Satz vom Maximum < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Di 20.11.2007 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Für n [mm] \in \IN [/mm] bezeichne [mm] C_{0}(\IR^{n}) [/mm] den Raum der " im Unendlichen verschwindenden" stetigen Funktionen, d.h es handelt sich um diejenigen Funktionen [mm] f:\IR^{n} \to \IR [/mm] mit der Eigenschaft, dass für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 die Menge {x [mm] \in \IR^{n}||f(x)|\ge} [/mm] kompakt ist.
(a) Zeige: Jede Funktion f [mm] \in C_{0}(\IR^{n}) [/mm] besitzt ein Maximum. |
Hallo,
ich habe die Teilaufgabe (a) so verstanden, dass man hier den Satz vom Maximum benutzen soll. Um zu zeigen, dass jede Funktion f [mm] \in C_{0}(\IR^{n}) [/mm] ein Maximum besitzt, reicht es zu zeigen, dass [mm] \IR^{n} [/mm] ein kompakter metrischer Raum ist. Wenn diese Bedingung ausreicht, weiss ich immer noch nicht wie man das zeigt.
Kann mir bitte einen Tipp geben?
Gruss
Igor
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Hallo Igor,
> Für n [mm]\in \IN[/mm] bezeichne [mm]C_{0}(\IR^{n})[/mm] den Raum der " im
> Unendlichen verschwindenden" stetigen Funktionen, d.h es
> handelt sich um diejenigen Funktionen [mm]f:\IR^{n} \to \IR[/mm] mit
> (a) Zeige: Jede Funktion f [mm]\in C_{0}(\IR^{n})[/mm] besitzt ein
> Maximum.
> Hallo,
>
> ich habe die Teilaufgabe (a) so verstanden, dass man hier
> den Satz vom Maximum benutzen soll. Um zu zeigen, dass jede
> Funktion f [mm]\in C_{0}(\IR^{n})[/mm] ein Maximum besitzt, reicht
> es zu zeigen, dass [mm]\IR^{n}[/mm] ein kompakter metrischer Raum
> ist. Wenn diese Bedingung ausreicht, weiss ich immer noch
> nicht wie man das zeigt.
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> Kann mir bitte einen Tipp geben?
>
> Gruss
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> Igor
es ist doch so: die funktionen in [mm] $C_0$ [/mm] unterscheiden sich nur auf kompakten mengen wesentlich von 0. gibst du jetzt ein [mm] $\epsilon>0$ [/mm] vor, so ist [mm] $\{x:|f(x)|>\epsilon\}$ [/mm] kompakt. auf dieser menge (sie ist kompakt!) nimmt $f$ also ihr maximum an. Wie das maximum der funktion auf dem rest des [mm] $R^n$ [/mm] aussieht, weisst du aber auch (wie naemlich?). Also kannst du auch folgern, dass f auf dem ganzen raum ein maximum hat.
gruss
matthias
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