matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenReelle Analysis mehrerer VeränderlichenSatz über implizit def. Funkt.
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Real Analysis (Mulitvariable)" - Satz über implizit def. Funkt.
Satz über implizit def. Funkt. < Real Analysis (Mulitvariable) < Real Analysis < Uni-Calculus < University < Maths <
View: [ threaded ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ all forums  | ^ Tree of Forums  | materials

Satz über implizit def. Funkt.: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Date: 02:42 Sa 03/02/2018
Author: X3nion

Hallo zusammen!

Ich verstehe ein paar Dinge beim Satz über implizit definierte Funktionen nicht, wie er im Forster geführt wird und würde mich freuen, wenn jemand die Zeit findet, mich aufzuklären! :-)
Insgesamt sind es 5 Fragen.

Farblegende:

Farbe Rot ist eine Stelle des Beweises, die ich nicht verstehe,
Farbe Blau meine Frage dazu,
und Schwarz ist der normale Beweistext, den ich verstanden habe, aber für den Kontext notiert.

[u]Satz [u]: Seien $ [mm] U_{1} \subset \IR^{k} [/mm] $ und $ [mm] U_{2} \subset \IR^{m} [/mm] $ offene Teilmengen und

F: $ [mm] U_{1} [/mm] $ x $ [mm] U_{2} \to \IR^{m}, [/mm] $ (x,y) $ [mm] \mapsto [/mm] $ F(x,y),

eine stetig differenzierbare Abbildung. Sei (a,b) $ [mm] \in U_{1} [/mm] $ x $ [mm] U_{2} [/mm] $ ein Punkt mit

F(a,b) = 0.

Die m x m Matrix

$ [mm] \frac{\partial F}{\partial y} [/mm] $ := $ [mm] \frac{\partial(F_{1}, ..., F_{m})}{\partial (y_{1}, ..., y_{m})} [/mm] $ := $ [mm] \pmat {\frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}} & ... & \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{m}} \\ ... & ... & ... \\ \frac{\partial F_{m}}{\partial y_{1}} & ... & \frac{\partial F_{m}}{\partial y_{m}}} [/mm] $

sei im Punkt (a,b) invertierbar. Dann gibt es eine offene Umgebung $ [mm] V_{1} \subset U_{1} [/mm] $ von a, eine Umgebung $ [mm] V_{2} \subset U_{2} [/mm] $ von b sowie eine stetig differenzierbare Abbildung g: $ [mm] V_{1} \to V_{2} \subset \IR^{m} [/mm] $ mit g(a) = b, so dass

F(x, g(x)) = 0 $ [mm] \forall [/mm] $ x $ [mm] \in V_{1}. [/mm] $

Ist (x,y) $ [mm] \in V_{1} [/mm] $ x $ [mm] V_{2} [/mm] $ ein Punkt mit F(x,y) = 0, so folgt y = g(x).

Beweis

a)
O.B.d.A. sei (a,b) = (0,0).

Ist es hier so, dass für den Beweis eine allgemeine Funktion koordinatenweise so verschoben wird, dass man den Nullpunkt betrachtet?

Wir setzen

B := [mm] \frac{\partial F}{\partial y} [/mm] (0,0) [mm] \in [/mm] GL(m, [mm] \IR) [/mm]

Was bedeutet die Abkürzung GL(m, [mm] \IR)? [/mm]

und definieren die Abbildung G: [mm] U_{1} [/mm] x [mm] U_{2} \to \IR^{m} [/mm] durch

(1) G(x,y) := y - [mm] B^{-1}F(x,y). [/mm]

Da [mm] \frac{\partial G}{\partial y}(x,y) [/mm] = 𝟙 - [mm] B^{1} \frac{\partial F}{\partial y}(x,y), [/mm] wobei 𝟙 die m-reihige Einheitsmatrix bezeichnet, folgt

[mm] \frac{\partial G}{\partial y}(0,0) [/mm] = 0.

