Satz über impl. Fkt. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Sa 02.06.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | Wir betrachten die Funktion
[mm] F:\IR^2\times \IR^3\to \IR^3, (u,v,x,y,z)\mapsto \vektor{x^2-ycos(uv)+z^2 \\ x^2+y^2-sin(uv)+2z^2-2 \\ xy-sin(u)cos(v)+z}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass für (a,b) = [mm] (\bruch{\pi}{2},0,1,1,0) [/mm] die Voraussetzungen zur Anwendung des Hauptsatzes über implizite Funktionen erfüllt sind und bestimmen Sie [mm] $\partial [/mm] g(a)$, wobei g die lokale Auflösungsfunktion bezeichnet. |
Hallo,
Es existieren [mm] U_1 \subseteq \IR^2,\; U_2 \subseteq \IR^3 [/mm] mit [mm] U_1=\IR^2, U_2=\IR^3 [/mm] und [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] sind offene Mengen.
Es existiert weiter eine Funktion [mm] F:U_1\times U_2\to \IR^3; [/mm] sie ist stetig part. diffbar, da die Jacobi-Matrix
[mm] $\partial F(a,b)=\partial F(\bruch{\pi}{2},0,1,1,0)=\partial \vektor{0 \\ 0 \\ 0}=0$ [/mm] (Nullmatrix) in jedem Eintrag stetig ist, d.h. alle part. Abl. sind stetig.
Es gilt [mm] $a=(\bruch{\pi}{2},0)\in U_1$ [/mm] und [mm] $b=(1,1,0)\in U_2 [/mm] mit F(a,b)=0 und det [mm] \partial_y [/mm] F(a,b)=0.
Also wenn ich (a,b) in F einsetze kommt ein dreidimensionaler Nullvektor raus, das heißt doch auch, dass alle part. Ableitungen in dem Punkt immer Null sind, richtig? Aber in den Voraussetzungen des Satzes steht, dass [mm] $det\; \partial_y\; F(a,b)\not=0$.
[/mm]
Könnt ihr mir erklären was ich falsch gemacht habe und evtl. einen Ansatz für die berechnung von g geben?
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Hallo triad,
> Wir betrachten die Funktion
> [mm]F:\IR^2\times \IR^3\to \IR^3, (u,v,x,y,z)\mapsto \vektor{x^2-ycos(uv)+z^2 \\ x^2+y^2-sin(uv)+2z^2-2 \\ xy-sin(u)cos(v)+z}.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass für (a,b) = [mm](\bruch{\pi}{2},0,1,1,0)[/mm] die
> Voraussetzungen zur Anwendung des Hauptsatzes über
> implizite Funktionen erfüllt sind und bestimmen Sie
> [mm]\partial g(a)[/mm], wobei g die lokale Auflösungsfunktion
> bezeichnet.
> Hallo,
>
> Es existieren [mm]U_1 \subseteq \IR^2,\; U_2 \subseteq \IR^3[/mm]
> mit [mm]U_1=\IR^2, U_2=\IR^3[/mm] und [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] sind offene
> Mengen.
> Es existiert weiter eine Funktion [mm]F:U_1\times U_2\to \IR^3;[/mm]
> sie ist stetig part. diffbar, da die Jacobi-Matrix
> [mm]\partial F(a,b)=\partial F(\bruch{\pi}{2},0,1,1,0)=\partial \vektor{0 \\ 0 \\ 0}=0[/mm]
> (Nullmatrix) in jedem Eintrag stetig ist, d.h. alle part.
> Abl. sind stetig.
> Es gilt [mm]$a=(\bruch{\pi}{2},0)\in U_1$[/mm] und [mm]$b=(1,1,0)\in U_2[/mm]
> mit F(a,b)=0 und det [mm]\partial_y[/mm] F(a,b)=0.
>
> Also wenn ich (a,b) in F einsetze kommt ein
> dreidimensionaler Nullvektor raus, das heißt doch auch,
> dass alle part. Ableitungen in dem Punkt immer Null sind,
Nein, das heisst es nicht.
> richtig? Aber in den Voraussetzungen des Satzes steht, dass
> [mm]det\; \partial_y\; F(a,b)\not=0[/mm].
>
Zu prüfen ist, ob die Funktionaldeterminante von
[mm]\vmat{\bruch{\partial F}{\partial x}, \ \bruch{\partial F}{\partial y}, \ \bruch{\partial F}{\partial z}}\left(\bruch{\pi}{2},0,1,1,0\right)[/mm]
nicht verschwindet.
