Satz von Cayley < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Di 11.05.2010 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | | Beweisen sie folgende Behauptung: Jede Gruppe ist Untergruppe einer symmetrischen Gruppe. |
Hallo zusammen,
ich bereite mich gerade auf meine Staatsexamensprüfung in Algebra vor. Dabei habe ich versucht den Satz von Cayley zu beweisen.
Wenn ich meinen Beweis mit dem auf wikipedia vergleiche, denke ich, dass es sich eigentlich um den gleichen handelt, wobei der auf wikipedia ünnötige Zusatzinformationen enthält ist.
Allerdings bin ich mir dabei nicht sicher und nun weiß ich nicht, ob ich vielleicht irgendetwas nicht beachtet habe, weshalb mein "kürzerer" Beweis nicht gilt.
Es wäre also nett, wenn jemand mal drüber schauen könnte.
Beweis:
sei [mm] (G,\*) [/mm] eine Gruppe und [mm] S_{n}(G)=\{f:G \to G | f \mbox{ bijektiv}\} [/mm] die symmetrische Gruppe
außerdem sei [mm] \delta_{a}:G \to [/mm] G mit [mm] \delta_{a}=a\* [/mm] x, wobei [mm] a\in [/mm] G fest
[mm] \delta_{a} [/mm] ist bijektiv, da: [mm] \delta_{a}(x_{1})=\delta_{a}(x_{2}) \Rightarrow [/mm] a [mm] \* x_{1} [/mm] = a [mm] \* x_{2} \Rightarrow a^{-1} \* [/mm] a [mm] \* x_{1} [/mm] = [mm] a^{-1} \* [/mm] a [mm] \* x_{2} \Rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] sowie [mm] \delta_{a}(x)=y \Rightarrow a\* [/mm] x = y [mm] \Rightarrow a^{-1} \* [/mm] a [mm] \* [/mm] x = [mm] a^{-1} \* [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] a^{-1} \* [/mm] y
somit: [mm] \delta_{a} \in S_{n}(G) \rightarrow \delta_{a} [/mm] charakterisiert G bzw. Im [mm] \delta_{a}=G
[/mm]
sei nun T:G [mm] \to S_{n}(G) [/mm] mit T(a) = [mm] \delta_{a}
[/mm]
dann: T(a [mm] \* [/mm] b) = [mm] \delta_{a \* b}(c) [/mm] = (a [mm] \* [/mm] b) [mm] \* [/mm] c = a [mm] \* [/mm] (b [mm] \* [/mm] c), da G Gruppe und a,b,c [mm] \in [/mm] G [mm] \Rightarrow [/mm] T(a [mm] \* [/mm] b) = [mm] \delta_{a \* b}(c) [/mm] = (a [mm] \* [/mm] b) [mm] \* [/mm] c = a [mm] \* [/mm] (b [mm] \* [/mm] c) = [mm] \delta_{a}(b \* [/mm] c) = [mm] \delta_{a}(\delta_{b}(c)) [/mm] = [mm] \delta_{a}(c) \* delta_{b}((c) [/mm] = T(a) [mm] \* [/mm] T(b) [mm] \Rightarrow [/mm] T ist Homomorphismus [mm] \Rightarrow [/mm] ImT [mm] \subset S_{n}(G) [/mm] ist Untergruppe
außerdem: T(a) = [mm] \delta_{a} \Rightarrow [/mm] ImT = [mm] Im\delta_{a} [/mm] = G
letztlich: ImT = [mm] Im\delta_{a} [/mm] = G [mm] \subset S_{n}(G) [/mm] ist Untergruppe
Danke schon einmal für jegliche Korrekturen.
Grüße,
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:43 Mi 12.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Patrick!
> Beweisen sie folgende Behauptung: Jede Gruppe ist
> Untergruppe einer symmetrischen Gruppe.
Die Aussage ist sehr schlecht formuliert; woertlich genommen ist sie falsch!
Richtig muss sie lauten: Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe.
Vermoege dieses Isomorphismus' kann die Gruppe als Untergruppe einer symmetrischen Gruppe aufgefasst werden, ist aber i.A. nicht gleich dieser.
> Hallo zusammen,
> ich bereite mich gerade auf meine Staatsexamensprüfung in
> Algebra vor. Dabei habe ich versucht den Satz von Cayley zu
> beweisen.
>
> Wenn ich meinen Beweis mit dem auf wikipedia vergleiche,
> denke ich, dass es sich eigentlich um den gleichen handelt,
> wobei der auf wikipedia ünnötige Zusatzinformationen
> enthält ist.
>
> Allerdings bin ich mir dabei nicht sicher und nun weiß ich
> nicht, ob ich vielleicht irgendetwas nicht beachtet habe,
> weshalb mein "kürzerer" Beweis nicht gilt.
