Satz von Gauß - Kugel < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie das Vektorfeld:
u = [mm] \vektor{x^3 \\ y^3 \\ z^3}
[/mm]
Berechnen Sie den Fluss:
Phi: [mm] \integral_{S}^{}{u* dS}
[/mm]
dieses Vektorfeldes nach außen durch die Oberfläche der Kugel S={(x,y,z,) [mm] \in \IR^3; x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] = [mm] R^2} [/mm] mit Radius R direkt (d.h. ohne den Satz von Gauss zu verwenden.)
Folgende Identitäten dürfen ohne Beweis verwendet werden:
[mm] sin^4(a) [/mm] = [mm] \bruch{3-4cos(2a)+cos(4a)}{8}
[/mm]
[mm] cos^4(a) [/mm] = [mm] \bruch{3+4cos(2a)+cos(4a)}{8}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\pi}{sin^5(a) da}= \bruch{16}{15} [/mm] |
Hallo,
Nun habe ich schon einiges von der Aufgabe berechnet.
Bei der Parametrisierung habe ich folgenden Vektor erhalten: θ
[mm] r^3*\vektor{ sin^3(\theta) cos^3(\phi) \\ sin^3(\theta) sin^3(\phi) \\ cos^3(\theta)}
[/mm]
So jetzt muss ich das Skalarprodukt berechnen:
u*dS.
Nach einigen Umformungen komme ich zu der Stelle wo ich nicht mehr weiter weiß...
[mm] \integral_{}^{}{u* dS}= r^5* \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi} [sin^5(\theta)(cos^4(\phi)sin^4(\phi))+cos^4(\theta)sin(\theta)] d\theta d\phi
[/mm]
= [mm] r^5* \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi} [sin^5(\theta)(\bruch{3*cos(4\phi)}{4}))+cos^4(\theta)sin(\theta)] d\theta d\phi
[/mm]
hab also die beiden Identitäten für [mm] sin^4 [/mm] und [mm] cos^4 [/mm] verwendet.
Wie ich das [mm] cos^4(\theta)sin(\theta) [/mm] integrieren kann weiß ich (mithilfe der Substitution z= [mm] cos(\theta).
[/mm]
Aber wie ich das andere Integrieren soll, also das [mm] sin^5 [/mm] etc.. weiß ich nicht... Ich hoffe jemand kann mir da ein Tipp geben, ich bin mir sicher dass man das i.wie umformen kann sodass ich [mm] \integral_{0}^{\pi}{sin^5(a) da}= \bruch{16}{15} [/mm] verwenden kann, aber ich weiß nicht wie.
Schon mal danke im voraus!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 So 03.02.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Betrachten Sie das Vektorfeld:
>
> u = [mm]\vektor{x^3 \\ y^3 \\ z^3}[/mm]
>
> Berechnen Sie den Fluss:
>
> Phi: [mm]\integral_{S}^{}{u* dS}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> dieses Vektorfeldes nach außen durch die Oberfläche der
> Kugel S={(x,y,z,) [mm]\in \IR^3; x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] = [mm]R^2}[/mm] mit
> Radius R direkt (d.h. ohne den Satz von Gauss zu
> verwenden.)
>
> Folgende Identitäten dürfen ohne Beweis verwendet
> werden:
>
> [mm]sin^4(a)[/mm] = [mm]\bruch{3-4cos(2a)+cos(4a)}{8}[/mm]
> [mm]cos^4(a)[/mm] = [mm]\bruch{3+4cos(2a)+cos(4a)}{8}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{sin^5(a) da}= \bruch{16}{15}[/mm]
> Hallo,
>
> Nun habe ich schon einiges von der Aufgabe berechnet.
>
> Bei der Parametrisierung habe ich folgenden Vektor
> erhalten: θ
>
> [mm]r^3*\vektor{ sin^3(\theta) cos^3(\phi) \\ sin^3(\theta) sin^3(\phi) \\ cos^3(\theta)}[/mm]
das ist nicht die Parametrisierung.