Da alle Komponenten der Matrix [mm] \frac{\partial G}{\partial y} [/mm] stetige Funktionen sind, gibt es Nullumgebungen [mm] W_{1} \subset U_{1} [/mm] und [mm] W_{2} \subset U_{2}, [/mm] so dass

(2) [mm] \parallel \frac{\partial G}{\partial y}(x,y) \parallel \le \frac{1}{2} [/mm] für alle (x,y) [mm] \in W_{1} [/mm] x [mm] W_{2}. [/mm]

Wir wählen ein r > 0, so dass

[mm] V_{2} [/mm] := [mm] \{y \in \IR^{m}: ||y|| \le r \} \subset W_{2}. [/mm]

Da G(0,0) = 0, gibt es eine offene Nullumgebung [mm] V_{1} \subset W_{1}, [/mm] so dass

(3)  [mm] \sup_{x \in V_{1}} [/mm] ||G(x,0)|| =: [mm] \epsilon \le \frac{r}{2}. [/mm]

Aus der Definition (1) folgt

F(x,y) = 0 <=> y = G(x,y)

folglich wurde die Lösung der Gleichung F(x,y) = 0 in ein Fixpunktproblem verwandelt.

Aus der Abschätzung (2) folgt für alle x [mm] \in V_{1} [/mm] und y, [mm] \eta \in V_{2} [/mm]

(4)
||G(x,y) - [mm] G(x,\eta)|| \le \frac{1}{2} [/mm] ||y - [mm] \eta|| [/mm]

Wieso folgt die Abschätzung (4) aus (2) ?

Setzt man [mm] \eta [/mm] = 0, so ergibt sich zusammen mit (3) für alle x [mm] \in V_{1}: [/mm]

(5) ||y|| [mm] \le [/mm] r => ||G(x,y)|| [mm] \le [/mm] r


b)

Für jeder feste x [mm] \in V_{1} [/mm] ist die Abbildung

y [mm] \mapsto [/mm] G(x,y) [mm] \in \IR^{m} [/mm] mit y [mm] \in V_{2} [/mm]

wegen (5) eine Abbildung der abgeschlossenen Kugel [mm] V_{2} \subset \IR^{m} [/mm] in sich, die nach (4) eine Kontraktion ist, also nach dem Banachschen Fixpunktsatz genau einen Fixpunkt hat.
=> [mm] \forall [/mm] x [mm] \in V_{1} [/mm] existiert genau ein y = g(x) [mm] \in V_{2}, [/mm] so dass G(x,y) = y, also F(x,g(x)) = 0.

c)

Es wird die Stetigkeit der in b) konstruierten Abbildung g: [mm] V_{1} \to V_{2} [/mm] gezeigt. Dazu wende man den Banachschen Fixpunktsatz auf den Banachraum [mm] C_{b}(V_{1}, \IR^{m}) [/mm] aller stetigen und beschränkten Abbildungen [mm] \phi: V_{1} \to \IR^{m} [/mm] an. Falls

[mm] ||\phi|| [/mm] := [mm] sup\{||\phi(x)||: x \in V_{1}\} \le [/mm] r,

so gilt für die durch

x [mm] \to \psi(x) [/mm] := G(x, [mm] \phi(x)) \in \IR^{m} [/mm] (x [mm] \in V_{1}) [/mm]

definierte stetige Abbildung [mm] \psi: V_{1} \to \IR^{m} [/mm] nach (5) ebenfalls [mm] ||\psi|| \le [/mm] r, die Zuordnung [mm] \phi \to \psi [/mm] liefert also eine Abbildung [mm] \theta [/mm] der abgeschlossenen Teilmenge

A:= [mm] \{\phi \in C_{b}(V_{1}, \IR^{m}): ||\phi|| \le r \} [/mm] = [mm] \{\phi \in C_{b}(V_{1}, \IR^{m}): \phi(V_{1}) \subset V_{2} \} [/mm] in sich