>
> Es wäre also nett, wenn jemand mal drüber schauen
> könnte.
>
> Beweis:
> sei [mm](G,\*)[/mm] eine Gruppe und [mm]S_{n}(G)=\{f:G \to G | f \mbox{ bijektiv}\}[/mm]
Warum [mm] $S_n(G)$ [/mm] und nicht einfach $S(G)$?
> die symmetrische Gruppe
> außerdem sei [mm]\delta_{a}:G \to[/mm] G mit [mm]\delta_{a}=a\*[/mm] x,
> wobei [mm]a\in[/mm] G fest
>
> [mm]\delta_{a}[/mm] ist bijektiv, da:
> [mm]\delta_{a}(x_{1})=\delta_{a}(x_{2}) \Rightarrow[/mm] a [mm]\* x_{1}[/mm]
> = a [mm]\* x_{2} \Rightarrow a^{-1} \*[/mm] a [mm]\* x_{1}[/mm] = [mm]a^{-1} \*[/mm] a
> [mm]\* x_{2} \Rightarrow x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> sowie [mm]\delta_{a}(x)=y \Rightarrow a\*[/mm]
> x = y [mm]\Rightarrow a^{-1} \*[/mm] a [mm]\*[/mm] x = [mm]a^{-1} \*[/mm] y
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = [mm]a^{-1} \*[/mm] y
Hier hast du nachgerechnet, dass es stimmt; fuer einen Beweis schreibt man es aber andersherum auf: sei $y [mm] \in [/mm] G$; dann setze $x := [mm] a^{-1} [/mm] y$. Dann ist [mm] $\delta_a(x) [/mm] = ... = y$. Da $y$ beliebig folgt [mm] $\delta_a(G) [/mm] = G$.
> somit: [mm]\delta_{a} \in S_{n}(G) \rightarrow \delta_{a}[/mm]
> charakterisiert G bzw. Im [mm]\delta_{a}=G[/mm]
Was auch immer du damit sagen willst.
> sei nun T:G [mm]\to S_{n}(G)[/mm] mit T(a) = [mm]\delta_{a}[/mm]
>
> dann: T(a [mm]\*[/mm] b)
Bisher steht da kein $c$, aber hier schon:
> = [mm]\delta_{a \* b}(c)[/mm]
Das kannst du aber schnell beheben.
> = (a [mm]\*[/mm] b) [mm]\*[/mm] c = a [mm]\*[/mm]
> (b [mm]\*[/mm] c), da G Gruppe und a,b,c [mm]\in[/mm] G [mm]\Rightarrow[/mm] T(a [mm]\*[/mm] b)
> = [mm]\delta_{a \* b}(c)[/mm] = (a [mm]\*[/mm] b) [mm]\*[/mm] c = a [mm]\*[/mm] (b [mm]\*[/mm] c) =
> [mm]\delta_{a}(b \*[/mm] c) = [mm]\delta_{a}(\delta_{b}(c))[/mm]
Soweit ok.
> = [mm]\delta_{a}(c) \* delta_{b}((c)[/mm]
Was bitteschoen ist $x [mm] \* [/mm] y$ fuer $x, y [mm] \in [/mm] G$? Du meinst [mm] $(\delta_a \* \delta_b)(c)$.
[/mm]
> = T(a) [mm]\*[/mm] T(b) [mm]\Rightarrow[/mm] T
> ist Homomorphismus [mm]\Rightarrow[/mm] ImT [mm]\subset S_{n}(G)[/mm] ist
> Untergruppe
Ja. Sogar noch wichtiger: $T$ auf's Bild eingeschraenkt ist ein Isomorphismus $T : G [mm] \to [/mm] Im(T)$, wobei $Im(T) [mm] \subseteq [/mm] S(G)$ eine Untergruppe ist.
> außerdem: T(a) = [mm]\delta_{a} \Rightarrow[/mm] ImT = [mm]Im\delta_{a}[/mm]
> = G
Das ist Quark. $G$ ist keine Teilmenge von $S(G)$, und $Im T$ ist eine Teilmenge von $S(G)$. Damit kann das nicht gleich sein.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Mi 12.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
eine kleine Ergänzung:
> Sogar noch wichtiger: [mm]T[/mm] auf's Bild eingeschraenkt ist
> ein Isomorphismus [mm]T : G \to Im(T)[/mm]
Dazu muss noch gezeigt werden, dass T injektiv ist.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mi 26.05.2010 | | Autor: | oeli1985 |
Hallo,
wieso muss noch gezeigt werden, dass T injektiv ist? Folgt das nicht aus der Bijektivität von [mm] \delta_{a} [/mm] ?
grüße,
patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Fr 28.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Patrick,
> wieso muss noch gezeigt werden, dass T injektiv ist?
