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Satz der monotonen Konvergenz: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:18 So 22.11.2015
Autor: Septime

Aufgabe
Sei [mm] (O,A,\mu) [/mm] ein Maßraum. Zeige:
Ist [mm] f_n [/mm] eine nichtfallende Folge messbarer Funktionen und gilt [mm] \integral_{}^{}{(f^-)_1 d\mu} [/mm] < [mm] \infty [/mm] , so folgt
[mm] \integral_{}^{}{\limes_{n\rightarrow\infty}f_n d\mu}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{}^{}{f_n d\mu} [/mm]


Nun weiß ich ersteinmal die Definition von "nichtfallende" Folge nicht. Lautet sie [mm] \exists n_0 \in \IN [/mm] : [mm] f_n \ge [/mm] f_(n+1) für alle x mit n [mm] \ge n_0 [/mm] oder ist das einfach ein anderer Begriff für monoton wachsend?

Wir haben den Satz von Beppo Levi bereits in der Vorlesung bewiesen und wenn die Definition oben so stimmt, kann man doch die eine Richtung aus der Monotonie des Integrals für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] folgern und für die Rückrichtung könnte man den Negativteil der Funktion ersteinmal ignorieren und dann eine Folge einfacher Funktionen bauen, die gegen dieses f konvergieren und kleiner als die fn's sind. Wenn nichtfallend heißt, dass die Funktionen monoton wachsend sind, wissen wir doch, dass das Integral des negativen Teils immer endlich ist und dann ist die rechte Seite definiert und dann folgt doch das Gewünschte oder nicht?

Ich bedanke mich im Voraus.

Gruß Septime

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: []hier

        
Bezug
Satz der monotonen Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:38 Mo 23.11.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> oder ist das einfach ein
> anderer Begriff für monoton wachsend?

Ja.

>  die eine Richtung [...] für die Rückrichtung

Ich sehe keine Richtungen.....

Was ist denn hier der Unterschied zum Satz von Beppo Levi?
Und du solltest mal hier schauen, da wurde eine ähnliche Aufgabe bereits besprochen.

Gruß
Gono

Bezug
        
Bezug
Satz der monotonen Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:46 Mo 23.11.2015
Autor: fred97


> Sei [mm](O,A,\mu)[/mm] ein Maßraum. Zeige:
>  Ist [mm]f_n[/mm] eine nichtfallende Folge messbarer Funktionen und
> gilt [mm]\integral_{}^{}{(f^-)_1 d\mu}[/mm] < [mm]\infty[/mm] , so folgt
>  [mm]\integral_{}^{}{\limes_{n\rightarrow\infty}f_n d\mu}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{}^{}{f_n d\mu}[/mm]
>  
> Nun weiß ich ersteinmal die Definition von "nichtfallende"
> Folge nicht. Lautet sie [mm]\exists n_0 \in \IN[/mm] : [mm]f_n \ge[/mm]
> f_(n+1) für alle x mit n [mm]\ge n_0[/mm] oder ist das einfach ein
> anderer Begriff für monoton wachsend?

Das letzte: [mm] f_n \le f_{n+1} [/mm]



>  
> Wir haben den Satz von Beppo Levi bereits in der Vorlesung
> bewiesen und wenn die Definition oben so stimmt, kann man
> doch die eine Richtung aus der Monotonie des Integrals für
> alle n [mm]\ge n_0[/mm] folgern und für die Rückrichtung könnte
> man den Negativteil der Funktion ersteinmal ignorieren und
> dann eine Folge einfacher Funktionen bauen, die gegen
> dieses f konvergieren und kleiner als die fn's sind. Wenn
> nichtfallend heißt, dass die Funktionen monoton wachsend
> sind, wissen wir doch, dass das Integral des negativen
> Teils immer endlich ist und dann ist die rechte Seite
> definiert und dann folgt doch das Gewünschte oder nicht?




Setze [mm] g_n:=f_n+f_1^{-} [/mm]

Dann gilt

    0 [mm] \le g_n \le g_{n+1} [/mm]  für alle n [mm] \in \IN. [/mm]

Wende nun Beppo-Levi auf [mm] (g_n) [/mm] an.

FRED

>  
> Ich bedanke mich im Voraus.
>  
> Gruß Septime
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> []hier


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