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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Do 27.09.2007 | | Autor: | InoX |
Hallo,
Ich muss für ein Proseminar unter anderem den Beweis des folgenden Satzes richtig verstehen.
Quelle: M.Klemm Symmetrien von Ornamenten und Kristallen.
Hier Satz und Beweis aus dem Buch:
Satz
Sei $G$ eine Bewegungsgruppe. Sei [mm] $B:=\{Xu~|~X\in G\}, |B|=m\in\mathbb{N}$
[/mm]
die Bahn von [mm] $u\in \mathbb{R}^n$ [/mm] und [mm] $s:=\frac{1}{m}\sum\limits_{v\in B} [/mm] v$
der Schwerpunkt von $B$,
dann gilt: [mm] $$\forall M\in [/mm] G: Ms=s.$$
Beweis:
Sei $M=T_wH, [mm] H\in [/mm] O(n)$ eine Bewegung. Wegen $GB=M(Gu)=(MG)u=Gu=B$
gilt:
[mm] $Ms=w+\frac{1}{m}\sum\limits_{v\in B} (w+Hv)=\frac{1}{m}\sum\limits_{v\in B} [/mm] Mv=B.$
Beim Beweis von dem Satz haben wir nur benutzt, daß $G$ eine Gruppe von affinen Automorphismen ist.
Nun Meine Fragen:
1. Wo genau wurde benutzt, dass $G$ eine Gruppe von affinen Automorphismen ist (Insbesondere interessiert mich auch welche der
möglichen Definitionen für affine Automorphismen genommen wurde)?
2. Warum gilt die folgende Gleichheit $M(Gu)=(MG)u$ ?
3. Wieso gilt $(MG)u=Gu$ und nicht nur [mm] $(MG)u\subseteq [/mm] Gu$ ?
Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß Martin.
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> Satz
> Sei [mm]G[/mm] eine Bewegungsgruppe. Sei [mm]B:=\{Xu~|~X\in G\}, |B|=m\in\mathbb{N}[/mm]
>
> die Bahn von [mm]u\in \mathbb{R}^n[/mm] und
> [mm]s:=\frac{1}{m}\sum\limits_{v\in B} v[/mm]
> der Schwerpunkt von
> [mm]B[/mm],
> dann gilt: [mm]\forall M\in G: Ms=s.[/mm]
>
> Beweis:
> Sei [mm]M=T_wH, H\in O(n)[/mm] eine Bewegung. Wegen
> [mm]GB=M(Gu)=(MG)u=Gu=B[/mm]
> gilt:
> [mm]Ms=w+\frac{1}{m}\sum\limits_{v\in B} (w+Hv)=\frac{1}{m}\sum\limits_{v\in B} Mv=B.[/mm]
>
> Beim Beweis von dem Satz haben wir nur benutzt, daß [mm]G[/mm] eine
> Gruppe von affinen Automorphismen ist.
>
> Nun Meine Fragen:
>
> 1. Wo genau wurde benutzt, dass [mm]G[/mm] eine Gruppe von affinen
> Automorphismen ist (Insbesondere interessiert mich auch
> welche der
> möglichen Definitionen für affine Automorphismen genommen
> wurde)?
Hallo,
es wird da folgendes verwendet:
Es ist A affiner Automorphismus genau dann, wenn es ein [mm] u\in [/mm] V gibt und ein [mm] H\in [/mm] GL(V) mit [mm] A=T_{u}H.
[/mm]
Im meinem Buch (v. 1982) ist das die Folgerung 1,12.
Ist etwas blöd, das kommt erst nach dem Satz, den Du gerade bearbeitest.
Was sie Dir mitteilen wollen ist folgendes: M ist ja [mm] \in \cal{G}. [/mm] Da [mm] \cal{G} [/mm] als Untergruppe von A0(V) eine Bewegungsgruppe ist, läßt sich [mm] M\in \cal{G} [/mm] schreiben als [mm] T_{w}H [/mm] für ein [mm] w\in [/mm] V und für ein [mm] H\in [/mm] 0(V).
Und nun wird einfach gerechnet:
[mm] Gs=T_wHs=T_wH(\frac{1}{m}\sum\limits_{v\in B} [/mm] v)
[mm] =T_{w}\frac{1}{m}H(\sum\limits_{v\in B} [/mm] v), denn H ist als Element von GL(V) linear
[mm] =T_{w}\frac{1}{m}\sum\limits_{v\in B}(H [/mm] v), wieder Linearität
usw. (ich denke, daß Du das selbst hinbekommst.)
>
> 2. Warum gilt die folgende Gleichheit [mm]M(Gu)=(MG)u[/mm] ?
Das ist die Nacheinanderausführung v. Abbildungen:
Sei [mm] x\in M(\cal{G} [/mm] u). Dann gibt es ein [mm] G\in \cal{G} [/mm] mit x=M(Gu)=(MG)u <==> [mm] x\in (M\cal{G}) [/mm] u.
(das ist wie [mm] f(g(x))=(f\circ [/mm] g)(x).
>
> 3. Wieso gilt [mm](MG)u=Gu[/mm] und nicht nur [mm](MG)u\subseteq Gu[/mm] ?
[mm] \cal{G} [/mm] u [mm] \subseteq (M\cal{G}) [/mm] u, gilt, weil [mm] \cal{G} [/mm] eine Gruppe ist:
[mm] M\in \cal{G}
[/mm]
Sei G [mm] \in \cal{G}. [/mm] Dann gibt es ein [mm] G'\in \cal{G} [/mm] mit G=MG' ==> [mm] G\in M\cal{G}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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