Satz vom regulären Wert < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man widerlege oder beweise folgende „Umkehrung“ des Satzes vom „regulären Wert“ :
Sei U Teilmenge des [mm] \IR^{n} [/mm] offen, f : U [mm] \to \IR^{n-k} [/mm] eine C1-Abbildung und M die Nullstellenmenge von f, M: = {x [mm] \in [/mm] U : f(x) = 0}. Gilt die Abschätzung Rang(Df(x)) < n − k für mindestens ein x [mm] \in [/mm] M, so ist M keine C1-Untermannigfaltigkeit. |
hallo zusammen,
ich bereite mich gerade auf das thema untermannigfaltigkeiten im rahmen von ana2 vor und hab obige aufgabe im netz gefunden.
ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich würde sagen die angebotene "negation" ist korrekt bis auf den fall von einzelnen Punkten als 0-dim. UMFkeiten. oder vergesse ich da etwas?
ich weiß, ist jetzt keine mathematische argumentation dabei, aber wenn einer einfach ja oder nein sagen könnte...?
vielen dank,
hannes
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Hallo karlhungus,
was sprach dagegen, die 3 Zeilen Aufgabenstellung abzutippen??
Mensch, Mensch ...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Mo 26.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Man widerlege oder beweise folgende „Umkehrung“ des
> Satzes vom „regulären Wert“ :
> Sei U Teilmenge des [mm]\IR^{n}[/mm] offen, f : U [mm]\to \IR^{n-k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> eine C1-Abbildung und M die Nullstellenmenge von f, M: = {x
> [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U : f(x) = 0}. Gilt die Abschätzung Rang(Df(x)) < n
> − k für mindestens ein x [mm]\in[/mm] M, so ist M keine
> C1-Untermannigfaltigkeit.
>
> ich bereite mich gerade auf das thema
> untermannigfaltigkeiten im rahmen von ana2 vor und hab
> obige aufgabe im netz gefunden.
> ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich würde sagen die
> angebotene "negation" ist korrekt bis auf den fall von
> einzelnen Punkten als 0-dim. UMFkeiten. oder vergesse ich
> da etwas?
Du vergisst das was. Nimm doch mal ein ganz einfaches $M$, z.B. $M = [mm] \{ (0, y) \in \IR^2 \mid y \in \IR \}$, [/mm] das ist garantiert eine [mm] $C^1$-Mannigfaltigkeit.
[/mm]
Jetzt gibt ein $f : [mm] \IR^2 \to \IR$ [/mm] an mit $M = [mm] f^{-1}(0)$. [/mm] Bzw. suche mehrere. Kannst du eins finden, welches 0 nicht als regulaeren Wert hat?
LG Felix
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moin,
> Jetzt gibt ein $ f : [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] $ an mit $ M = [mm] f^{-1}(0) [/mm] $. Bzw. suche
> mehrere.
> Kannst du eins finden, welches 0 nicht als
> regulaeren Wert hat?
hab gerade mal ein bisschen rumprobiert:
f(x,y)=x² erfüllt [mm] f^{-1}(0)=M, [/mm] aber [mm] Df(x,y)(v_{1},v_{2})=2xv_{1} [/mm] ist für x=0 nicht surjektiv, also ist 0 kein regulärer Wert, also ist der obige Satz nicht gültig, richtig?
auf jeden fall danke schön fürs antworten,
gruß,
hannes
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Mo 26.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Hannes,
> > Jetzt gibt ein [mm]f : \IR^2 \to \IR[/mm] an mit [mm]M = f^{-1}(0) [/mm].
> Bzw. suche
> > mehrere.
> > Kannst du eins finden, welches 0 nicht als
> > regulaeren Wert hat?
>
> hab gerade mal ein bisschen rumprobiert:
> f(x,y)=x² erfüllt [mm]f^{-1}(0)=M,[/mm] aber
> [mm]Df(x,y)(v_{1},v_{2})=2xv_{1}[/mm] ist für x=0 nicht surjektiv,
> also ist 0 kein regulärer Wert, also ist der obige Satz
> nicht gültig, richtig?
genau. Das war auch das Beispiel was ich im Kopf hatte ;)
LG Felix
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