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> Könnt ihr mir erklären was ich falsch gemacht habe und
> evtl. einen Ansatz für die berechnung von g geben?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 So 03.06.2012 | | Autor: | triad |
Wir hatten [mm] $\partial_y F(a,b)=\pmat{\partial_{y_1} F_1(a,b) & \cdots & \partial_{y_m} F_1(a,b) \\ \vdots & & \vdots \\ \partial_{y_1} F_m(a,b) & \cdots & \partial_{y_m} F_m(a,b)}$ [/mm] in der Vorlesung, ich nehme an das ist diese Funktionalmatrix-dings und jetzt versteh ich
auch, was z.B. [mm] \partial_{y_1} [/mm] F(a,b) bedeutet, nämlich ist das y aus (x,y) der Vektor [mm] y=(y_1,\; \ldots\; ,y_m) [/mm] bzw. hier das b aus (a,b) der Vektor b=(x,y,z), also [mm] b_1=x [/mm] etc., richtig?
Demnach ist die Determinante von [mm] \partial_y F(a,b)=\pmat{ \partial_x F_1(a,b) & \partial_y F_1(a,b) & \partial_z F_1(a,b) \\ \partial_x F_2(a,b) & \partial_y F_2(a,b) & \partial_z F_2(a,b) \\ \partial_x F_3(a,b) & \partial_y F_3(a,b) & \partial_z F_3(a,b) } [/mm] zu berechnen, und zwar muss man erst ableiten und dann
(x,y,z)=(1,1,0) einsetzten, denn sonst landet man ja wieder bei Null in jedem Eintrag, sehe ich das auch richtig?
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Hallo triad,
> Wir hatten [mm]\partial_y F(a,b)=\pmat{\partial_{y_1} F_1(a,b) & \cdots & \partial_{y_m} F_1(a,b) \\ \vdots & & \vdots \\ \partial_{y_1} F_m(a,b) & \cdots & \partial_{y_m} F_m(a,b)}[/mm]
> in der Vorlesung, ich nehme an das ist diese
> Funktionalmatrix-dings und jetzt versteh ich
>
> auch, was z.B. [mm]\partial_{y_1}[/mm] F(a,b) bedeutet, nämlich ist
> das y aus (x,y) der Vektor [mm]y=(y_1,\; \ldots\; ,y_m)[/mm] bzw.
> hier das b aus (a,b) der Vektor b=(x,y,z), also [mm]b_1=x[/mm] etc.,
> richtig?
>
> Demnach ist die Determinante von [mm]\partial_y F(a,b)=\pmat{ \partial_x F_1(a,b) & \partial_y F_1(a,b) & \partial_z F_1(a,b) \\ \partial_x F_2(a,b) & \partial_y F_2(a,b) & \partial_z F_2(a,b) \\ \partial_x F_3(a,b) & \partial_y F_3(a,b) & \partial_z F_3(a,b) }[/mm]
> zu berechnen, und zwar muss man erst ableiten und dann
>
> (x,y,z)=(1,1,0) einsetzten, denn sonst landet man ja wieder
> bei Null in jedem Eintrag, sehe ich das auch richtig?
>
Ja.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Mo 04.06.2012 | | Autor: | it123 |
Ich habe noch eine Frage zu den partiellen Ableitungen:
Muss ich jede Komponente nur nach u und v ableiten, oder auch noch nach x,y,z?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Mo 04.06.2012 | | Autor: | triad |
> Ich habe noch eine Frage zu den partiellen Ableitungen:
> Muss ich jede Komponente nur nach u und v ableiten, oder
> auch noch nach x,y,z?
Das kommt drauf an, was du betrachtest. In [mm] $\partial_x [/mm] F(a,b)$ stehen in der ersten Spalte die partiellen Ableitungen nach u von jeder Komponenten von F(a,b) und in der zweiten Spalte die partiellen Ableitungen nach v von jeder Komponente von F(a,b).
$ [mm] \partial_y [/mm] F(a,b) $ habe ich schon hingeschrieben: [mm] \pmat{ \partial_x F_1(a,b) & \partial_y F_1(a,b) & \partial_z F_1(a,b) \\ \partial_x F_2(a,b) & \partial_y F_2(a,b) & \partial_z F_2(a,b) \\ \partial_x F_3(a,b) & \partial_y F_3(a,b) & \partial_z F_3(a,b) }.
[/mm]
Und wie ich oben schon festgestellt hatte ist der Vektor (a,b)=(u,v,x,y,z) sozusagen eine Zusammensetzung aus den Vektoren [mm] a=(u,v)\in\IR^2 [/mm] und [mm] b=(x,y,z)\in\IR^3.
[/mm]
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