>
> So jetzt muss ich das Skalarprodukt berechnen:
>
> u*dS.
>
> Nach einigen Umformungen komme ich zu der Stelle wo ich
> nicht mehr weiter weiß...
>
> [mm]\integral_{}^{}{u* dS}= r^5* \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi} [sin^5(\theta)(cos^4(\phi)sin^4(\phi))+cos^4(\theta)sin(\theta)] d\theta d\phi[/mm]
[mm] $\Phi=r^{5}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^{4}\theta+\sin^{5}\theta\left(\cos^{4}\varphi{\color{red}+}\sin^{4}\varphi\right)\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta$
[/mm]
Versuchs damit nochmal.
>
> = [mm]r^5* \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi} [sin^5(\theta)(\bruch{3*cos(4\phi)}{4}))+cos^4(\theta)sin(\theta)] d\theta d\phi[/mm]
>
> hab also die beiden Identitäten für [mm]sin^4[/mm] und [mm]cos^4[/mm]
> verwendet.
>
> Wie ich das [mm]cos^4(\theta)sin(\theta)[/mm] integrieren kann weiß
> ich (mithilfe der Substitution z= [mm]cos(\theta).[/mm]
>
> Aber wie ich das andere Integrieren soll, also das [mm]sin^5[/mm]
> etc.. weiß ich nicht... Ich hoffe jemand kann mir da ein
> Tipp geben, ich bin mir sicher dass man das i.wie umformen
> kann sodass ich [mm]\integral_{0}^{\pi}{sin^5(a) da}= \bruch{16}{15}[/mm]
> verwenden kann, aber ich weiß nicht wie.
Ich verstehe Dein Problem nicht, das Integral mit [mm] sin^5 [/mm] ist doch angegeben. Das darfst Du einfach so verwenden.
>
> Schon mal danke im voraus!!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß,
notinX
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Und warum ist das nicht die Parametrisierung? Ich dachte ich muss dS bestimmen und das ist das Kreuzprodukt aus dr/dr x [mm] dr/d\phi?
[/mm]
Oh, jetzt bemerke ich ich habe mich dort vertippt, also bei
> > [mm]\integral_{}^{}{u* dS}= r^5* \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi} [sin^5(\theta)(cos^4(\phi)sin^4(\phi))+cos^4(\theta)sin(\theta)] d\theta d\phi[/mm]
>
> [mm]\Phi=r^{5}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^{4}\theta+\sin^{5}\theta\left(\cos^{4}\varphi{\color{red}+}\sin^{4}\varphi\right)\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta[/mm]
> Versuchs damit nochmal.
>
> >
> > = [mm]r^5* \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi} \sin^5\theta[(\bruch{3*cos(4\phi)}{4}))+cos^4(\theta)sin(\theta)] d\theta d\phi[/mm]
>
Also ich hatte schon [mm] cos(\phi)+sin(\phi) [/mm] stehen, sonst wäre die Umformung [mm] (\bruch{3*cos(4\phi)}{4}) [/mm] ja auch nicht möglich gewesen....
Ich verstehe nicht wie ich das Integrieren soll, weil ich ja
[mm] \sin^5\theta[(\bruch{3*cos(4\phi)}{4})) [/mm]
habe, und das nach [mm] d\phi [/mm] und [mm] d\theta [/mm] integrieren soll. Soll ich dann einfach für [mm] \integral_{0}^{0}{sin^5(\theta) d\theta} [/mm] =16/15 einfügen und dann das Integral von dem Kosinus-Bruch berechnen?
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 So 03.02.2013 | | Autor: | notinX |
> Oh, jetzt bemerke ich ich habe mich dort vertippt, also
> bei
>
> > > [mm]\integral_{}^{}{u* dS}= r^5* \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi} [sin^5(\theta)(cos^4(\phi)sin^4(\phi))+cos^4(\theta)sin(\theta)] d\theta d\phi[/mm]
>
> >
> >
> [mm]\Phi=r^{5}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^{4}\theta+\sin^{5}\theta\left(\cos^{4}\varphi{\color{red}+}\sin^{4}\varphi\right)\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta[/mm]
> > Versuchs damit nochmal.
