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| Aufgabe | | Ich soll die Extremstellen und den Sattelpunkt finden. |
Also die Funktion ist [mm] f(x)=x^3-2x^2
[/mm]
[mm] f´(x)=3x^2-4x
[/mm]
f´´(x)=6x-4
Jetzt habe ich die erste Ableitung Null gesetzt
[mm] 3x^2-2x=x(3x-4)
[/mm]
x=0 und x=4/3
Soll ich das jetzt in die zweite Ableitung einsetzen?
Dann gäbe es ja keinen Sattelpunkt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Sa 18.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Ich soll die Extremstellen und den Sattelpunkt finden.
> Also die Funktion ist [mm]f(x)=x^3-2x^2[/mm]
> [mm]f´(x)=3x^2-4x[/mm]
> f´´(x)=6x-4
>
> Jetzt habe ich die erste Ableitung Null gesetzt
> [mm]3x^2-2x=x(3x-4)[/mm]
> x=0 und x=4/3
>
> Soll ich das jetzt in die zweite Ableitung einsetzen?
> Dann gäbe es ja keinen Sattelpunkt?
Du hast vollkommen korrekterweise
[mm] $f(x)=x^{3}-2x^{2}$
[/mm]
[mm] $f'(x)=3x^{2}-4x$
[/mm]
$f''(x)=6x-4$
Auch die beiden Stellen, an denen f'(x)=0 wird, hast du mit x=0 und [mm] x=\frac{4}{3} [/mm] korrekt ermittelt.
Und [mm] f''(0)=6\cdot0-4<0 [/mm] also ist bei H(0|f(0)) ein Hochpunkt.
Und, da [mm] f''\left(\frac{4}{3}\right)>0, [/mm] ist bei [mm] T\left(\frac{4}{3};f\left(\frac{4}{3}\right)\right) [/mm] ein Tiefpunkt.
Die zugehörigen y-Koordinaten müsstest du natürlich noch bestimmen.
Es gibt also in der Tat keinen Sattelpunkt.
Marius
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Also ich soll bei diesen Funktionen die Extremstellen finden. Ich habe bei allen weiteren Funktionen keine Extremstellen gefunden und daher auch keinen Sattelpunkt! Ich dachte, ich haette den Fehler bei dieser Funktion gemacht..
Es waere toll, wenn sich jemand meine Rechnungen anschauen koennte.
1. f(x)=3x+2 f'(x)=3>O die ableitung wird nie Null, also gibt es keine Extremstellen.
[mm] 2.f(x)=-\bruch{1}{x} [/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{x^2}
[/mm]
Hat keine Extremstellen, da sie in Abschnitten verlaeuft.
[mm] 3.f(x)=x^3+4x
[/mm]
[mm] f'(x)=3x^2+4
[/mm]
f''(x)=6x
[mm] 3x^2+4=0 [/mm]
[mm] x^2=-\bruch{4}{3} [/mm] aus einer negativen zahl kann ich keine Wurzel ziehen! also gibt es auch keine extremstellen
4. [mm] f(x)=x^3-8
[/mm]
[mm] f'(x)=3x^2
[/mm]
f''(x)=6x
[mm] 3x^2=0 [/mm] also x=0
f''(0)=6*0=0
Gibt es hier dann einen Sattelpunkt? Obwohl es keine Extremstellen gibt?
[mm] 5.f(x)=2x^3+3x^2+12
[/mm]
[mm] f'(x)=6x^2+6x
[/mm]
f''(x)=12x+6
[mm] 6x^2+6x=0
[/mm]
x(6x+6)=0 also x=0
f''(x)=12*0+6=6>0 also gibt es einen Tiefpunkt bei T(0/12)
Nur wenn ich die Funktion zeichne komme ich auf eine Gerade!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Mo 20.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Also ich soll bei diesen Funktionen die Extremstellen
> finden. Ich habe bei allen weiteren Funktionen keine
> Extremstellen gefunden und daher auch keinen Sattelpunkt!
