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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Satz Implizite Funktion System
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Satz Implizite Funktion System: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:00 Mo 16.07.2018
Autor: Takota

Hallo,

über die Lehrvideos von Dr. Aviv Censor habe ich mich mal autoditaktisch mit dem Satz über implizit definierte Funktionen beschäftigt.

Hier mal das letzte Video Nr. 46, wo er den Satz auf Funktionensystemen erweitert:

https://www.youtube.com/watch?v=B-lreG2iuG0&index=46&list=PLW3u28VuDAHLWNxKyfoBQSVBp-fhWrDr0

(Die anderen Videos zu dem Thema sind die Nr. 42-44, falls es jemand interessiert).

Ditaktisch hat er es schön nachvollzierbar vom einfachen Fall auf den komplexeren Fall erweitert, bzw., verallgemeinert.

Meine Frage: Für die Anwendung des Satzes auf ein Funktionensystem (siehe Video) kommt plötzlich die Determinante ins Spiel. Die Determinante wird auf die partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen angewendet und soll ungleich Null sein.

Kann mir jemand bitte plausibel erklären, bzw. Gründe dafür angeben, warum die Determinante als Voraussetzung im Satz erscheint, bisher war das ja nicht nötig?

LG
Takota

        
Bezug
Satz Implizite Funktion System: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:00 Di 17.07.2018
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> über die Lehrvideos von Dr. Aviv Censor habe ich mich mal
> autoditaktisch mit dem Satz über implizit definierte
> Funktionen beschäftigt.
>  
> Hier mal das letzte Video Nr. 46, wo er den Satz auf
> Funktionensystemen erweitert:
>  
> https://www.youtube.com/watch?v=B-lreG2iuG0&index=46&list=PLW3u28VuDAHLWNxKyfoBQSVBp-fhWrDr0
>  
> (Die anderen Videos zu dem Thema sind die Nr. 42-44, falls
> es jemand interessiert).
>  
> Ditaktisch hat er es schön nachvollzierbar vom einfachen
> Fall auf den komplexeren Fall erweitert, bzw.,
> verallgemeinert.
>
> Meine Frage: Für die Anwendung des Satzes auf ein
> Funktionensystem (siehe Video) kommt plötzlich die
> Determinante ins Spiel. Die Determinante wird auf die
> partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen angewendet
> und soll ungleich Null sein.
>  
> Kann mir jemand bitte plausibel erklären, bzw. Gründe
> dafür angeben, warum die Determinante als Voraussetzung im
> Satz erscheint, bisher war das ja nicht nötig?

Bisher war das auch nötig !

Ich nehme an, dass Du mit "bisher" den Fall $n=m=1$ meinst. Ich übernehme mal die Bezeichnungen aus  Video 46.

Dort wird gefordert [mm] $\Delta(x_0,z_0) \ne [/mm] 0$. Im Falle n=m=1 ist das gerade

die Voraussetzung [mm] \frac{\partial F}{\partial z}(x_0,z_0) \ne [/mm] 0.

War das hilfreich ?

>  
> LG
>  Takota


Bezug
                
Bezug
Satz Implizite Funktion System: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:40 Do 19.07.2018
Autor: Takota

Hallo FRED,
danke für die Rückmeldung. Ja, ist schon hilfreich.

In der Determinante:

[mm] $\begin{vmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial y_1}(x_0 ,y_0) & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial y_m}(x_0 ,y_0) \\ \vdots & \dots & \vdots \\ \frac{\partial F_m}{\partial y_1}(x_0 ,y_0) & \cdots & \frac{\partial F_m}{\partial y_m}(x_0 ,y_0) \end{vmatrix}$ [/mm]

stehen ja die allg. Ableitungen [mm] \quad [/mm] $ [mm] \frac{\partial F_1}{\partial y_1}(x_0 ,y_0) \quad ...\quad \frac{\partial F_m}{\partial y_m}(x_0 ,y_0) [/mm] $. Für die Einträge, [mm] $(x_0 ,y_0)$, [/mm] werden auch kongrete Werte  berechnet, und die müßen, lt. Voraussetzung, jeweils alle [mm] $\ne [/mm] 0$ sein.

Wenn also alle Ableitungen die Voraussetzung schon alle erfüllen, warum dann noch die Determinate berechnen?

