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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:12 Do 05.01.2012 | | Autor: | imzadi |
Guten Morgen,
ich habe folgendes Problem: ich muss zeigen,dass für ggT(f,g) f,g Polynome über dem Körper K, die Darstellung gibt:f*p+g*s=ggT(f,g),dabei sind p und s auch Polynome über K.
Der Beweis soll ausschließlich mit Euklidischen Algorithmus gehen , ohne Ideale. Ich weiß dass man rückwerts einsetzen muss, aber im allgemeinem Fall weiß ich nicht wie ich das ganze aufschreiben soll. Vielleicht kann mir jemand helfen.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Seiten gestellt.
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moin imzadi,
Wenn du bereits weißt, dass es für Polynome über einem Körper einen euklidischen Algorithmus gibt ist der Beweis recht kurz:
"Da es einen EA gibt, kann man diesen ausführen und dann rückwärts einsetzen; qed."
Wenn du noch nicht weißt oder noch nicht bewiesen hast, dass es einen EA für Polynome gibt, wäre das vielleicht ein lohnenswertes Ziel.
Davon abgesehen könntest du deinen Beweis vielleicht auch so aufziehen:
Sei $f = g + h$ (Division mit Rest, die allen Bedingungen des EA genügt).
Dann lässt sich $h$ als Linearkombination von $f$ und $g$ darstellen.
Somit lässt sich auch $p$ als so eine Linearkombination darstellen, wobei $p$ der Rest ist, den man bei $g = h + p$ erhält.
Iterativ weitergeführt lässt sich also auch der ggT, den man irgendwann als so einen Rest erhält, darstellen.
Für alle Fälle wäre es aber erstmal interessant zu wissen, wie ihr den EA definiert habt und was ihr bereits über den EA für Polynome wisst.
lg
Schadow
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