Satz von Green < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Hanz |
Guten Morgen,
ich soll bei einer Übungsaufgabe den Flächeninhalt der Ellipse [mm] E(a,b)=\{(x,y)\in\IR: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1 \} [/mm] mit a,b>0 bestimmen.
Dazu muss ich doch quasi ein Kurvenintegral vom Rand der Ellipse berechnen, ne?
Ich kann ja [mm] \partial [/mm] E(a,b) parametrisieren durch [mm] \gamma: [/mm] [0, [mm] 2\pi] \to \IR^2 [/mm] mit [mm] \gamma(t)=(acos(t);bsin(t)).
[/mm]
So, nun müsste ich ja ein Integral aufstellen:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{??? dt} [/mm] Was kommt aber ins Integral? Ich kenne bei Kurvenintegralen ja immer ein f(x) und eine Kurve [mm] \gamme(t) [/mm] wo ich dann das Skalarprodukt bilde und dann das Integral löse. Ich stehe jetzt aber aufm Schlauch, was ins Integral kommt ^.-
Ich habe den Flächeninhalt schon als Doppelintegral ausgerechnet und da abr als Ergebnis bekommen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Guten Morgen,
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> ich soll bei einer Übungsaufgabe den Flächeninhalt der
> Ellipse [mm]E(a,b)=\{(x,y)\in\IR: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1 \}[/mm]
> mit a,b>0 bestimmen.
>
> Dazu muss ich doch quasi ein Kurvenintegral vom Rand der
> Ellipse berechnen, ne?
Das muss man nicht - es ist aber eine der Möglichkeiten.
> Ich kann ja [mm]\partial[/mm] E(a,b) parametrisieren durch [mm]\gamma:[/mm]
> [0, [mm]2\pi] \to \IR^2[/mm] mit [mm]\gamma(t)=(a*cos(t);b*sin(t)).[/mm]
>
> So, nun müsste ich ja ein Integral aufstellen:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{??? dt}[/mm] Was kommt aber ins Integral?
> Ich kenne bei Kurvenintegralen ja immer ein f(x) und eine
> Kurve [mm]\gamme(t)[/mm] wo ich dann das Skalarprodukt bilde und
> dann das Integral löse. Ich stehe jetzt aber aufm
> Schlauch, was ins Integral kommt ^.-
Es gilt zum Beispiel:
$\ [mm] Fl\ddot{a}cheninhalt(E)\ [/mm] =\ [mm] \underset{\partial E}{\integral} x\,dy$
[/mm]
Wenn du für die Integration den Parameter t benützt,
so ist $\ dy\ =\ [mm] \frac{\partial y}{\partial t}*dt$ [/mm]
> Ich habe den Flächeninhalt schon als Doppelintegral
> ausgerechnet und da abr als Ergebnis bekommen. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Meinst du $\ a*b*r$ ?
Was soll dabei das "r" bedeuten ??
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Hanz |
> Es gilt zum Beispiel:
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> [mm]\ Fl\ddot{a}cheninhalt(E)\ =\ \underset{\partial E}{\integral} x\,dy[/mm]
>
> Wenn du für die Integration den Parameter t benützt,
> so ist [mm]\ dy\ =\ \frac{\partial y}{\partial t}*dt[/mm]
Also würde sich daraus ja das Integral [mm] \integral_{0}^{2\pi}{ab*cos^2(t)dt }=a*b*\pi [/mm] ergeben.
Jedoch erschließt es sich mir nicht, warum aus dem Satz von Green dann [mm] \integral{x dy} [/mm] steht?? Warum x und nach y integriert??
Zudem habe ich noch folgende Formel gefunden und getestet:
[mm] \frac{1}{2}\integral_{0}^{2\pi}{ -y*dx + x*dy}
[/mm]
Hat diese Formel auch etwas damit zu tun?
> Meinst du [mm]\ a*b*r[/mm] ?
> Was soll dabei das "r" bedeuten ??
Sorry, habe mich verschrieben, denn a*b*r war die Funktionaldeterminante, der Wert des Integrals war natürlich [mm] a*b*\pi
[/mm]
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> > Es gilt zum Beispiel:
> >
> > [mm]\ Fl\ddot{a}cheninhalt(E)\ =\ \underset{\partial E}{\integral} x\,dy[/mm]
>
> >
> > Wenn du für die Integration den Parameter t benützt,
> > so ist [mm]\ dy\ =\ \frac{\partial y}{\partial t}*dt[/mm]
>
>
> Also würde sich daraus ja das Integral
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{ab*cos^2(t)dt }=a*b*\pi[/mm] ergeben.
> Jedoch erschließt es sich mir nicht, warum aus dem Satz
> von Green dann [mm]\integral{x dy}[/mm] steht?? Warum x und nach y
> integriert??
Dies kannst du zum Beispiel bei Wikipedia nachlesen:
![[]](/images/popup.gif) Satz von Green / Flächeninhalt
> Zudem habe ich noch folgende Formel gefunden und getestet:
> [mm]\frac{1}{2}\integral_{0}^{2\pi}{ -y*dx + x*dy}[/mm]
> Hat diese
> Formel auch etwas damit zu tun?
Ja. Man kann sie z.B. aus den beiden bei Wikipedia angegebenen
Integralen herleiten.
LG
Al-Chw.
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