Satz von Bayes vs Ereignisbaum < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Fr 20.02.2015 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | In der Mensa essen gewöhnlich 40% der Gäste keine Vorspeise, 35% keinen
Nachtisch und 15% weder Vorspeise noch Nachtisch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
1. ein Gast, der keinen Nachtisch wählt, auch keine Vorspeise nimmt?
2. ein Gast, der eine Vorspeise gewählt hat, auch noch einen Nachtisch nimmt? |
Hallo,
ich habe zwei unterschiedliche Herangehensweisen ausprobiert und bin bei beiden zu unterschiedlichen Ergebnissen gekommen, bin mir aber sicher, dass ich rein rechnerisch keinen Fehler gemacht habe. Bitte schau sich das jemand mal an:
Möglichkeit 1: Ereignisbaum
+--1/3--->N 0,2
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+---0,6--->V |
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| [mm] +--2/3--->\overline{N} [/mm] 0,4
o
| +--0,625->N 0,25
| |
[mm] +---0,4->\overline{V}| [/mm]
|
[mm] +--0,375->\overline{N} [/mm] 0,15
Dabei ist V: mit Vorspeise und N: mit Nachtisch, [mm] \overline{V} [/mm] und [mm] \overline{N} [/mm] bilden die entsprechenden Gegenereignisse.
Ich habe die Wahrscheinlichkeiten im Ereignisbaum entsprechend der Multiplikations- und Additionsregeln berechnet.
Demnach lautet die Lösung:
(1) 0,375
(2) 1/3
---------------------
So... jetzt zur rechnerischen Lösung
Ausgehend von folgenden aus der Aufgabenstellung hervorgehenden Ereignisse...
A = "keine Vorspeise" --> P(A) = 0,4
B = "kein Nachtisch" --> P(B) = 0,35
C = "weder Vorspeise, noch Nachtisch" --> P(C) = 0,15 = P(A [mm] \cap [/mm] B)
...lauten die Lösungen wie folgt:
(1)
P(A|B) = [mm] \bruch{P(A \cap B)}{P(B)} [/mm] (gemäß dem Gesetz der bedingten Wahrscheinlichkeit) und damit P(A|B) = [mm] \bruch{0,15}{0,35} [/mm] = [mm] \bruch{3}{7} [/mm] = 0,4285
Was nicht dem Ergebnis aus der "graphischen" Lösung entspricht.
Genauso mit Aufgabe (2)
[mm] P(\overline{B}|\overline{A}) [/mm] = [mm] \bruch{P(\overline{B} \cap \overline{A})}{P(\overline{A})} [/mm] = [mm] \bruch{P(\overline{B \cup A})}{P(\overline{A})} [/mm] = [mm] \bruch{1-P(B \cup A)}{P(\overline{A})} [/mm] = [mm] \bruch{1-(P(A)+P(B)-P(A \cap B))}{P(\overline{A})} [/mm] = ... = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
Was wieder nicht dem Ergebnis aus dem Baum entspricht...
Was mache ich falsch?
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 Fr 20.02.2015 | | Autor: | magics |
Die Vereinigungszeichen wurden nicht korrekt dargestellt... ist jetzt behoben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Fr 20.02.2015 | | Autor: | statler |
> In der Mensa essen gewöhnlich 40% der Gäste keine
> Vorspeise, 35% keinen
> Nachtisch und 15% weder Vorspeise noch Nachtisch. Wie
> groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
> 1. ein Gast, der keinen Nachtisch wählt, auch keine
> Vorspeise nimmt?
> 2. ein Gast, der eine Vorspeise gewählt hat, auch noch
> einen Nachtisch nimmt?
>
Hey du!
