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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 So 20.02.2022 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | Gibt es eine Möglichkeit anhand des Graphen der 2. Ableitung einer Funktion entscheiden zu können, ob eine Nullstelle des Graphen eine Sattelstelle der Originalfunktion ist? |
Bin um eure Ideen dankbar! ich selbst habe noch keine nennenswerte Idee, wie das funktionieren könnte.
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Hiho,
> Gibt es eine Möglichkeit anhand des Graphen der 2.
> Ableitung einer Funktion entscheiden zu können, ob eine
> Nullstelle des Graphen eine Sattelstelle der
> Originalfunktion ist?
Nein, da die Nullstelleninformation der 1. Ableitung verloren geht.
Kann es sein, dass die Frage eigentlich lautet:
> Gibt es eine Möglichkeit anhand des Graphen der 1.
> Ableitung einer Funktion entscheiden zu können, ob eine
> Nullstelle des Graphen eine Sattelstelle der
> Originalfunktion ist?
Also ohne den Graph der zweiten Ableitung zu kennen. Da lautet die Antwort nämlich: Ja.
Gruß,
Gono
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> Gibt es eine Möglichkeit anhand des Graphen der 2.
> Ableitung einer Funktion entscheiden zu können, ob eine
> Nullstelle des Graphen eine Sattelstelle der
> Originalfunktion ist?
> Bin um eure Ideen dankbar! ich selbst habe noch keine
> nennenswerte Idee, wie das funktionieren könnte.
Da, wo die 2. Ableitung eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat, der Graph der 2. Ableitung also von oben nach unten oder von unten nach oben die x-Achse schneidet (und nicht, wie bei [mm] f(x)=x^2 [/mm] die x-Achse nur berührt), liegt für f ein Wendepunkt vor. Hat f dort eine Nullstelle, ist der Wendepunkt auf der x-Achse. Damit der Wendepunkt aber auch ein Sattelpunkt ist, muss dort auch noch die 1. Ableitung 0 werden. Wenn nicht, ist es nur ein "normaler" Wendepunkt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Mo 21.02.2022 | | Autor: | fred97 |
> Gibt es eine Möglichkeit anhand des Graphen der 2.
> Ableitung einer Funktion entscheiden zu können, ob eine
> Nullstelle des Graphen eine Sattelstelle der
> Originalfunktion ist?
> Bin um eure Ideen dankbar! ich selbst habe noch keine
> nennenswerte Idee, wie das funktionieren könnte.
Es funktioniert nicht !
Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mindestens zweimal differenzierbar ist.
Wenn wir nur $f''$ kennen und wissen, dass für ein [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] gilt [mm] $f''(x_0)=0,$ [/mm] so kennen wir die erste Ableitung $f'$ nur bis auf eine additive Konstante $c$, etwa:
$f'(x)= [mm] \int_{x_0}^x [/mm] f''(t) dt +c.$
Dieses $c$ ist uns nicht bekannt. Hat $f$ in [mm] x_0 [/mm] einen Sattelpunkt, so muss [mm] $f'(x_0)=0$, [/mm] also $c=0$ gelten.
Ist umgekehrt $c=0$, so muss $f$ in [mm] x_0 [/mm] keinen Sattelpunkt haben, wie das Beispiel [mm] $f(x)=x^4$ [/mm] und [mm] $x_0=0$ [/mm] zeigt.
$f''(0)=0$ und $f'(0)=0$. $f$ hat in [mm] $x_0=0$ [/mm] ein globales Minimum, aber keinen Sattelpunkt.
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