Aus (4) folgt für [mm] \phi_{1}, \phi_{2} \in [/mm] A

[mm] ||\theta(\phi_{1}) [/mm] - [mm] \theta(\phi_{2})|| [/mm] = [mm] sup_{x \in V_{1}} [/mm] ||G(x, [mm] \phi_{1}(x)) [/mm] - G(x, [mm] \phi_{2}(x))|| \le \frac{1}{2} sup_{x \in V_{1}} [/mm] || [mm] \phi_{1}(x) [/mm] - [mm] \phi_{2}(x)|| [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \parallel \phi_{1} [/mm] - [mm] \phi_{2} \parallel [/mm]


Wieso ist [mm] ||\theta(\phi_{1}) [/mm] - [mm] \theta(\phi_{2})|| [/mm] = [mm] sup_{x \in V_{1}} [/mm] ||G(x, [mm] \phi_{1}(x)) [/mm] - G(x, [mm] \phi_{2}(x))|| [/mm] ?

Insgesamt ist [mm] \theta: [/mm] A [mm] \to [/mm] A also eine Kontraktion und besitzt deshalb genau einen Fixpunkt g [mm] \in [/mm] A [mm] \subset C_{b}(V_{1}, \IR^{m}). [/mm] Diese Stetige Abbildung g: [mm] V_{1} \to V_{2} [/mm] erfüllt G(x,g(x)) = g(x), also F(x,g(x)) = 0 für alle x [mm] \in V_{1}. [/mm]


d) Nach evtl. Verkleinerung von [mm] V_{1} [/mm] kann angenommen werden, dass die Matrix [mm] \frac{\partial F}{\partial y} [/mm] in jedem Punkt (x,g(x)), x [mm] \in V_{1}, [/mm] invertierbar ist. Es wird nun die Differenzierbarkeit von g: [mm] V_{1} \to \IR^{m} [/mm] gezeigt.

Es genügt, den Beweis von g im Nullpunkt 0 [mm] \in V_{1} \subset \IR^{k} [/mm] zu führen (für die anderen Punkte geht der Beweis analog).

Man setze A:= [mm] \frac{\partial F}{\partial x}(0,0) \in [/mm] M(m x k, [mm] \IR), [/mm]

B:= [mm] \frac{\partial F}{\partial y}(0,0) \in GL(m,\IR). [/mm]

Aus der Definition der Differenzierbarkeit von F im Punkt (0,0) folgt

F(x,y) = Ax + By + [mm] \phi(x,y) [/mm] mit [mm] \phi(x,y) [/mm] = [mm] o(\parallel [/mm] x,y [mm] \parallel) [/mm]


Das hier verstehe ich nicht. Die Definition der Diff.barkeit lautet ja, dass in einer Umgebung von x gilt:

f(x + [mm] \xi) [/mm] = f(x) + [mm] A\xi [/mm] + [mm] \phi(\xi) [/mm] mit [mm] \phi(\xi) [/mm] = [mm] o(||\xi||). [/mm]



..... Den Rest vom Beweis verstehe ich!



Wie immer bin ich euch sehr dankbar wenn ihr mir helfen könnt!


Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Satz über implizit def. Funkt.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 15:20 Di 06/02/2018
Author: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
View: [ threaded ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ all forums  | ^ Tree of Forums  | materials


Alle Foren
Status vor 0m 14. donp
VK60Ana/Übungsserie 2, Aufgabe 3
Status vor 9h 04m 11. tobit09
UTopoGeo/indirekter Beweis
Status vor 11h 47m 8. sancho1980
MSons/Abschätzung Kreisfunktionen
Status vor 12h 36m 3. Chris84
Mathematica/Mathematica
Status vor 16h 15m 14. fred97
UAnaRn/Hinreich. Potentialkriterium
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]