> ich habe zwei unterschiedliche Herangehensweisen
> ausprobiert und bin bei beiden zu unterschiedlichen
> Ergebnissen gekommen, bin mir aber sicher, dass ich rein
> rechnerisch keinen Fehler gemacht habe. Bitte schau sich
> das jemand mal an:
>
> Möglichkeit 1: Ereignisbaum
>
> +--1/3--->N 0,2
> |
> +---0,6--->V |
>
> | |
>
> | [mm]+--2/3--->\overline{N}[/mm] 0,4
>
> o
>
> | +--0,625->N 0,25
>
> | |
>
> [mm]+---0,4->\overline{V}|[/mm]
>
> |
>
> [mm]+--0,375->\overline{N}[/mm] 0,15
>
> Dabei ist V: mit Vorspeise und N: mit Nachtisch,
> [mm]\overline{V}[/mm] und [mm]\overline{N}[/mm] bilden die entsprechenden
> Gegenereignisse.
Wenn 35 % keinen Nachtisch nehmen, ist die 0,4 falsch. Da muß eine 0,2 hin, damit sich insgesamt 0,35 ergeben.
LG Dieter
Mit dem Rest habe ich mich nicht befaßt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Fr 20.02.2015 | | Autor: | rmix22 |
> (1)
> P(A|B) = [mm]\bruch{P(A \cap B)}{P(B)}[/mm] (gemäß dem Gesetz der
> bedingten Wahrscheinlichkeit) und damit P(A|B) =
> [mm]\bruch{0,15}{0,35}[/mm] = [mm]\bruch{3}{7}[/mm] = 0,4285
> Was nicht dem Ergebnis aus der "graphischen" Lösung
> entspricht.
...dafür aber richtig ist. Die 0,375 in deinem Bäumchen sind die Wkt dafür, dass jemand, der keine Vorspeise nimmt, auch keine Nachspeise ordert. Gefragt ist es aber genau andersrum.
>
> Genauso mit Aufgabe (2)
> [mm]P(\overline{B}|\overline{A})[/mm] = [mm]\bruch{P(\overline{B} \cap \overline{A})}{P(\overline{A})}[/mm]
> = [mm]\bruch{P(\overline{B \cup A})}{P(\overline{A})}[/mm] =
> [mm]\bruch{1-P(B \cup A)}{P(\overline{A})}[/mm] =
> [mm]\bruch{1-(P(A)+P(B)-P(A \cap B))}{P(\overline{A})}[/mm] = ... =
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
> Was wieder nicht dem Ergebnis aus dem Baum entspricht...
... nichtsdesttrotz aber richtig ist, weil in deinem Baum die 1/3 und 2/3 vertauscht gehören. Siehe dazu auch den Hinweis von statler.
> Was mache ich falsch?
Kann ich dir leider nicht sagen, da du nicht verrätst, wie du dir die Wkten im Baum überlegt hast.
Gruß Rmix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:58 Sa 21.02.2015 | | Autor: | magics |
Meine Überlegung, wie der Baum aufgebaut wird war folgende:
0,6 nehmen Vorspeise und 0,4 nehmen keine Vorspeise. Daraus ergiebt sich die erste Verzweigung des Baumes.
Dann weiß man, dass 0,15 keine Vorspeise und keinen Nachtisch nehmen. Also habe ich mir überlegt, dass das Multiplikationsergebnis von "keine Vorspeise" und "kein Nachtisch" 0,15 ergeben muss - was wohl offensichtlich falsch ist.
Normalerweise kann man doch bei Wahrscheinlichkeiten einen Baum konstruieren, dessen multiplizierte Wahrscheinlichkeiten entlang der Äste zur Gesamtwahrscheinlichkeit führen...!?
Das verstehe ich nicht, warum es hier anders ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:37 Sa 21.02.2015 | | Autor: | statler |
> Meine Überlegung, wie der Baum aufgebaut wird war
> folgende:
>
> 0,6 nehmen Vorspeise und 0,4 nehmen keine Vorspeise. Daraus
> ergiebt sich die erste Verzweigung des Baumes.
Ja, ok.
>
> Dann weiß man, dass 0,15 keine Vorspeise und keinen
> Nachtisch nehmen. Also habe ich mir überlegt, dass das
> Multiplikationsergebnis von "keine Vorspeise" und "kein
> Nachtisch" 0,15 ergeben muss - was wohl offensichtlich
> falsch ist.
