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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Satz von Cayley-Hamilton
Satz von Cayley-Hamilton < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Satz von Cayley-Hamilton: Hilfestellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:20 Do 04.02.2010
Autor: SnafuBernd

Aufgabe
Berechnen Sie für die Matrix
A = [mm] \pmat{ 2&2&2&-2\\ -1&-1&-1&3\\-2&-2&-1&0\\1&1&3&3& } [/mm]

die Matrix B = [mm] A^{10}-3A^{9}-A^{2}+4A [/mm]

mithilfe des Satzes von Cayley-Hamilton.


Hallo,

also ich habe erst mal heirfür das chara. Polynom von A berechnet.
[mm] p_{A} [/mm] = [mm] x^{4}-3x^{3}+x^{2}-3x [/mm]

Nach Hamilton ist ja deswegen:
[mm] A^{4}-3A^{3}+A^{2}-3A [/mm] = 0

Jetzt wäre ja der nächste Schritt diese Polynom aus B rauszuzeihen, damit man B leichter berechnen kann. Und hier komm ich nicht weiter... ich gehe davon aus und hoffe das mein char. Polynom richtig ist...

Snafu

        
Bezug
Satz von Cayley-Hamilton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:25 Do 04.02.2010
Autor: SEcki


> Berechnen Sie für die Matrix
> A = [mm]\pmat{ 2&2&2&-2\\ -1&-1&-1&3\\-2&-2&-1&0\\1&1&3&3& }[/mm]
>  
> die Matrix B = [mm]A^{10}-3A^{9}-A^{2}+4A[/mm]
>  
> mithilfe des Satzes von Cayley-Hamilton.
>  
>
> Hallo,
>  
> also ich habe erst mal heirfür das chara. Polynom von A
> berechnet.
>  [mm]p_{A}[/mm] = [mm]x^{4}-3x^{3}+x^{2}-3x[/mm]
>  
> Nach Hamilton ist ja deswegen:
>  [mm]A^{4}-3A^{3}+A^{2}-3A[/mm] = 0
>  
> Jetzt wäre ja der nächste Schritt diese Polynom aus B
> rauszuzeihen, damit man B leichter berechnen kann. Und hier
> komm ich nicht weiter... ich gehe davon aus und hoffe das
> mein char. Polynom richtig ist...

Holzhammer: es gilt [m]A^4=\ldots[/m] mit kleineren Potenzen. Nun reduziere mittels [m]A^{k+4)=A^k*(\ldots)[/m] B solange, bis nur Potenzen dritten Grades drauf kommen. Alternativ multipliziere mla die CH-Gleichung mit [m]A^6[/m], dann vergleiche und reduziere B, dann mache das nochmal mit einer kleineren Potenz usw usf.

SEcki

Bezug
                
Bezug
Satz von Cayley-Hamilton: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 Do 04.02.2010
Autor: SnafuBernd

Hi,

tut mir leid, aber das habe ich jetzt nicht ganz verstanden, was ich jetzt genau tun soll. Wäre es möglich eine Beispielrechnung zu machen?

Snafu

Bezug
                        
Bezug
Satz von Cayley-Hamilton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Do 04.02.2010
Autor: fred97

Wir wissen (nach Cayley - Hamilton):

            (*)  [mm] A^4-3A^3= -(A^2-3A)$ [/mm]

Dann folgt:  [mm] A^{10}-3A^9=A^6(A^4-3A^3)= -A^6(A^2-3A)= -(A^8-3A^7)=-A^4(A^4-3A^3)$ [/mm]

Jetzt wieder (*) anwenden , etc ....

Wenn Du richtig rechnest kommt am Ende $B=A$ heraus

FRED



Bezug
                                
Bezug
Satz von Cayley-Hamilton: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:30 Do 04.02.2010
Autor: SnafuBernd

Hi,

tatsache!! Wie kommt man denn auf so eine Strategie?

Danke!

Bezug
                                        
Bezug
Satz von Cayley-Hamilton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:55 Do 04.02.2010
Autor: fred97


> Hi,
>  
> tatsache!! Wie kommt man denn auf so eine Strategie?

..............   nachdenken, probieren,  .............

FRED


>
> Danke!


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