Damit gezeigt ist, dass $ T : G [mm] \to [/mm] Im(T) $ ein Isomorphismus ist.
> Folgt das nicht aus der Bijektivität von [mm]\delta_{a}[/mm] ?
Sehe ich nicht. Wie würdest du aus der Bijektivität der [mm] $\delta_a$ [/mm] die Injektivität von T folgern?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Sa 29.05.2010 | | Autor: | oeli1985 |
hallo tobias,
> > wieso muss noch gezeigt werden, dass T injektiv ist?
> Damit gezeigt ist, dass [mm]T : G \to Im(T)[/mm] ein Isomorphismus
> ist.
das ist mir klar
>
> > Folgt das nicht aus der Bijektivität von [mm]\delta_{a}[/mm] ?
> Sehe ich nicht. Wie würdest du aus der Bijektivität der
> [mm]\delta_a[/mm] die Injektivität von T folgern?
auf den ersten blick schien mir das logisch, habe mich aber nochmal mit beschäftigt und es nicht geschafft :-(
allerdings gilt:
T(a) = T(b) [mm] \Rightarrow \delta_{a} [/mm] = [mm] \delta_{b}
[/mm]
insbesondere: [mm] \delta_{a}(e) [/mm] = [mm] \delta_{b}(e) \Rightarrow [/mm] a [mm] \* [/mm] e = b [mm] \* [/mm] e [mm] \Rightarrow [/mm] a=b
Wenn nun dieser Fall verallgemeinert werden kann, wäre die Injektivität von T gezeigt. Aber warum ist das möglich?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Sa 29.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
> T(a) = T(b) [mm]\Rightarrow \delta_{a}[/mm] = [mm]\delta_{b}[/mm]
>
> insbesondere: [mm]\delta_{a}(e)[/mm] = [mm]\delta_{b}(e) \Rightarrow[/mm] a
> [mm]\*[/mm] e = b [mm]\*[/mm] e [mm]\Rightarrow[/mm] a=b
Alles korrekt! Damit ist gezeigt, dass für alle [mm] $a,b\in [/mm] G$ aus $T(a)=T(b)$ bereits $a=b$ folgt, also dass T injektiv ist.
> Wenn nun dieser Fall verallgemeinert werden kann, wäre die
> Injektivität von T gezeigt. Aber warum ist das möglich?
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Es ist gar keine Verallgemeinerung nötig, du bist schon fertig!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Sa 29.05.2010 | | Autor: | oeli1985 |
oh gott, ja klar. wenn:
> > T(a) = T(b) [mm]\Rightarrow \delta_{a}[/mm] = [mm]\delta_{b}[/mm]
> >
> > insbesondere: [mm]\delta_{a}(e)[/mm] = [mm]\delta_{b}(e) \Rightarrow[/mm] a
> > [mm]\*[/mm] e = b [mm]\*[/mm] e [mm]\Rightarrow[/mm] a=b
ist ja klar, dass aus T(a)=T(b) grundsätzlich folgt a=b
> Es ist gar keine Verallgemeinerung nötig, du
> bist schon fertig!
für meinen kopf ist inzwischen unlogisches logischer als logisches :-(
danke für die hilfe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Sa 29.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > > T(a) = T(b) [mm]\Rightarrow \delta_{a}[/mm] = [mm]\delta_{b}[/mm]
> > >
> > > insbesondere: [mm]\delta_{a}(e)[/mm] = [mm]\delta_{b}(e) \Rightarrow[/mm] a
> > > [mm]\*[/mm] e = b [mm]\*[/mm] e [mm]\Rightarrow[/mm] a=b
>
> ist ja klar, dass aus T(a)=T(b) grundsätzlich folgt a=b
Bin mir nicht sicher, ob dieser Satz nur unglücklich formuliert war, oder ob ein ernsthaftes Missverständnis vorliegt: Klar ist erstmal nicht, dass aus $T(a)=T(b)$ bereits $a=b$ folgt (also dass T injektiv ist). Aber du hast ja begründet, warum diese Folgerung gilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 So 30.05.2010 | | Autor: | oeli1985 |
> Bin mir nicht sicher, ob dieser Satz nur unglücklich
> formuliert war, oder ob ein ernsthaftes Missverständnis
> vorliegt: Klar ist erstmal nicht, dass aus [mm]T(a)=T(b)[/mm]
> bereits [mm]a=b[/mm] folgt (also dass T injektiv ist). Aber du hast
> ja begründet, warum diese Folgerung gilt.
schon klar ... ich meinte, dass ich die folgerung nicht noch verallgemeinern musste
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