> >
> > >
> > > = [mm]r^5* \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi} \sin^5\theta[(\bruch{3*cos(4\phi)}{4}))+cos^4(\theta)sin(\theta)] d\theta d\phi[/mm]
>
> >
>
>
> Also ich hatte schon [mm]cos(\phi)+sin(\phi)[/mm] stehen, sonst
> wäre die Umformung [mm](\bruch{3*cos(4\phi)}{4})[/mm] ja auch nicht
> möglich gewesen....
Die Umformung ist trotzdem faslch. Es gilt:
[mm] $\ensuremath{\frac{3-4\cos2a+\cos4a}{8}+\frac{3+4\cos2a+\cos4a}{8}\neq\frac{3\cos4a}{4}}$
[/mm]
>
> Ich verstehe nicht wie ich das Integrieren soll, weil ich
> ja
>
> [mm]\sin^5\theta[(\bruch{3*cos(4\phi)}{4}))[/mm]
>
> habe, und das nach [mm]d\phi[/mm] und [mm]d\theta[/mm] integrieren soll. Soll
Bei der [mm] $\theta$-Integration [/mm] spielt doch der Term in der Klammer überhaupt keine Rolle, weil (bezüglich [mm] $\theta$) [/mm] konstant.
> ich dann einfach für [mm]\integral_{0}^{0}{sin^5(\theta) d\theta}[/mm]
Nein, das wäre =0. Integriere von 0 bis [mm] $\pi$
[/mm]
> =16/15 einfügen und dann das Integral von dem
> Kosinus-Bruch berechnen?
Das ist doch gerade das Integral vor dem cosinus-Bruch...
>
> mfg
Gruß,
notinX
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> Die Umformung ist trotzdem faslch. Es gilt:
>
> [mm]\ensuremath{\frac{3-4\cos2a+\cos4a}{8}+\frac{3+4\cos2a+\cos4a}{8}\neq\frac{3\cos4a}{4}}[/mm]
>
> >
Ich hab mich wieder vertippt, ich meinte [mm] \bruch{3+cos(4*\phi)}{4}
[/mm]
> > Ich verstehe nicht wie ich das Integrieren soll, weil ich
> > ja
> >
> > [mm]\sin^5\theta[(\bruch{3*cos(4\phi)}{4}))[/mm]
> >
> > habe, und das nach [mm]d\phi[/mm] und [mm]d\theta[/mm] integrieren soll. Soll
>
> Bei der [mm]\theta[/mm]-Integration spielt doch der Term in der
> Klammer überhaupt keine Rolle, weil (bezüglich [mm]\theta[/mm])
> konstant.
>
> > ich dann einfach für [mm]\integral_{0}^{0}{sin^5(\theta) d\theta}[/mm]
>
> Nein, das wäre =0. Integriere von 0 bis [mm]\pi[/mm]
>
> > =16/15 einfügen und dann das Integral von dem
> > Kosinus-Bruch berechnen?
>
> Das ist doch gerade das Integral vor dem cosinus-Bruch...
>
Also ich betrachte bei der Integration nach [mm] \theta [/mm] den Cos Bruch als Konstante, integriere nach [mm] sin^5 [/mm] und erhalte 16/15, und dann kann ich einfach den Cosinus Bruch nach Phi integrieren. Oder?
Und wie war das mit der Parametrisierung, was war da falsch?
Mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 So 03.02.2013 | | Autor: | notinX |
> > Die Umformung ist trotzdem faslch. Es gilt:
> >
> >
> [mm]\ensuremath{\frac{3-4\cos2a+\cos4a}{8}+\frac{3+4\cos2a+\cos4a}{8}\neq\frac{3\cos4a}{4}}[/mm]
> >
> > >
>
> Ich hab mich wieder vertippt, ich meinte
> [mm]\bruch{3+cos(4*\phi)}{4}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > > Ich verstehe nicht wie ich das Integrieren soll, weil ich
> > > ja
> > >
> > > [mm]\sin^5\theta[(\bruch{3*cos(4\phi)}{4}))[/mm]
> > >
> > > habe, und das nach [mm]d\phi[/mm] und [mm]d\theta[/mm] integrieren soll. Soll
> >
> > Bei der [mm]\theta[/mm]-Integration spielt doch der Term in der
> > Klammer überhaupt keine Rolle, weil (bezüglich [mm]\theta[/mm])
> > konstant.
