Satz von Gauss und Stokes < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Mo 10.03.2008 | | Autor: | Blueman |
| Aufgabe | 1. a) Berechnen Sie für B(0) = {x [mm] \in \IR^{3} [/mm] ; ||x|| [mm] \le [/mm] 1 }:
[mm] \integral_{\partial B}{x_{1}^{2} + x_{2} - 2x_{3} d \delta}
[/mm]
wobei [mm] d\delta [/mm] das Oberflächenintegral und [mm] \partial [/mm] B der Kugelrand ist.
b) Berechnen Sie für H = { x [mm] \in \IR^{3}; [/mm] ||x|| = 1 und [mm] x_{3} [/mm] < 0} :
[mm] \integral_{H}{rot\vektor{1+ xz \\ 2+ xy \\ 3 + yz } d\delta } [/mm] |
Hi
Könntet ihr mir bitte bei diesen Aufgaben helfen? Man soll sie jeweils direkt und durch einen Integralsatz (Gauss oder Stokes) rechnen können.
Leider habe ich überhaupt keine Ahnung wie das geht, und es kommt sicher in meiner Vordiplomprüfung in 2 Wochen dran! Also wäre ich wirklich sehr dankbar, wenn mir jemand erklären könnte, wie man das macht!
Viele Grüße,
Garfield
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi,
> 1. a) Berechnen Sie für B(0) = {x [mm]\in \IR^{3}[/mm] ; ||x|| [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1
> }:
> [mm]\integral_{\partial B}{x_{1}^{2} + x_{2} - 2x_{3} d \delta}[/mm]
>
> wobei [mm]d\delta[/mm] das Oberflächenintegral und [mm]\partial[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B der
> Kugelrand ist.
>
> b) Berechnen Sie für H = { x [mm]\in \IR^{3};[/mm] ||x|| = 1 und
> [mm]x_{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
< 0} :
> [mm]\integral_{H}{rot\vektor{1+ xz \\ 2+ xy \\ 3 + yz } d\delta }[/mm]
>
> Hi
>
> Könntet ihr mir bitte bei diesen Aufgaben helfen? Man soll
> sie jeweils direkt und durch einen Integralsatz (Gauss oder
> Stokes) rechnen können.
> Leider habe ich überhaupt keine Ahnung wie das geht, und
> es kommt sicher in meiner Vordiplomprüfung in 2 Wochen
> dran! Also wäre ich wirklich sehr dankbar, wenn mir jemand
> erklären könnte, wie man das macht!
>
ein bisschen genauer musst du schon angeben, was du kannst und woran du bei diesen aufgaben scheiterst. diese sind zu lang, als dass sie dir hier jemand komplett vorrechnen wuerde.
nimm zb. die a): dort ist ein flaechenintegral gegeben. Wie rechnest du sowas aus? richtig, nimm dir eine parametrisierung, berechne das flaechenelement, dann integrieren.
ausserdem sieht das verdaechtig danach aus, dass man den satz von gauss anwenden kann. der ist bekanntlich
[mm] $\int_{\partial\Omega}F\cdot\nu\,d\delta=\int_{\Omega}\mbox{div} F\, [/mm] dL$
das normalenfeld [mm] $\nu$ [/mm] der sphaere ist sehr einfach zu bestimmen, was ist also hier dein $F$?
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:02 Di 11.03.2008 | | Autor: | Blueman |
OK hast Recht, dann versuch ichs mal mit deinen Tipps:
also als Parametrisierung der Kugeloberfläche nehme ich:
f(x,y)= [mm] \vektor{sin(x)cos(y)\\ sin(x)sin(y)\\cos(x)}
[/mm]
Damit erhalte ich [mm] \partial_{x}f(x,y) [/mm] = [mm] \vektor{cos(y)cos(x) \\ sin(y)cos(x) \\ -sin(x) } [/mm] und
[mm] \partial_{y}f(x,y) [/mm] = [mm] \vektor{-sin(x)sin(y) \\ sin(x)cos(y) \\ 0 }
[/mm]
somit ergibt sich
[mm] d\delta [/mm] = [mm] \wurzel{sin(x)^{2}}dxdy [/mm] (hab ich mir dieser recht komplizierten Formel für [mm] d\delta [/mm] ausgerechnet.
Also [mm] \integral_{\partial B}{x_{1}^{2} + x_{2} - 2x_{3} d \delta} [/mm] =
[mm] \integral_{\partial B}{x_{1}^{2} + x_{2} - 2x_{3} \wurzel{sin(x)^{2}}dx_{1}dx_{2}} [/mm] . Stimmt das soweit?
