Sattelpunkt Polynom 3. Grades < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(x) = [mm] x^3+6x^2-3ax+1
[/mm]
Bestimmen Sie jeweils einen Wert von a so, dass der Graph
a) einen Sattelpunkt hat
b) zwei lokale Extrema
c) einen Wendepunkt mit positiver Steigung der Wendetangente hat |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Sehe ich das richtig, dass a) zu keiner Lösung führen kann?
Ich kann, ohne a zu bestimmen, trotzdem eine Ableitung herführen, da in der 1. Ableitung a schon wegfallen würde. siehe:
f(x)' = [mm] 3x^2+12x-3
[/mm]
f(x)'' = 6x+12
f(x)''' = 6
Die 3. Ableitung passt, da ungleich 0.
Die zweite Ableitung lässt sich mit x=-2 nach 0 auflösen.
Die dritte jedoch nicht mit x=-2.
Daher gibt es keinen Sattelpunkt.
Ist das so korrekt? Weiterhin würde mir auch kein anderer Weg einfallen...
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> f(x) = [mm]x^3+6x^2-3ax+1[/mm]
> Bestimmen Sie jeweils einen Wert von a so, dass der
> Graph
> a) einen Sattelpunkt hat
> b) zwei lokale Extrema
> c) einen Wendepunkt mit positiver Steigung der
> Wendetangente hat
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Sehe ich das richtig, dass a) zu keiner Lösung führen
> kann?
> Ich kann, ohne a zu bestimmen, trotzdem eine Ableitung
> herführen, da in der 1. Ableitung a schon wegfallen
> würde. siehe:
> f(x)' = [mm]3x^2+12x-3[/mm]
Das ist falsch, sofern deine Angabe oben stimmt, denn -3ax wird wohl kaum zu -3, wo ist das a? -3a wäre schon besser und dann hättest du auch ein a in der ersten Ableitung, sonst wäre die ganze Aufgabe nonesens, denn dann wären auch die übrigen beiden Aufgabenteile unabhängig von a oder??
> f(x)'' = 6x+12
> f(x)''' = 6
>
> Die 3. Ableitung passt, da ungleich 0.
> Die zweite Ableitung lässt sich mit x=-2 nach 0
> auflösen.
> Die dritte jedoch nicht mit x=-2.
> Daher gibt es keinen Sattelpunkt.
> Ist das so korrekt? Weiterhin würde mir auch kein anderer
> Weg einfallen...
Wenn du das a also dann einmal drinnen hast, hast du eine erste Ableitung mit a, die 0 sein muss und eine zweite Ableitung, die kein a nethält und ebenfalls 0 werden muss. Für die zweite Ableitung siehst du sofort, dass x=-2 sein muss, korrekt. Damit findest du dann deinen Wert für a und es existiert ein entsprechender Sattelpunkt
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Danke für den Tipp!
Bei der b) hab ich nun raus das a=0 ist.
Hier mein Lösungsweg:
[mm] f'(x)=3x^2+12x-3a
[/mm]
[mm] 0=3x^2+12x-3a
[/mm]
[mm] 3a=3x^2+12x
[/mm]
[mm] a=x^2+4x
[/mm]
Einsetzen von a
[mm] 0=3x^2+12x-3*(x^2+4x)
[/mm]
[mm] 0=3x^2+12x-3x^2+12x
[/mm]
0=24x
0=x
Einsetzen von x
[mm] 0=3*0^2+12*0-3a
[/mm]
0=0-3a
a=0
Ab hier weiss ich nicht wirklich weiter
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Hallo hackintosh,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Danke für den Tipp!
> Bei der b) hab ich nun raus das a=0 ist.
> Hier mein Lösungsweg:
>
> [mm]f'(x)=3x^2+12x-3a[/mm]
> [mm]0=3x^2+12x-3a[/mm]
Diese Gleichung muß zwei verschiedene Lösungen haben.
Dazu untersuchst Du den entstehenden Wurzelausdruck bei
der Auflösung dieser Gleichung nach x.
Daraus kannst Du wiederum Bedingungen an das "a" ableiten,
wann 2 solche Extrema existieren.
> [mm]3a=3x^2+12x[/mm]
> [mm]a=x^2+4x[/mm]
>
> Einsetzen von a
> [mm]0=3x^2+12x-3*(x^2+4x)[/mm]
> [mm]0=3x^2+12x-3x^2+12x[/mm]
> 0=24x
> 0=x
>
> Einsetzen von x
> [mm]0=3*0^2+12*0-3a[/mm]
> 0=0-3a
> a=0
>
> Ab hier weiss ich nicht wirklich weiter
Gruss
MathePower
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