> Ich dachte, ich haette den Fehler bei dieser Funktion
> gemacht..
> Es waere toll, wenn sich jemand meine Rechnungen anschauen
> koennte.
> 1. f(x)=3x+2 f'(x)=3>O die ableitung wird nie Null, also
> gibt es keine Extremstellen.
Korrekt, f(x)=3x+2 ist eine einfache lineare Funktion
>
> [mm]2.f(x)=-\bruch{1}{x}[/mm]
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{x^2}[/mm]
> Hat keine Extremstellen, da sie in Abschnitten verlaeuft.
Das mit den Abschnitten ist irrelevant, aber [mm] \frac{1}{x^{2}}=0 [/mm] hat keine Lösung, da der Zähler des Bruchs nicht Null werden kann.
>
> [mm]3.f(x)=x^3+4x[/mm]
> [mm]f'(x)=3x^2+4[/mm]
> f''(x)=6x
>
> [mm]3x^2+4=0[/mm]
> [mm]x^2=-\bruch{4}{3}[/mm] aus einer negativen zahl kann ich keine
> Wurzel ziehen! also gibt es auch keine extremstellen
Korrekt.
>
> 4. [mm]f(x)=x^3-8[/mm]
> [mm]f'(x)=3x^2[/mm]
> f''(x)=6x
>
> [mm]3x^2=0[/mm] also x=0
> f''(0)=6*0=0
>
> Gibt es hier dann einen Sattelpunkt? Obwohl es keine
> Extremstellen gibt?
Du hast doch genau das. es gilt: $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$, aber [mm] $f'''(0)\ne0$
[/mm]
Genau das ist doh die Bedingung für einen Sattelpunkt. Ein möglicher Sattelpunkt ist der Grund, warum man bei den Extrepmunkten die notwendige Bedingung [mm] f''(x)\ne0 [/mm] überprüfen muss.
>
> [mm]5.f(x)=2x^3+3x^2+12[/mm]
> [mm]f'(x)=6x^2+6x[/mm]
> f''(x)=12x+6
>
> [mm]6x^2+6x=0[/mm]
> x(6x+6)=0 also x=0
>
> f''(x)=12*0+6=6>0 also gibt es einen Tiefpunkt bei T(0/12)
Die Gleichung [mm] 6x^{2}+6x=0 [/mm] hat neben x=0 auch noch eine andere Lösung.
>
> Nur wenn ich die Funktion zeichne komme ich auf eine
> Gerade!
>
Das kann nicht sein, diese Funktion hat einen Tiefpunkt bei T(0|12), den du ja auch gefunden hast. Aber du hast noch einen weiteren Extrempunkt.
Wahrscheinlich hast du den falschen Ausschnitt mit deinem GTR plotten lassen.
Marius
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Vielen Dank schonmal!
Also [mm] 6x^2+6x=0
[/mm]
x(6x+6)=0 x=0 und x=6/6=1
f''(1)=12*1+6=18>0 Tiefpunkt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mo 20.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Vielen Dank schonmal!
> Also [mm]6x^2+6x=0[/mm]
> x(6x+6)=0 x=0 und x=6/6=1
Wenn du 6x+6=0 lösen willst, sollste du das Vorzeichen nochmal überdenken. Ausserdem sollten dich zwei Tiefpunkte ohne einen Hochpunkt dazwischen stutzig machen.
>
> f''(1)=12*1+6=18>0 Tiefpunkt
Nein, Folgefehler.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 Mo 20.05.2013 | | Autor: | maruschka7 |
Stimmt, also alles nochmal mitx=-1!
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Mo 20.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Stimmt, also alles nochmal mitx=-1!
>
> Danke!
Yep, so ist es. [mm] f'(1)\ne0, [/mm] die Nullstellen der ersten Ableitung sind also x=0, was zu dem korrekt ermittelten Tiefpunkt T(0|12) führt und x=-1, dazu musst du noch zeigen/prüfen, dass/ob es zu einem Hochpunkt führt und die y-Korrdinate berechnen.
Marius
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