Jetzt habe ich leider keine Ahnung wie ich dieses Integral weiter ausrechnen soll.
Und der Weg über Gauss..
Der Normalenvektor der Sphäre ist wohl einfach v(x,y,z) = [mm] \vektor{x \\ y \\ z } [/mm] => div v = 1 + 1 + 1 = 3. Normiert dürfte v dann ja auch schon sein da wir hier die Einheitskugel haben.
=> [mm] \integral_{\partial B}{x_{1}^{2} + x_{2} - 2x_{3} d \delta} [/mm] = [mm] \integral_{B}{3 dxdydz} [/mm] = 3 * vol (B) = 4 [mm] \pi.
[/mm]
Könnte das sein? Das letzte Integral ist eigentlich geraten, bin wieder überfordert, das auszurechnen :-((
Viele Grüße,
Blueman
Wäre super, wenn jemand helfen könnte.
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Hallo Blueman,
> OK hast Recht, dann versuch ichs mal mit deinen Tipps:
>
> also als Parametrisierung der Kugeloberfläche nehme ich:
>
> f(x,y)= [mm]\vektor{sin(x)cos(y)\\ sin(x)sin(y)\\cos(x)}[/mm]
>
> Damit erhalte ich [mm]\partial_{x}f(x,y)[/mm] = [mm]\vektor{cos(y)cos(x) \\ sin(y)cos(x) \\ -sin(x) }[/mm]
> und
> [mm]\partial_{y}f(x,y)[/mm] = [mm]\vektor{-sin(x)sin(y) \\ sin(x)cos(y) \\ 0 }[/mm]
>
> somit ergibt sich
>
> [mm]d\delta[/mm] = [mm]\wurzel{sin(x)^{2}}dxdy[/mm] (hab ich mir dieser recht
> komplizierten Formel für [mm]d\delta[/mm] ausgerechnet.
>
> Also [mm]\integral_{\partial B}{x_{1}^{2} + x_{2} - 2x_{3} d \delta}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{\partial B}{x_{1}^{2} + x_{2} - 2x_{3} \wurzel{sin(x)^{2}}dx_{1}dx_{2}}[/mm]
> . Stimmt das soweit?
> Jetzt habe ich leider keine Ahnung wie ich dieses Integral
> weiter ausrechnen soll.
Na, Du hast ja
[mm]f\left(x,y\right)= \vektor {x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}= \vektor{sin(x)cos(y)\\ sin(x)sin(y)\\cos(x)}[/mm]
Ersetze also
[mm]x_{1}=\sin\left(x\right) \cos\left(y\right)[/mm]
[mm]x_{2}=\sin\left(x\right) \sin\left(y\right)[/mm]
[mm]x_{3}=\cos\left(x\right)[/mm]
>
> Und der Weg über Gauss..
>
> Der Normalenvektor der Sphäre ist wohl einfach v(x,y,z) =
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z }[/mm] => div v = 1 + 1 + 1 = 3. Normiert
> dürfte v dann ja auch schon sein da wir hier die
> Einheitskugel haben.
>
> => [mm]\integral_{\partial B}{x_{1}^{2} + x_{2} - 2x_{3} d \delta}[/mm]
> = [mm]\integral_{B}{3 dxdydz}[/mm] = 3 * vol (B) = 4 [mm]\pi.[/mm]
> Könnte das sein? Das letzte Integral ist eigentlich
> geraten, bin wieder überfordert, das auszurechnen :-((
>
> Viele Grüße,
> Blueman
>
> Wäre super, wenn jemand helfen könnte.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Di 11.03.2008 | | Autor: | Blueman |
OK Danke für den Hinweis.
Dann ist ja
[mm] \integral_{\partial B}{x_{1}^{2} + x_{2} - 2x_{3} \wurzel{sin(x)^{2}}dx_{1}dx_{2}} [/mm] = [mm] \integral_{x = 0 }^{\pi}{\integral_{y=0}^{2\pi}{(sin(x)cos(y))^{2} + sin(x)sin(y) - 2cos(x) \wurzel{sin(x)^{2}}dxdy } }
[/mm]
= [mm] \bruch{4}{3}*\pi.
[/mm]
Also leider anders als mein Ergebnis unten. Muss ich noch mit irgendeinem Faktor wegen der Transformation multiplizieren? Oder hab ich mich unten mit [mm] 4\pi [/mm] vertan?
