Satndardmatrix, zyklische Basi < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Di 17.05.2005 | | Autor: | Marianne |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo Ich habe eine große Aufgabe bekommen, aber es hapert schon bei den Ansätzen.
Erstmal Teile der Aufgabe:
Betrachte den Endomorphismus f : [mm] R^{4} \to R^{4} [/mm] gegeben durch die Standardmatrix
[mm] A_{f} =\pmat{ 1 & 2 & 3 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & -25 \\ 7 & 8 & 9 & \bruch{-23}{12} \\ 10 & 11 & 12 & -15 }
[/mm]
und den Vektor v = (1, 2, 3, 4).
(a) Bestimme eine bezüglich f zyklische Basis B = (v, . . . , [mm] f^{k-1}(v)).
[/mm]
(b) Bestimme [f | [mm] Lin(B)]_{B}
[/mm]
(c) Bestimme das charakteristische Polynom der Matrix aus (b).
Ich habe Probleme bei a und b.
Wie bestimmt man so eine zyklische Basis und was bedeutet sie genau.
Bei b dasselbe
c kann ich dann leicht allein bestimmen
Noch eine Frage wie bestimmt man die Standardmatrix von p(f), wobei p(X) = 12X2 + 12X + 1 und diese für das Minimalpolynom?
Ich wäre für jede minimale Hilfe dankbar!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Marianne!
> Betrachte den Endomorphismus f : [mm]R^{4} \to R^{4}[/mm] gegeben
> durch die Standardmatrix
> [mm]A_{f} =\pmat{ 1 & 2 & 3 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & -25 \\ 7 & 8 & 9 & \bruch{-23}{12} \\ 10 & 11 & 12 & -15 }[/mm]
>
> und den Vektor v = (1, 2, 3, 4).
> (a) Bestimme eine bezüglich f zyklische Basis B = (v, . .
> . , [mm]f^{k-1}(v)).[/mm]
Hier brauchst du doch nur $f(v) = [mm] A_{f} \cdot [/mm] v$ auszurechnen, dann [mm] $f^2(v) =A_{f}^2 \cdot [/mm] v$, usw., solange, bis die Folge linear abhängig wird.
> (b) Bestimme [f | [mm]Lin(B)]_{B}[/mm]
Naja, überlege dir mal:
Es gilt für [mm] $i=0,1,\ldots,k-2$:
[/mm]
[mm] $f(f^i(v)) [/mm] = 0 [mm] \cdot [/mm] v + [mm] \ldots [/mm] + 0 [mm] \cdot f^i(v) [/mm] + 1 [mm] \cdot f^{i+1}(v) [/mm] + 0 [mm] \cdot f^{i+1}(v) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] $
Es stehen also in der unteren Nebendiagonalen lauter Einsen, und ansonsten in den ersten Spalten nur Nullen.
Nur [mm] $f(f^{k-1}(v)$ [/mm] (also die letzte Spalte) ist spannend, denn das ist eine "wilde" Linearkombination der Basis. So wild allerdings auch nicht... Wenn du anschließend (c) berechnest, wirst du sehen, wo die Koeffizienten wieder auftauchen...
Viele Grüße
Julius
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