> >
> > > ich dann einfach für [mm]\integral_{0}^{0}{sin^5(\theta) d\theta}[/mm]
> >
> > Nein, das wäre =0. Integriere von 0 bis [mm]\pi[/mm]
> >
> > > =16/15 einfügen und dann das Integral von dem
> > > Kosinus-Bruch berechnen?
> >
> > Das ist doch gerade das Integral vor dem cosinus-Bruch...
> >
> Also ich betrachte bei der Integration nach [mm]\theta[/mm] den Cos
> Bruch als Konstante, integriere nach [mm]sin^5[/mm] und erhalte
> 16/15, und dann kann ich einfach den Cosinus Bruch nach Phi
> integrieren. Oder?
Genau.
>
> Und wie war das mit der Parametrisierung, was war da
> falsch?
Eine Parametrisierung einer Fläche S im Raum ist eine Funktion [mm] $\phi:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}$ [/mm] mit [mm] $I_1,I_2\subset\mathbb [/mm] R$ für die gilt: [mm] $\phi(I_1\times I_2)=S$. [/mm]
Mit anderen Worten: Eine Funktion von zwei Variablen deren Bild der Fläche entspricht.
Trifft das auf Deine 'Parametrisierung' zu?
>
>
> Mfg
>
Gruß,
notinX
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Okay, danke.
Wie muss ich das denn richtig parametrisieren? Ich hab jetzt
r= [mm] \vektor{r*sin\thetacos\phi \\ rsin\theta sin\phi \\ rcos\theta}
[/mm]
Dann hab ich r nach [mm] \phi [/mm] und [mm] \theta [/mm] abgeleitet. Das Kreuzprodukt von den beiden genommen und bekam
[mm] \vektor{r^2sin^2\theta cos\phi \\ r^2sin^2\theta sin \phi \\ r^2 cps\theta sin \theta} [/mm] heraus....
Ist das etwa falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 So 03.02.2013 | | Autor: | notinX |
> Okay, danke.
>
> Wie muss ich das denn richtig parametrisieren? Ich hab
> jetzt
>
> r= [mm]\vektor{r*sin\thetacos\phi \\ rsin\theta sin\phi \\ rcos\theta}[/mm]
Das ist eine ziemlich schlampige Notation. Da könnte man r rauskürzen und hätte noch größeren Unsinn da stehen.
Die korrekte Parametrisierung sieht so aus:
[mm] $\gamma(\varphi,\theta)=R\left(\begin{array}{c}
\cos\varphi\sin\theta\\
\sin\varphi\sin\theta\\
\cos\theta
\end{array}\right)
[/mm]
mit [mm] $\varphi\in[0,2\pi]$ [/mm] und [mm] $\theta\in[0,\pi]$.
[/mm]
>
> Dann hab ich r nach [mm]\phi[/mm] und [mm]\theta[/mm] abgeleitet. Das
> Kreuzprodukt von den beiden genommen und bekam
>
> [mm]\vektor{r^2sin^2\theta cos\phi \\ r^2sin^2\theta sin \phi \\ r^2 cps\theta sin \theta}[/mm]
> heraus....
>
> Ist das etwa falsch?
Die Rechnung ist korrekt (davon abgesehen, dass der Radius R ist und nicht r). Das ist aber nicht die Parametrisierung, sondern das vektorielle Flächenelement [mm] $\mathrm{d}\vec [/mm] S$.
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Mi 06.02.2013 | | Autor: | exwaldfee |
Okay, hab alles verstanden, vielen Dank :)
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