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Hi,
> OK Danke für den Hinweis.
>
> Dann ist ja
>
> [mm]\integral_{\partial B}{x_{1}^{2} + x_{2} - 2x_{3} \wurzel{sin(x)^{2}}dx_{1}dx_{2}}[/mm]
> = [mm]\integral_{x = 0 }^{\pi}{\integral_{y=0}^{2\pi}{(sin(x)cos(y))^{2} + sin(x)sin(y) - 2cos(x) \wurzel{sin(x)^{2}}dxdy } }[/mm]
>
> = [mm]\bruch{4}{3}*\pi.[/mm]
>
> Also leider anders als mein Ergebnis unten. Muss ich noch
> mit irgendeinem Faktor wegen der Transformation
> multiplizieren? Oder hab ich mich unten mit [mm]4\pi[/mm] vertan?
ich denke, du hast einen fehler gemacht. das vektorfeld ist doch gleich [mm] $F=(x_1,1,-2)$. [/mm] Was ist also div $F$?
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:37 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Blueman |
Vielen Dank für den Tipp. Hatte oben div v statt div F berechnet. So komme ich da jetzt auch auf 4/3 [mm] \pi. [/mm] Jippie 
Jetzt mal zur b).
[mm] \integral_{H}{rot\vektor{1+ xz \\ 2+ xy \\ 3 + yz } d\delta }
[/mm]
für H = { x [mm] \in \IR^{3} [/mm] ; ||x|| < 1 und [mm] x_{3} [/mm] < 0 }
Kann es sein, dass diese Aufgabe vor dem Hintergrund Gauss bzw. Stokes wenig Sinn macht? rot F ist ja schließlich wieder ein Vektor, also integriert man hier einen Vektor. Naja das geht zwar auch aber als Ergebnis hat man dann ja wieder einen Vektor. Und einen Integralsatz kann man meiner Meinung nach auch nicht anwenden.
Stokes geht ja so:
[mm] \integral_{H}{\integral{rotF * v d\delta}} [/mm] = [mm] \integral_{\partial H}{F*t ds} [/mm] mit t Tangentialvektor. Wobei mir irgendwie unklar ist, wieso das Integralzeichen hier 2 mal steht. Kann mir das jemand erklären?
Also ich wüsst nicht wie ich das hier anwenden soll. Wahrscheinlich hat der Professor sich vertippt und den Normalenvektor in der Aufgabe vergessen oder?
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Hi,
> Vielen Dank für den Tipp. Hatte oben div v statt div F
> berechnet. So komme ich da jetzt auch auf 4/3 [mm]\pi.[/mm] Jippie
>
>
das ist doch schon mal was! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Jetzt mal zur b).
>
> [mm]\integral_{H}{rot\vektor{1+ xz \\ 2+ xy \\ 3 + yz } d\delta }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> für H = { x [mm]\in \IR^{3}[/mm] ; ||x|| < 1 und [mm]x_{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
< 0 }
>
> Kann es sein, dass diese Aufgabe vor dem Hintergrund Gauss
> bzw. Stokes wenig Sinn macht? rot F ist ja schließlich
> wieder ein Vektor, also integriert man hier einen Vektor.
> Naja das geht zwar auch aber als Ergebnis hat man dann ja
> wieder einen Vektor. Und einen Integralsatz kann man meiner
> Meinung nach auch nicht anwenden.
> Stokes geht ja so:
> [mm]\integral_{H}{\integral{rotF * v d\delta}}[/mm] =
> [mm]\integral_{\partial H}{F*t ds}[/mm] mit t Tangentialvektor.
> Wobei mir irgendwie unklar ist, wieso das Integralzeichen
> hier 2 mal steht. Kann mir das jemand erklären?
>
oberflaechenintegral werden haeufig (besonders von physikern) mit doppeltem integralzeichen bezeichnet. Die aufgabenstellung ist schon OK. wenn du ein flaechenintegral ueber ein vektorfeld hast, musst du das VF mit dem normalenfeld multiplizieren und dann dieses skalar integrieren (so wie in der zweiten formel). das schreibt man nicht immer dazu, weil es einfach so definiert ist.
du musst jetzt also ein flaechenintegral und ein kurvenintegral berechnen.
gruss
M.
> Also ich wüsst nicht wie ich das hier anwenden soll.
> Wahrscheinlich hat der Professor sich vertippt und den
> Normalenvektor in der Aufgabe vergessen oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:51 Do 13.03.2008 | | Autor: | Blueman |
OK, das erklärt einiges.