Im Gegenteil, das ist offensichtlich korrekt.
>
> Normalerweise kann man doch bei Wahrscheinlichkeiten einen
> Baum konstruieren, dessen multiplizierte
> Wahrscheinlichkeiten entlang der Äste zur
> Gesamtwahrscheinlichkeit führen...!?
Eben. Aber von oben nach unten wird addiert, deswegen gehört an den anderen Pfad, der auf [mm] $\overline{N}$ [/mm] endet, eine 0,2. Und daraus ergibt sich der Rest des Baumes.
>
> Das verstehe ich nicht, warum es hier anders ist.
Isses ja nicht.
Gruß aus HH
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Sa 21.02.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Meine Überlegung, wie der Baum aufgebaut wird war
> folgende:
>
> 0,6 nehmen Vorspeise und 0,4 nehmen keine Vorspeise. Daraus
> ergiebt sich die erste Verzweigung des Baumes.
>
> Dann weiß man, dass 0,15 keine Vorspeise und keinen
> Nachtisch nehmen. Also habe ich mir überlegt, dass das
> Multiplikationsergebnis von "keine Vorspeise" und "kein
> Nachtisch" 0,15 ergeben muss - was wohl offensichtlich
> falsch ist.
Nein, bis hierher ist ja alles richtig. ich hab dir ja geschrieben, dass bei deinem Baum die oberen beiden Äste (1/3 <--> 2/3) falsch sind und vertauscht gehören. Leider hörst du in deiner Beschreibung auch jetzt genau da auf, wo es falsch wurde.
Außerdem kannst du die bei (1) verlangte Wkt in deinem Baum nicht ablesen - jedenfalls nicht so direkt, wie du es gerne gemacht hättest. Um das tun zun können müsstest du einen Baum erstellen, der bei der Nachspeise beginnt. Denn gefragt ist die Wkt, dass jemand, der keine Nachspeise nimmt, auch keine Vorspeise genommen hat. Ich hab nicht die 0.375 in deinem Baum moniert - die ist an der Stelle schon richtig, aber sie stellt die Wkt für ein anderes Ereignis dar als für jenes, dass unter (1) gefragt ist.
>
> Normalerweise kann man doch bei Wahrscheinlichkeiten einen
> Baum konstruieren, dessen multiplizierte
> Wahrscheinlichkeiten entlang der Äste zur
> Gesamtwahrscheinlichkeit führen...!?
Ja, eh!
> Das verstehe ich nicht, warum es hier anders ist.
Ist es ja nicht. Du musst dir nur über die konkrete Bedeutung der Wkten entlang der Äste im Klaren werden. Bei den zwei Ereignissen sind acht verschiedene bedingte Wahrscheinlichkeiten möglich, aber in deinem Baum siehst du nur vier davon direkt und zwar jene, bei denen bereits bekannt ist, ob die Vorspeise gewählt wurde oder nicht. Bei der gefragten Wkt ist aber bekannt, dass keine Nachspeise gewählt wurde.
Gruß Rmix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 So 22.02.2015 | | Autor: | magics |
Ich danke euch beiden!!!
Ich habe es jetzt endlich kapiert.
Hier sind nochmal die beiden korrekten Bäume, die sich jetzt endlich mit der 4-Feldertafel und den Berechnungen decken^^
[mm] +-0,375-->\overline{N} [/mm] 0,15
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[mm] +----0,4--->\overline{V}| [/mm]
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| +-0,625-->N 0,25
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O
| [mm] +-1/3---->\overline{N} [/mm] 0,2
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+----0,6------->V|
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+-2/3---->N 0,4
[mm] +-0,428-->\overline{V} [/mm] 0,15
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[mm] +----0,35-->\overline{N}| [/mm]
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| +-0,572-->V 0,2
|
O
| [mm] +-0,384-->\overline{V} [/mm] 0,25
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+----0,65------>N|
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+-0,616-->V 0,4
lg
Thomas
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