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Satz von Fubini und Faltung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:57 Do 03.12.2009
Autor: Baumkind

Aufgabe
[mm] \int_{\mathbb{R}^n}(f \otimes g)(x)dx=\left(\int_{\mathbb{R}^n}f(x)dx\right)\left(\int_{\mathbb{R}^n}g(x)dx\right) [/mm]

Hi.
Laut Wikipedia ist dies "eine einfache Folgerung aus dem Satz von Fubini".
Mir ist es aber absolut nicht klar warum ich hier Fubini anwenden darf, weil ich habe doch im Integral der Faltung 2 Unbekannte. Warum kann ich diese auseinander ziehen?
lg

        
Bezug
Satz von Fubini und Faltung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 Do 03.12.2009
Autor: MatthiasKr

Hallo,
> [mm]\int_{\mathbb{R}^n}(f \otimes g)(x)dx=\left(\int_{\mathbb{R}^n}f(x)dx\right)\left(\int_{\mathbb{R}^n}g(x)dx\right)[/mm]
>  
> Hi.
>  Laut Wikipedia ist dies "eine einfache Folgerung aus dem
> Satz von Fubini".
>  Mir ist es aber absolut nicht klar warum ich hier Fubini
> anwenden darf, weil ich habe doch im Integral der Faltung 2
> Unbekannte. Warum kann ich diese auseinander ziehen?
>  lg

Hast du dir das integral ueberhaupt einmal richtig hingeschrieben? du hast dann

[mm]\int_{\mathbb{R}^n} (f\ast g)(x)\,dx=\int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} f(y)\cdot g(x-y)\,dy\,dx[/mm]

Nach Fubini kannst du nun die reihenfolge der integration vertauschen. $f$ haengt dann nicht von der integrationsvariablen ab und kann aus dem integral gezogen werden. dann hat man

[mm]\int_{\mathbb{R}^n} f(y) \int_{\mathbb{R}^n} g(x-y)\,dx\,dy[/mm]

wenn du dir jetzt noch ueberlegst, warum das innere integral nicht von $y$ abhaengt (substituiere $z=x-y$), bist du fertig.

gruss
Matthias


Bezug
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