Die direkte Berechnung kriege ich noch nicht so ganz hin, weils ein ziemlich komplizierter Term wird, aber per Satz von Stokes habe ich jetzt 0 raus.
Für H = [mm] \{ x \in \IR^{3}, ||x|| < 1, x_{3} < 0 \} [/mm] habe ich gerechnet:
[mm] \integral_{H}{rot\vektor{1+ xz \\ 2+ xy \\ 3 + yz } d\delta } [/mm] =
[mm] \integral_{\partial H}{F\cdot{}t ds} [/mm] nach Stokes
Der Rand von H ist ja [mm] \partial [/mm] H = { ||x|| = 1, [mm] x_{3} [/mm] = 0 } also [mm] \partial [/mm] H = [mm] \{ (x_{1})^{2} + (x_{2})^{2} = 1, x_{3} = 0 \} [/mm]
Parametrisierung des Randes F(a) = [mm] \vektor{cos(a) \\ sin(a) \\ 0} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le 2\pi.
[/mm]
Also [mm] \integral_{\partial H}{F\cdot{}t ds} [/mm] = [mm] \integral_{a = 0}^{2\pi}{\vektor{1 \\ 2 + sin(a)cos(a) \\ 3}*\vektor{-sin(a) \\ cos(a) \\ 0} da }
[/mm]
= [mm] \integral_{a = 0}^{2\pi}{-sin(a) + 2cos(a) + sin(a)cos(a)^{2} da} [/mm] = 0
Kann das stimmen, dass da 0 rauskommt oder muss da irgendwas falsch sein? Finde das Ergebnis irgendwie seltsam bzw. weiß nicht was ich mir da physikalisch drunter vorstellen soll das das Integral jetzt 0 ist.
Wenn das jetzt doch richtig sein sollte ist das meine letzte Frage zum Thema- versprochen :)
Viele Grüße,
Blueman
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> OK, das erklärt einiges.
>
> Die direkte Berechnung kriege ich noch nicht so ganz hin,
> weils ein ziemlich komplizierter Term wird, aber per Satz
> von Stokes habe ich jetzt 0 raus.
>
> Für H = [mm]\{ x \in \IR^{3}, ||x|| < 1, x_{3} < 0 \}[/mm] habe ich
> gerechnet:
>
> [mm]\integral_{H}{rot\vektor{1+ xz \\ 2+ xy \\ 3 + yz } d\delta }[/mm]
> =
> [mm]\integral_{\partial H}{F\cdot{}t ds}[/mm] nach Stokes
>
> Der Rand von H ist ja [mm]\partial[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
H = { ||x|| = 1, [mm]x_{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0 }
> also [mm]\partial[/mm] H = [mm]\{ (x_{1})^{2} + (x_{2})^{2} = 1, x_{3} = 0 \}[/mm]
>
> Parametrisierung des Randes F(a) = [mm]\vektor{cos(a) \\ sin(a) \\ 0}[/mm]
> für 0 [mm]\le[/mm] a [mm]\le 2\pi.[/mm]
>
> Also [mm]\integral_{\partial H}{F\cdot{}t ds}[/mm] = [mm]\integral_{a = 0}^{2\pi}{\vektor{1 \\ 2 + sin(a)cos(a) \\ 3}*\vektor{-sin(a) \\ cos(a) \\ 0} da }[/mm]
>
> = [mm]\integral_{a = 0}^{2\pi}{-sin(a) + 2cos(a) + sin(a)cos(a)^{2} da}[/mm]
> = 0
>
> Kann das stimmen, dass da 0 rauskommt oder muss da
> irgendwas falsch sein? Finde das Ergebnis irgendwie seltsam
> bzw. weiß nicht was ich mir da physikalisch drunter
> vorstellen soll das das Integral jetzt 0 ist.
>
klar kann das stimmen, warum denn nicht? hab mal das rotationsfeld geplottet, macht eigentlich sinn, was reinfliesst, fliesst auch wieder raus...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das ist der blick von oben auf die halbsphaere (die obere, fuer die untere siehts bestimmt genauso aus).
> Wenn das jetzt doch richtig sein sollte ist das meine
> letzte Frage zum Thema- versprochen :)
>
no worries!
> Viele Grüße,
> Blueman
VG
M.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:09 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Blueman |
Hi
Super. Dann Vielen Dank für die Hilfe und die tolle Skizze!
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