Gruß
Taktoa


Bezug
                        
Bezug
Satz Implizite Funktion System: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:55 Do 19.07.2018
Autor: fred97


> Hallo FRED,
>  danke für die Rückmeldung. Ja, ist schon hilfreich.
>
> In der Determinante:
>  
> [mm]$\begin{vmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial y_1}(x_0 ,y_0) & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial y_m}(x_0 ,y_0) \\ \vdots & \dots & \vdots \\ \frac{\partial F_m}{\partial y_1}(x_0 ,y_0) & \cdots & \frac{\partial F_m}{\partial y_m}(x_0 ,y_0) \end{vmatrix}$[/mm]
>  
> stehen ja die allg. Ableitungen [mm]\quad[/mm]  [mm]\frac{\partial F_1}{\partial y_1}(x_0 ,y_0) \quad ...\quad \frac{\partial F_m}{\partial y_m}(x_0 ,y_0) [/mm].
> Für die Einträge, [mm](x_0 ,y_0)[/mm], werden auch kongrete Werte  
> berechnet, und die müßen, lt. Voraussetzung, jeweils alle
> [mm]\ne 0[/mm] sein.
>  
> Wenn also alle Ableitungen die Voraussetzung schon alle
> erfüllen, warum dann noch die Determinate berechnen?

Mache Dir klar: ist [mm] $A=(a_{jk})$ [/mm] eine quadratische Matrix mit [mm] a_{jk} \ne [/mm] 0 für alle (j,k), so kann dennoch $ [mm] \det(A)=0$ [/mm] sein.

Bdeispiel: alle [mm] a_{jk}=1. [/mm]

>  
> Gruß
>  Taktoa
>  


Bezug
                                
Bezug
Satz Implizite Funktion System: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:48 Do 19.07.2018
Autor: Takota

Hallo FRED,

Ok. Die Notwendigkeit der Determinante ist damit aber nicht geklärt.
Wahrscheinlich kann man das schlecht über Analogien, etc. begründen, bzw. einsehen?

Ich hätte noch ein paar Verständnissfragen.

Sei [mm] $f(x_1, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] , y)$. Wenn alle Voraus. erfüllt sind, dann gibt es eine implizite Funktion [mm] $y(x_1, [/mm] ..., [mm] x_n)$. [/mm]
Sei jetzt [mm] $f(x_1, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] , [mm] y_1, [/mm] ..., [mm] y_m)$ [/mm] und alle Ableitungen nach [mm] $y_1, [/mm] ..., [mm] y_m$ [/mm] erfüllen die Voraus. [mm] $\ne [/mm] 0$.

1) Wieviel m-implizite Fkt sind in Bezug auf die [mm] x_n [/mm] Variablen möglich?
2) Kommt also ein oder mehrere y in [mm] $f(x_1, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] , y)$ neu hinzu, muß dann jeweils eine neue Gleichung [mm] $f_i$ [/mm] dazukommen, also ein Gleichungssystem und warum?

Gruß
Takota


Bezug
                                        
Bezug
Satz Implizite Funktion System: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Fr 03.08.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
Bezug
Satz Implizite Funktion System: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 Fr 20.07.2018
Autor: Takota

Hallo. Ich versuche ja gerade mir plausibel zu machen, warum beim Satz für implizit definierte Funktionen die Determinante benötigt wird.

Für den Beweis wird, so weit ich sehe, das Newton-Verfahren verwendet, das ja eben vorausetzt, daß die Determinante ("Jacobimatrix") ungleich Null ist. D.h., das mit diesem Verfahren, wenn alle Ableitungen vorhanden sind, es möglich ist, die impliziten Funktionen numerisch anzunähern.
Ich denke mal, das diese Annäherungen auch gegen die Funktionswerte konvergieren? Wobei ich mich frage, inwieweit hier auch die Determinante bei der Konvergenz eine Rolle spielt? Im Satz genügt es ja als Voraussetzung, daß die Determinante [mm] $\ne [/mm] 0$ ist und damit die impliziten Funktionen existieren.

Kann mich bitte jemand weiter aufklären?

LG
Takota

Bezug
                                
Bezug
Satz Implizite Funktion System: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:15 Sa 21.07.2018
Autor: fred97


> Hallo. Ich versuche ja gerade mir plausibel zu machen,
> warum beim Satz für implizit definierte Funktionen die
> Determinante benötigt wird.
>
> Für den Beweis wird, so weit ich sehe, das
> Newton-Verfahren verwendet, das ja eben vorausetzt, daß
> die Determinante ("Jacobimatrix") ungleich Null ist. D.h.,
> das mit diesem Verfahren, wenn alle Ableitungen vorhanden
> sind, es möglich ist, die impliziten Funktionen numerisch
> anzunähern.
> Ich denke mal, das diese Annäherungen auch gegen die
> Funktionswerte konvergieren? Wobei ich mich frage,
> inwieweit hier auch die Determinante bei der Konvergenz
> eine Rolle spielt? Im Satz genügt es ja als Voraussetzung,
> daß die Determinante [mm]\ne 0[/mm] ist und damit die impliziten
> Funktionen existieren.
>  
> Kann mich bitte jemand weiter aufklären?

1. die Vor. über die Determinante benötigt  man im Beweis.

2. es gibt Beispiele in denen die fragliche Determinante =0 ist und keine implizit definierte Funktion existiert.


>  
> LG
>  Takota


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