = 10,41 [mm] \hat= [/mm] 0,41 cm]
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 So 21.12.2014 | | Autor: | chrisno |
Mein Unverständnis bleibt, Deine Interpretation glaube ich nicht. Plotte mal Deine Vorstellung von der Linse.
Entweder kannst Du den Aufgabensteller fragen oder wende Dich einer besser formulierten Aufgabe zu.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 So 21.12.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Wolfgang,
die Zitier-Funktion will leider gerade nicht so recht...
Ich verstehe die Aufgabe so, wie chrisno. Hier mal eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die fett gezeichnete Linie ist das [mm]f(x)[/mm] aus der Angabe. Den Rest der Linse habe ich jeweils gespiegelt. Leider habe ich mich beim Erstellen der Skizze verschaut und habe die Horizontalen Linien bei 5 und nicht bei 0.5 (cm) gezeichnet. Die "Breite" von 0.5cm verstehe ich aber als maximalen Durchmesser.
Für Querschnittsfläche und Volumen brauchst du meiner Meinung nach den Schnittpunkt von $f(x)$ und $y=0.5$. Der innere Teil ist ein Rechteck bzw ein Zylinder und für den äußeren Teil brauchst du dann das Integral.
Lieben Gruß,
Fulla
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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